Bài giảng môn Toán 10 - Bài 2: Mặt

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG CÁC EM HỌC SINH. c. A. A. BKhỏi niệm đường trũn trong mặt phẳng?Vị trớ tương đối của đường trũn với một điểm trong mặt phẳng?. A. C. B. A. A. c. BĐường trũn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cỏch đều một điểm O cố định cho trước một khoảng khụng đổi. M là một điểm trờn đường trũn khi đú OM gọi là bỏn kớnh của đường trũn (bằng r)..MrO.MrOCho M là một điểm trong mặt phẳng. Khi đú giữa M và đường trũn cú 3 vị trớ tương đối xảy ra :Nếu OM = r thỡ M nằm trờn đường trũn. Nếu OM > r thỡ M nằm ngoài đường trũn. Nếu OM 0 ) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.I/ MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIấN QUAN ĐẾN MẶT CẦU Kí hiệu:S(O ; r ) = {M / OM = r}O.mmDõy cung AB đi qua tõm O được gọi là đường kớnh của mặt cầu..ABoMột mặt cầu được hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính. b) Chú ý : CDHai điểm C, D thuộc S(O ;r) thỡ CD được gọi là dõy cung của mặt cầu. Nếu OA = r thỡ điểm A thuộc mặt cầu. Khi đú OA là bỏn kớnh mặt cầu. Nếu OA r thỡ điểm A nằm ngoài mặt cầu.MOA3A2A1Cho mặt cầu S(O ; r) và A là điểm bất kỡ trong khụng gian. Giữa điểm A và mặt cầu cú mấy vị trớ tương đối xảy ra ?C)Tập hợp cỏc điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cựng với cỏc điểm nằm trong mặt cầu gọi là khối cầu S(O;r) hoặc hỡnh cầu S(O;r) O.BAo(Núi cỏch khỏc, khối cầu S(O ; r) là tập hợp cỏc điểm M sao cho OM ≤ r).Khi biểu diễn mặt cầu bằng phộp chiếu vuụng gúc thỡ hỡnh biểu diễn của mặt cầu là một đường trũn.Khi biểu diễn mặt cầu bằng phộp chiếu song song thỡ trong trường hợp tổng quỏt, hỡnh biểu diễn của mặt cầu là một hỡnh elip. Kinh tuyến Vĩ tuyến ABĐường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.Mỗi nửa mặt phẳng cú bờ AB cắt mặt cầu theo một nửa đường trũn đường kớnh AB gọi là kinh tuyếnMỗi mặt phẳng vuụng gúc với AB nếu cắt mặt cầu theo một đường trũn thỡ đường trũn đú gọi là vĩ tuyếnNội dung chớnh của bài học1. Định nghĩa mặt cầu, khối cầu.2.Cỏc thuật ngữ (Cỏc khỏi niệm cú liờn quan đếnmặt cầu: Tõm, bỏn kớnh, đườngkớnh, điểm nằm trong, nằm ngoàimặt cầu).3. Cỏc vớ dụ. ( Vớ dụ 1, 2 )Hoạt động 1.Tỡm tập hợp tõm cỏc mặtcầu luụn đi qua 2 điểmcốđịnh A và B cho trước.Giải.Gọi O là tõm mặt cầu,taCú OA = OB. Vậy tập Hợp cỏc điểm O cần tỡmlà mặt phẳng trung trựccủa ABABOTrong khụng gian, tập hợp cỏc điểm O cỏch đều hai điểm A, B cho trước chớnh là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.ABOAmbi5/ các ví dụ :Vớ dụ 1: Tỡm tập hợp tất cả cỏc điểm M trong khụng gian luụn nhỡn đoạn thẳng AB cố định một gúc vuụng.Giải Gọi I là trung điểm của AB, ta cú: MI = IA = IB ( tớnh chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giỏc vuụng)Vậy tập hợp cỏc điểm M là mặt cầu tõm I bỏn kớnh R = IA, tức mặt cầu đường kớnh AB.I.mBAI.Vớ duù 2:Cho tam giaực ABC vuoõng taùi B, DA (ABC),biết AB = 3a, BC = 4a, AD = 5aChứng minh rằng boỏn ủieồm A, B, C, D cựng nằm trờn một mặt cầu . Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu đúDABCGiaỷi:a/ Ta coự: DA (ABC)DA BCLaùi coự: AB BCneõn BC DB.Suy ra: DAC = DBC = 90, gọi O là trung điểm CD thỡ OA = OB = OC = ODVaọy A,B,C,D naốm treõn maởt caàu taõm O laứ trung ủieồm DC Bỏn kớnh bằng IADBCOADBCOR = OA = OB = OC = OD mà R = 5a 22Vậy:Vớ duù 2:Cho tam giaực ABC vuoõng taùi B, DA (ABC),biết AB = 3a, BC = 4a, AD = 5aChứng minh rằng boỏn ủieồm A, B, C, D cựng nằm trờn một mặt cầu . Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu đúGiaỷi:P O  MrHCho mặt cầu S( O ; r ) và mặt phẳng (P). Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn (P). Khi đú h = OH = d( O ; (P) )hII. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Nếu h > r thỡ mặt phẳng (P) và mc (S) khụng cú điểm chung. Ta viết : (P) ∩ (S) = Φ Nếu h = r thỡ mặt phẳng (P) và mc (S) cú một điểm chung. Ta viết : (P) ∩ (S) = {H}Nếu h R: Đường thẳng khụng cắt đường trũn d=R: Đường thẳng tiếp xỳc đường trũn d r thỡ Δ khụng cắt mặt cầu S(O ; r)Nếu d = r thỡ Δ tiếp xỳc mặt cầu S(O ; r) tại H + H đgl tiếp điểm + Δ đgl tiếp tuyến của mặt cầu.Nếu d < r thỡ Δ cắt mặt cầu S(O ; r) tại hai điểm M và N phõn biệt.@ Khi d = 0 thỡ Δ đi qua tõm O và cắt (S) tại hai điểm A, B . Khi đú AB là đường kớnh.ΔOdΔHHrΔMNdΔABCỏc cỏch chứng minh đường thẳng tiếp xỳc mặt cầu ?C1: CM Δ và (S) cú điểm chung duy nhấtC2: CM khoảng cỏch từ O đến Δ bằng RC3: CM Δ vuụng gúc với bỏn kớnh OH tại HOh123PQua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.AOa? Qua điểm A trờn mặt cầu cú bao nhiờu tiếp tuyến với mặt cầu ?Nhận xột:? Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu cú bao nhiờu tiếp tuyến với mặt cầu ?H(C)A0Định lớ: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) cú vụ số tiếp tuyến với mặt cầu .+ Độ dài cỏc đoạn thẳng nối A với cỏc tiếp điểm đều bằng nhau+ Tập hợp cỏc tiếp điểm là một đường trũn trờn mặt cầuNhận xột:Diện tớch mặt cầu bằng S=4πr 2Thể tớch khối cầu bằng V= πr 3Cho mặt cầu S(O;R)34Vớ dụ: Chứng minh cú một mặt cầu tiếp xỳc với cỏc cạnh của một tứ diện đều ABCD cạnh a cho trước. Tớnh diện tớch mặt cầu và thể tớch khối cầu trờn.Giải:Gọi M,N,P,Q,E,F lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB,CD, AC, BD, BC, AD. MN, PQ, EF đồng quy tại O là trung điểm mỗi đoạn. Do ABCD là tứ diện đều nờn MN=PQ=EF và mỗi đoạn đều là đoạn vuụng gúc chung của cỏc cặp cạnh đối. Vậy, OM=ON=OP=OQ=OE=OF =r hay O cỏch đều cỏc cạnh tứ diện ABCD. Suy ra cỏc cạnh tứ diện đều tiếp xỳc với mặt cầu (O;r)Mặt khỏc , ta cú : AN = nờn MN = Suy ra : r = OM = Diện tớch mặt cầu làThể tớch khối cầu làXin chân thành cảm ơn !Một số hỡnh ảnh về hỡnh cầu:Cho tứ diện đều ABCD, H là hỡnh chiếu của A lờn mp(BCD) thỡ H tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD do BCD là tam giỏc đều nờn H cũng là trọng tõm của tam giỏc BCD.Trọng tõm G của tứ diện ABCD thuộc đoạn AH và AG (Xem lại vớ dụ 2, trang 25, 26. sgk)TÍNH: AG ?Nội dung chớnh của bài học1. Định nghĩa mặt cầu, khối cầu.2.Cỏc thuật ngữ (Cỏc khỏi niệm cú liờn quan đếnmặt cầu: Tõm, bỏn kớnh, đườngkớnh, điểm nằm trong, nằm ngoàimặt cầu).3. Cỏc vớ dụ. ( Vớ dụ 1, 2, 3 )Hoạt động 2.Tỡm tập hợp tất cả cỏc điểmM trong khụng gian luụn luụnnhỡn đoạn thẳng AB cố địnhDưới một gúc vuụngGiải.Nếu M ≠ A và M ≠ B thỡ gúcAMB = 1v theoVD1, tập hợp cỏc điểm M cầntỡm là mặt cầu đường kớnhAB ( M A, hoặc M B,kq vẫn đỳng )TRẮC NGHIỆMCho tứ diện đều ABD cạnh bằng a. Tập hợp cỏc điểm M trong khụng gian sao cho:	MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 là: Mặt cầu cú tõm là trọng tõm của tam giỏc ABC và bỏn kớnh bằng (B) Mặt cầu cú tõm là trọng tõm của tứ diện và bỏn kớnh bằng (C) Mặt cầu cú tõm là trọng tõm của tứ diện và bỏn kớnh bằng (D) Đường trũn cú tõm là trọng tõm của tam giỏc ABC và bỏn kớnh bằngBài tập: Trong mặt phẳng (P) cho hỡnh chữ nhật ABCD, trờn đường thẳng (d) vuụng gúc mp’(ABCD) tại A lấy điểm S khỏc A.1) Cho AB = a, BC = , SA = a. Xỏc định mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C, Tớnh bỏn kớnh của mặt cầu này.2) Gọi E, F, H lần lượt là hỡnh chiếu của A lờn SB, SC, SD. Chứng minh 7 điểm A, B, C, D, E, F, H cựng nằm trờn một mặt cầu. Chứng tỏ rằng khi S thay đổi trờn đường thẳng (d) thỡ mặt cầu này cố địnhAC’A’O