Bài giảng Đại số 11: Phương pháp quy nạp toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2 (*)Giải : 1) Khi :1 + 3 + 5 + 7+ . . . +(2 – 1) = 22) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) = 2n nn nTa sẽ chứng minh (*) đúng : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1) khi n = k + 1+ [2(k + 1) – 1] k2+ 2k + 2 – 1= (k + 1)2Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n  1 .1 1hay 1 = 1. (*) đúng k k1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1) =n = k 1 :n = 11 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n21 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2Ví dụ 1.1kk2PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức : Giải : 1) Khi :1 + 2 + 3 + 4 + . . . +2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + Ta sẽ chứng minh (*) đúng : 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k khi n = k + 1+ (k + 1)Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n  1 hay 1 = 1. (*) đúng 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k =n = k 1:n = 1+ (k + 1)1 + 2 + 3 + 4 + . . . + nVí dụ 2.n nn1 11nn nk kk1kBÀI TOÁN THỨ NHẤT1 1 + 3 =1 + 3 + 5 =1 + 3 + 5 + 7 =1 + 3 + 5 + 7 + 9 =14= 229 = 3216= 4225 = 52 = 12+ 3+ 5+ 7+ 9n+...+(2n – 1)= n22.21.13.34.45.5.nMệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nNBÀI TOÁN THỨ HAI1 1 + 2 =1 + 2 + 3 =1 + 2 + 3 + 4 =13610+ 2+ 3+ 4n+...+n n.(n + 1)2.31.23.44.5Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN