Bài tập giải tích 12 - Tập 2: Hàm số luỹ thừa – mũ – logarit

i 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: 
 a) ( )
2
22. ; 1
x
y x e xy x y
-
= ¢ = - b) ( )1 ;x xy x e y y e= + ¢ - = 
 c) 4 2 ; 13 12 0x xy e e y y y- ¢¢¢= + - ¢ - = d) 2. . ; 3 2 0x xy a e b e y y y- - ¢¢= + + ¢ + = 
 g) .sin ; 2 2 0xy e x y y y- ¢¢ ¢= + + = h) ( )4.cos ; 4 0xy e x y y-= + = 
 i) sin ; cos sinxy e y x y x y= ¢ - - ¢¢ = 0 k) 2 .sin 5 ; 4 29 0xy e x y y y= ¢¢ - ¢ + = 
 l) 21 . ; 2
2
x xy x e y y y e= ¢¢ - ¢ + = m) 4 2 ; 13 12 0x xy e e y y y- ¢¢¢= + - ¢ - = 
 n) ( )( ) ( )2 2221 2010 ; 11
x xxyy x e y e x
x
= + + ¢ = + +
+
Bài 6. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: 
 a) 1ln ; 1
1
yy xy e
x
ỉ ư
= ¢ + =ç ÷+è ø
 b) 1 ; ln 1
1 ln
y xy y y x
x x
é ù= ¢ = -ë û+ + 
 c) ( ) ( ) 2sin ln cos ln ; 0y x x y xy x y= + + ¢ + ¢¢ = d) ( ) ( )
2 2 21 ln ; 2 1
1 ln
xy x y x y
x x
+
= ¢ = +
-
 e) 
2
2 21 1 ln 1; 2 ln
2 2
xy x x x x y xy y= + + + + + = ¢ + ¢ 
Bài 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra: 
 a) ( )2'( ) 2 ( ); ( ) 3 1xf x f x f x e x x= = + + 
 b) 31'( ) ( ) 0; ( ) lnf x f x f x x x
x
+ = =
 c) 2 1 1 2'( ) 0; ( ) 2. 7 5x xf x f x e e x- -= = + + - 
 d) '( ) '( ); ( ) ln( 5); ( ) ln( 1)f x g x f x x x g x x> = + - = - 
 e) 2 11'( ) '( ); ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln 5
2
x xf x g x f x g x x+< = = + 
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 
Trang 61 
1. Phương trình mũ cơ bản 
 Với a > 0, a ¹ 1: 0log
x
a
ba b x b
ì >= Û í =ỵ
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ 
 a) Đưa về cùng cơ số 
 Với a > 0, a ¹ 1: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= Û = 
 Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: ( 1)( ) 0M Na a a M N= Û - - = 
 b) Logarit hoá 
 ( )( ) ( ) ( ) log . ( )= Û =f x g x aa b f x b g x 
 c) Đặt ẩn phụ 
 · Dạng 1: ( )( ) 0f xP a = Û 
( ) , 0
( ) 0
f xt a t
P t
ì = >í
=ỵ
, trong đó P(t) là đa thức theo t. 
 · Dạng 2: 2 ( ) ( ) 2 ( )( ) 0f x f x f xa ab b+ + =a b g 
 Chia 2 vế cho 2 ( )f xb , rồi đặt ẩn phụ 
( )f x
at
b
ỉ ư
= ç ÷
è ø
 · Dạng 3: ( ) ( )f x f xa b m+ = , với 1ab = . Đặt ( ) ( ) 1f x f xt a b
t
= Þ = 
 d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
 Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) 
 · Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). 
 · Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy 
 nhất: 
 ( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt). 
( ) đơn điệu và ( ) hằng số
f x g x
f x g x c
é
ê =ë
 · Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( ) ( )f u f v u v= Û = 
 e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt 
 · Phương trình tích A.B = 0 Û 0
0
A
B
é =
ê =ë
 · Phương trình 2 2 00
0
AA B
B
ì =+ = Û í =ỵ
 f) Phương pháp đối lập 
 Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) 
 Nếu ta chứng minh được: ( )
( )
f x M
g x M
ì ³
í £ỵ
 thì (1) ( )
( )
f x M
g x M
ì =Û í =ỵ
Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): 
 a) 3 1 8 29 3x x- -= b) 
10 5
10 1516 0,125.8
x x
x x
+ +
- -= 
 c) 
2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x- + - - + ++ = + d) 2 25 7 5 .35 7 .35 0x x x x- - + = 
 e) 
2 2 2 21 2 12 2 3 3x x x x- + -+ = + f) 
2 45 25x x- + = 
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng 
Trang 62 
 g) 
2 2
4 31 2
2
x
x
-
-ỉ ư =ç ÷
è ø
 h) 
7 1 2
1 1. 2
2 2
x x+ -
ỉ ư ỉ ư
=ç ÷ ç ÷
è ø è ø 
 i) ( )23 2 2 3 2 2x- = + k) ( ) ( )
11
15 2 5 2
xx
x
-
-
++ = - 
 l) 13 .2 72x x+ = m) 1 -15 6. 5 – 3. 5 52x x x+ + = 
Bài 2. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): 
 a) 14 2 8 0x x++ - = b) 1 14 6.2 8 0x x+ +- + = c) 4 8 2 53 4.3 27 0x x+ +- + = 
 d) 16 17.4 16 0x x- + = e) 
149 7 8 0x x++ - = f) 
2 222 2 3.x x x x- + -- = 
 g) ( ) ( )7 4 3 2 3 6x x+ + + = h)
2cos2 cos4 4 3x x+ = i) 2 5 13 36.3 9 0x x+ +- + = 
 k) 
2 22 2 13 28.3 9 0x x x x+ + +- + = l) 
2 22 24 9.2 8 0x x+ +- + = m) 2 1 13.5 2.5 0,2x x- -- = 
Bài 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): 
 a) 25 2(3 ).5 2 7 0x xx x- - + - = b) 2 23.25 (3 10).5 3 0x xx x- -+ - + - = 
 c) 3.4 (3 10).2 3 0x xx x+ - + - = d) 9 2( 2).3 2 5 0x xx x+ - + - = 
 e) 2 23.25 (3 10).5 3 0x xx x- -+ - + - = f) 2 1 24 3 3 2.3 . 2 6x x xx x x++ + = + + 
 g) ( )4 + – 8 2 +12 – 2 0x xx x = h) ( ) ( )4 .9 5 .3 1 0x xx x+ - + + = 
 i) 
2 22 24 ( 7).2 12 4 0x xx x+ - + - = k) 9 ( 2).3 2( 4) 0x xx x- -- + - + = 
Bài 4. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): 
 a) 64.9 84.12 27.16 0x x x- + = b) 
1 1 1
4 6 9x x x
- - -
+ = c) 3.16 2.81 5.36x x x+ = 
 d) 2 125 10 2x x x++ = e) xxx 8.21227 =+ f) 04.66.139.6
111
=+- xxx 
 g) 2 26.3 13.6 6.2 0x x x- + = h) 3.16 2.81 5.36x x x+ = i) 
1 1 1
2.4 6 9x x x+ = 
 k) (7 5 2) ( 2 5)(3 2 2) 3(1 2) 1 2 0.x x x+ + - + + + + - = 
Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụdạng 3): 
 a) (2 3) (2 3) 14x x- + + = b) 2 3 2 3 4
x x
ỉ ư ỉ ư+ + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 c) (2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)x x+ + + - = + d) 3(5 21) 7(5 21) 2x x x+- + + = 
 e) ( ) ( )5 24 5 24 10x x+ + - = f) 7 3 5 7 3 57 8
2 2
x x
ỉ ư ỉ ư+ -
+ =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 g) ( ) ( )6 35 6 35 12- + + =x x h) ( ) ( )2 2( 1) 2 1 42 3 2 3 2 3
- - -
+ + - =
-
x x x
 i) ( ) ( ) 33 5 16 3 5 2 ++ + - =x x x k) ( ) ( )3 5 3 5 7.2 0+ + - - =x x x 
 l) (7 4 3) 3(2 3) 2 0x x+ - - + = m) 3 33 8 3 8 6.
x x
ỉ ư ỉ ư+ + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 6. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 
 a) (2 3) (2 3) 4x x x- + + = b) ( 3 2) ( 3 2) ( 5)x x x- + + = 
 c) ( ) ( )3 2 2 3 2 2 6+ + - =x x x d) ( ) ( ) 33 5 16. 3 5 2x x x++ + - = 
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 
Trang 63 
 e) 3 7 2
5 5
ỉ ư + =ç ÷
è ø
x
x f) ( ) ( )2 3 2 3 2+ + - =
x x
x 
 g) 2 3 5 10x x x x+ + = h) 2 3 5x x x+ = i) 
21 22 2 ( 1)x x x x- -- = - 
 k) 3 5 2x x= - l) 2 3x x= - m) 12 4 1x x x+ - = - 
 n) 22 3 1
x
x = + o) 2974 +=+ xxx p) 0155 312 =+--+ xxx 
 q) xxxx 7483 +=+ r) xxxx 3526 +=+ s) xxxx 1410159 +=+ 
Bài 7. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): 
 a) 8.3 3.2 24 6x x x+ = + b) 112.3 3.15 5 20x x x++ - = 
 c) 38 .2 2 0 x xx x-- + - = d) xxx 6132 +=+ 
 e) 1444 73.25623
222
+=+ +++++- xxxxxx f) ( ) 1224
222 11 +=+ +-+ xxxx 
 g) 2 2 2.3 3 (12 7 ) 8 19 12x xx x x x x+ - = - + - + h) 2 1 1.3 (3 2 ) 2(2 3 )x x x x xx x- -+ - = - 
 i) sin 1 sin4 2 cos( ) 2 0yx x xy+- + = k) 
2 2 2 22( ) 1 2( ) 12 2 2 .2 1 0x x x x x x+ - + -+ - - = 
Bài 8. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 
 a) 42 cos ,x x= với x ³ 0 b) 
2 6 10 23 6 6x x x x- + = - + - c) sin3 cosx x= 
 d) 
3
22.cos 3 3
2
x xx x -ỉ ư- = +ç ÷
è ø
 e) xx cossin =p f) 
x
xxx 12
2
2 2 +=- 
 g) xx 2cos3
2
= h) 
2
5 cos3x x= 
Bài 9. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 
 a) 9 3 0x x m+ + = b) 9 3 1 0x xm+ - = c) 14 2x x m+- = 
 d) 23 2.3 ( 3).2 0x x xm+ - + = e) 2 ( 1).2 0x xm m-+ + + = f) 25 2.5 2 0x x m- - - = 
 g) 216 ( 1).2 1 0x xm m- - + - = h) 25 .5 1 2 0x xm m+ + - = i) 
2 2sin os81 81x c x m+ = 
 k) 
2 24 2 23 2.3 2 3 0x x m- -- + - = l) 1 3 1 3 4 14.2 8x x x x m+ + - + + -- + = 
 m) 
2 2119 8.3 4x xx x m+ -+ - - + = n) 
2 21 1 1 19 ( 2).3 2 1 0t tm m+ - + -- + + + = 
Bài 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 a) .2 2 5 0x xm -+ - = b) .16 2.81 5.36x x xm + = 
 c) ( ) ( )5 1 5 1 2x x xm+ + - = d) 7 3 5 7 3 5 8
2 2
x x
m
ỉ ư ỉ ư+ -
+ =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 e) 34 2 3x x m+- + = f) 9 3 1 0x xm+ + = 
Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: 
 a) 1( 1).4 (3 2).2 3 1 0++ + - - + =x xm m m b) 249 ( 1).7 2 0+ - + - =x xm m m 
 c) 9 3( 1).3 5 2 0+ - - + =x xm m d) ( 3).16 (2 1).4 1 0+ + - + + =x xm m m 
 e) ( )4 2 1 .2 +3 8 0x xm m- + - = f) 4 2 6 x x m- + = 
Bài 12. Tìm m để các phương trình sau: 
 a) .16 2.81 5.36+ =x x xm có 2 nghiệm dương phân biệt. 
 b) 16 .8 (2 1).4 .2x x x xm m m- + - = có 3 nghiệm phân biệt. 
 c) 
2 2 24 2 6x x m+- + = có 3 nghiệm phân biệt. 
 d) 
2 2
9 4.3 8x x m- + = có 3 nghiệm phân biệt. 
 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng 
Trang 64 
1. Phương trình logarit cơ bản 
 Với a > 0, a ¹ 1: log ba x b x a= Û = 
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit 
 a) Đưa về cùng cơ số 
 Với a > 0, a ¹ 1: ( ) ( )log ( ) log ( )
( ) 0 ( ( ) 0)a a
f x g xf x g x
f x hoặc g x
ì == Û í > >ỵ
 b) Mũ hoá 
 Với a > 0, a ¹ 1: log ( )log ( ) a f x ba f x b a a= Û = 
 c) Đặt ẩn phụ 
 d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
 e) Đưa về phương trình đặc biệt 
 f) Phương pháp đối lập 
 Chú ý: 
 · Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. 
 · Với a, b, c > 0 và a, b, c ¹ 1: log logb bc aa c= 
Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 
 a) 2log ( 1) 1x xé ù- =ë û b) 2 2log log ( 1) 1x x+ - = 
 c) 2 1/8log ( 2) 6.log 3 5 2x x- - - = d) 2 2log ( 3) log ( 1) 3x x- + - = 
 e) 4 4 4log ( 3) log ( 1) 2 log 8x x+ - - = - f) lg( 2) lg( 3) 1 lg 5x x- + - = - 
g) 8 8
22 log ( 2) log ( 3)
3
x x- - - = h) lg 5 4 lg 1 2 lg 0,18x x- + + = + 
 i) 23 3log ( 6) log ( 2) 1x x- = - + k) 2 2 5log ( 3) log ( 1) 1/ log 2x x+ + - = 
 l) 4 4log log (10 ) 2x x+ - = m) 5 1/5log ( 1) log ( 2) 0x x- - + = 
 n) 2 2 2log ( 1) log ( 3) log 10 1x x- + + = - o) 9 3log ( 8) log ( 26) 2 0x x+ - + + = 
Bài 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 
 a) 3 1/33log log log 6x x x+ + = b) 
2 21 lg( 2 1) lg( 1) 2 lg(1 )x x x x+ - + - + = - 
 c) 4 1/16 8log log log 5x x x+ + = d) 
2 22 lg(4 4 1) lg( 19) 2 lg(1 2 )x x x x+ - + - + = - 
 e) 2 4 8log log log 11x x x+ + = f) 1/2 1/2 1/ 2log ( 1) log ( 1) 1 log (7 )x x x- + + = + - 
 g) 2 2 3 3log log log logx x= h) 2 3 3 2log log log logx x= 
 i) 2 3 3 2 3 3log log log log log logx x x+ = k) 2 3 4 4 3 2log log log log log logx x= 
Bài 3. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 
 a) 2log (9 2 ) 3
x x- = - b) 3log (3 8) 2
x x- = - 
 c) 7log (6 7 ) 1
x x-+ = + d) 13log (4.3 1) 2 1
x x- - = - 
 e) 5log (3 )2log (9 2 ) 5
xx -- = f) 2log (3.2 1) 2 1 0
x x- - - = 
V. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 
Trang 65 
 g) 2log (12 2 ) 5
x x- = - h) 5log (26 3 ) 2
x- = 
 i) 12log (5 25 ) 2
x x+ - = k) 14log (3.2 5)
x x+ - = 
 l) 11
6
log (5 25 ) 2x x+ - = - m) 11
5
log (6 36 ) 2x x+ - = - 
Bài 4. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 
 a) 25 log ( 2 65) 2x x x- - + = b) 
2
 1log ( 4 5) 1x x x- - + = 
 c) 2log (5 8 3) 2x x x- + = d) 
3 2
1log (2 2 3 1) 3x x x x+ + - + = 
 e) 3log ( 1) 2x x- - = f) log ( 2) 2x x + = 
 g) 22log ( 5 6) 2x x x- + = h) 
2
3log ( ) 1x x x+ - = 
 i) 2log (2 7 12) 2x x x- + = k) 
2log (2 3 4) 2x x x- - = 
 l) 22log ( 5 6) 2x x x- + = m) 
2log ( 2) 1x x - = 
 n) 23 5log (9 8 2) 2x x x+ + + = o) 
2
2 4log ( 1) 1x x+ + = 
 p) 15log 2
1 2x x
= -
-
 q) 2log (3 2 ) 1x x- = 
 r) 2 3log ( 3) 1x x x+ + = s) 
2log (2 5 4) 2x x x- + = 
Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): 
 a) 2 23 3log log 1 5 0x x+ + - = b) 
2
2 1/22
log 3log log 2x x x+ + = 
 c) 4
7log 2 log 0
6x
x- + = d) 
2
2
1 2
2
log 4 log 8
8
xx + = 
 e) 2 2 1/22log 3log log 0x x x+ + = f) 2 2log 16 log 64 3xx + = 
 g) 5
1log log 2
5x
x - = h) 7
1log log 2
7x
x - = 
 i) 5
12 log 2 log
5x
x - = k) 2 23 log log 4 0x x- = 
 l) 3 33 log log 3 1 0x x- - = m) 
3 3
2 2log log 4 / 3x x+ = 
 n) 3 32 2log log 2 / 3x x- = - o) 
2
2 4
1log 2 log 0x
x
+ = 
 p) 22 1/4log (2 ) 8 log (2 ) 5x x- - - = q) 
2
5 25log 4 log 5 5 0x x+ - = 
 r) 29log 5 log 5 log 5
4x x x
x+ = + s) 2 9log 3 log 1x x+ = 
 t) 1 2 1
4 lg 2 lgx x
+ =
- +
 u) 1 3 1
5 lg 3 lgx x
+ =
- +
 v) 2 32 16 4log 14 log 40 log 0x x xx x x- + = 
Bài 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): 
 a) 2 33log ( 12) log 11 0x x x x+ - + - = b) 
22 2log log 66.9 6. 13.x x x+ = 
 c) 22 2.log 2( 1).log 4 0x x x x- + + = d) xxxx 26log)1(log 2
2
2 -=-+ 
 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng 
Trang 66 
 e) 23 3( 2) log ( 1) 4( 1) log ( 1) 16 0x x x x+ + + + + - = f) 2 2log (2 ) log 2x xx x-+ + = 
 g) 23 3log ( 1) ( 5) log ( 1) 2 6 0x x x x+ + - + - + = h) 3 34 log 1 log 4x x- - = 
 i) 2 22 2 2log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = + 
Bài 7. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): 
 a) 7 3log log ( 2)x x= + b) 2 3log ( 3) log ( 2) 2x x- + - = 
 c) ( ) ( )3 5log 1 log 2 1 2x x+ + + = d) ( )6log2 6log 3 logxx x+ = 
 e) ( )7log 34 x x+ = f) ( )2 3log 1 logx x+ = 
 g) 2 2 2log 9 log log 32 .3 xx x x= - 
 h) 2 23 7 2 3log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4x xx x x x+ ++ + + + + = 
 i) ( ) ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 . log 1 log 1x x x x x x- - + - = - - 
Bài 8. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 
 a) 2 2log 3 log 5 ( 0)x x x x+ = > b) 2 2log log2 3 5x xx + = 
 c) 5log ( 3) 3x x+ = - d) 2log (3 )x x- = 
 e) 22 2log ( 6) log ( 2) 4x x x x- - + = + + f) 2
log2.3 3xx + = 
 g) 2 34( 2) log ( 3) log ( 2) 15( 1)x x x xé ù- - + - = +ë û 
Bài 9. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): 
 a) 2 7 2 7log 2.log 2 log . logx x x x+ = + b) 2 3 3 2log . log 3 3. log logx x x x+ = + 
 c)
( ) ( )29 3 32 log log .log 2 1 1x x x= + - 
Bài 10. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 
 a) 2 3ln(sin ) 1 sin 0x x- + = b) ( )2 22log 1 1x x x+ - = - 
 c) 2 1 3 2
2
3
82 2
log (4 4 4)
x x
x x
+ -+ =
- +
Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 a) 2
2 3 2 3
log 2( 1) log (2 2) 0x m x x m
+ -
é ù- + + + - =ë û b) ( ) ( )22log 2 logx mx- = 
 c) ( )2
5 2 5 2
log 1 log 0x mx m x
+ -
+ + + + = d) 
( )
( )
lg
2
lg 1
mx
x
=
+
 e) 23 3log ( 4 ) log (2 2 1)x mx x m+ = - - 
 f) 2
2 2 7 2 2 7
log ( 1) log ( ) 0x m mx x
+ -
- + + - = 
Bài 12. Tìm m để các phương trình sau: 
 a) ( )2log 4 1- = +x m x có 2 nghiệm phân biệt. 
 b) 23 3log ( 2).log 3 1 0x m x m- + + - = có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27. 
 c) 2 2 2 24 22log (2 2 4 ) log ( 2 )- + - = + -x x m m x mx m có 2 nghiệm x1, x2 thoả 
2 2
1 2 1x x+ > . 
 d) 2 23 3log log 1 2 1 0x x m+ + - - = có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
31;3é ùë û . 
 e) ( )22 24 log log 0x x m+ + = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 
Trang 67 
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình 
đã học như: 
 · Phương pháp thế. 
 · Phương pháp cộng đại số. 
 · Phương pháp đặt ẩn phụ. 
 · . 
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 2 5
2 1
y
y
x
x
ìï + =
í
- =ïỵ
 b) 2 4
4 32
x
x
y
y
ìï =
í
=ïỵ
 c) 2
3 1
3 19
y
y
x
x
ìï - =
í
+ =ïỵ
 d) 
1
2 6
8
4
y
y
x
x
-
-
ìï =
í
=ïỵ
 e) 
ỵ
í
ì
=+
=+
1
322
yx
yx
 f) 2 .9 36
3 .4 36
x y
x y
ìï =
í
=ïỵ
 f) 
.2 5 20
5 .2 50
x y
x y
ìï =
í
=ïỵ
 g) 2 .3 12
3 .2 18
x y
x y
ìï =
í
=ïỵ
 h) ( )
2 7 10 1
8 x 0
y yx
x y
- +ìï =
í + = >ïỵ
 i) ( )
2 2 16 1
2 x 0
x yx
x y
- -ìï =
í - = >ïỵ
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 4 3 7
4 .3 144
x y
x y
ìï - =
í
=ïỵ
 b) 2 3 17
3.2 2.3 6
x y
x y
ìï + =
í
- =ïỵ
 c) 1
2 2.3 56
3.2 3 87
x x y
x x y
+
+ +
ìï + =
í
+ =ïỵ
 d) 
2 2 2 2
1
3 2 17
2.3 3.2 8
x y
x y
+ +
+
ìï + =
í
+ =ïỵ
 e) 
1
1 1
3 2 4
3 2 1
x y
x y
+
+ +
ìï - = -
í
- = -ïỵ
 f) 
2 2
2
2( 1) 1 2
2 1.
4 4.4 .2 2 1
2 3.4 .2 4
x x y y
y x y
- -
-
ìï - + =
í
- =ïỵ
 g) 
2cot 3
cos 2
y
y
x
x
ìï =
í
=ïỵ
 h) 
2
2
2
2
( )2 1
9( ) 6
y x
x y
x y
x y
-
-
ìï + =
í
+ =ïỵ
 i) 
23 2 77
3 2 7
x y
x y
ìï - =
í
- =ïỵ
 k) 2 2
2 2 ( )( 2)
2
x y y x xy
x y
ìï - = - +
í
+ =ïỵ
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 3 2 1
3 2 1
x
y
y
x
ìï = +
í
= +ïỵ
 b) 3 2 11
3 2 11
x
y
x y
y x
ìï + = +
í
+ = +ïỵ
 c) 2 2
2 2
3
x y y x
x xy y
ìï - = -
í
+ + =ïỵ
 d) 
1
1
7 6 5
7 6 5
-
-
ì = -ï
í
= -ïỵ
x
y
y
x
VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
MŨ VÀ LOGARIT 
 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng 
Trang 68 
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 
2 2
6
log log 3
x y
x y
ì + =
í + =ỵ
 b) 
log log 2
6
yx y x
x y
ì + =
í
+ =ỵ
 c) 2
2
log 4
2 log 2
x y
x y
ì + =
í - =ỵ
 d) ( ) ( )
2 2
3 5
3
log log 1
x y
x y x y
ìï - =
í + - - =ïỵ
 e) 
32
log 4y
xy
x
ì =
í =ỵ
 f) 
2
3
loglog 2 3
9
y
y
x
x
ìï + =
í
=ïỵ
 g) 
ỵ
í
ì
=
=+
8
5)log(log2
xy
yx xy h) 2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
ì - + - =ï
í
- =ïỵ
 i)
2
3 3
3 2
1 log log 0
2
2 0
x y
x y y
ì
- =ï
í
ï + - =ỵ
 k) 312
log 1
3y
y x
x
ì - =
í
=ỵ
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 
( )
( )
log 3 2 2
log 2 3 2
x
y
x y
x y
ì + =ï
í + =ïỵ
 b) 
log (6 4 ) 2
log (6 4 ) 2
x
y
x y
y x
ì + =ï
í + =ïỵ
 c) 
2 2
3 3
2 2
log 1 2 log
log log 4
x y
y
x y
ì ỉ ư
- = -ï ç ÷ï è øí + =ï
ïỵ
 d) 
2
2
4 4
log log 1
log log 1
y x y
x y
ì - =ï
í
- =ïỵ
 e) ( )2 22
3 3
log 6 4
log log 1
x y
x y
ì + + =ï
í
+ =ïỵ
 f) 
2 2
2 2
log log 16
log log 2
y xx y
x y
ìï + =í - =ïỵ
 g) 
ỵ
í
ì
=-
=+
1loglog
27.2
33
loglog 33
xy
yx xy
 h) 
2 2
2
4 2
log log3. 2. 10
log log 2
y xx y
x y
ìï + =
í
+ =ïỵ
 i) 
( )
( )
log 2 2 2
log 2 2 2
x
y
x y
y x
ì + - =ï
í + - =ïỵ
 k) 
( )2
2
log 4
log 2
xy
x
y
ì =
ï
ỉ ưí =ç ÷ï
è øỵ
 l) 
2 2 2
2
lg lg lg ( )
lg ( ) lg . lg 0
x y xy
x y x y
ìï = +
í
- + =ïỵ
 m) 
2 2
6
5log log
2
log ( ) 1
y yx x
x y
ì
+ =ï
í
ï + =ỵ
 n) 
( ) ( )2 2log 5 log
lg lg 4 1
lg lg3
x y x y
x
y
ì - = - +
ï
-í = -ï -ỵ
 o) ( )
( ) ( )
2 2lg 1 lg8
lg lg lg3
x y
x y x y
ì + = +ï
í
+ - - =ïỵ
 p) ( )1
log 2
log 23 3
x
x
y
y+
ì =ï
í + =ïỵ
 q) 
( )
2
2
log log 1
log 1
xy y
y x
x
y x
ì
- =ï
í
ï - =ỵ
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) lg
lg lg 4
1000y
x y
x
ì + =
í
=ỵ
 b) ( )
2
6
36
4 2 log 9
x yx
x y x
-ìï =
í - + =ïỵ
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 
Trang 69 
 c) 
5
5( )3
27
3log ( )
y xx y
x y x y
-ìï + =
í
ï + = -ỵ
 d) 
lg lg
lg4 lg3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y
ìï =
í
=ïỵ
 e) 
21
2
2 log 2 log 5 0
32
x
y
x y
xy
ì ỉ ư- + =
ï ç ÷í è ø
ï =ỵ
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 
2 4 4
3 9 9
4 16 16
log log log 2
log log log 2
log log log 2
x y z
y z x
z x y
ì + + =
ï + + =í
ï + + =ỵ
 b) 
2 2 2
3 3 3
3log 3 log log
2
2log 12 log log
3
xx y y
yx x y
ì
+ = +ï
í
ï + = +
ỵ
 c) 
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
x x
+ -
+ -
ì - + + + + =ï
í
+ + + =ïỵ
 d) 2 3
2 3
log 1 3sin log (3cos )
log 1 3cos log (3sin )
x y
y x
ì + =ï
í
+ =ïỵ
 e) 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 3
2 2
2 3
log 1 3 1 log 1 2
log 1 3 1 log 1 2
x y
y x
ì + - = - +ï
í
ï + - = - +ỵ
 f) 
2
3 2
3 2
2 log (6 3 2 ) log ( 6 9) 6
log (5 ) log ( 2) 1
x y
x y
y xy x x x
y x
- -
- -
ì - + - + - + =ï
í
- - + =ïỵ
Bài 8. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 
2
log 4
2 2
2
log log 1
x
y
x y
ìï =í
- =ïỵ
 b) ( )
( ) ( )
2
2 2
13
3
log log 4
x yx y
x y x y
--ì ỉ ự = ç ÷í è ø
ï + + - =ỵ
 c) 
8 8log log
4 4
4
log log 1
y xx y
x y
ìï + =í - =ïỵ
 d) ( )1
3
3 .2 18
log 1
x y
x y
ì =ï
í + = -
ïỵ
 e) 
( )
ï
ỵ
ï
í
ì
=-++
÷
ø
ư
ç
è
ỉ=
-
-
4)(log)(log
3
13
22
2
yxyx
yx
yx
 f) 
( ) ( )3 3
4 32
log 1 log
x y
y x
x y x y
+ìï =í
ï - = - +ỵ
 g) ( )3
3 .2 972
log 2
x y
x y
ì =ï
í - =ïỵ
 h) ( )5
3 .2 1152
log 2
x y
x y
-ì =ï
í + =ïỵ
 i) ( ) ( )
2 2log log 1
x y
x y x y
x y
ìï + = -
í
- =ïỵ
 k) 
3 3log lo