Bài tập Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình mũ – logarit

⇔ − = + −
− −  
⇔ = − 
 
 Ta cú 
22 sin x0 sin x 1 1 3 3≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Do ủú VT 0 VP≤ ≤ . 
Bài 9. Giải phương trỡnh: 3 22log cot x log cos x= . 
 HD: ðặt 3 22log cot x log cos x t= = , ta cú 
2 t
t 2 t
t
2 t 2 t 2
t
cos x 4
cos x 2 cos x 4
4
cot x 3 cot x 3 sin x
3
cos x 0,cot x 0 cos x 0,cot x 0
cos x 0,cot x 0
 =
 = = 
  
= ⇔ = ⇔ =  
  > > > >
  > >

2 t
2 t
t
t
t
cos x 4
cos x 4 1
cos x4
 4 1 t 1 23
cos x 0,cot x 0cos x 0,cot x 0
cos x 0,cot x 0
 =
 = 
= 
⇔ + = ⇔ = − ⇔  
   > >> > > >

π
 x k2π
3
⇔ = + . 
Tổng quỏt: Dạng ( ) ( ).log .loga bf x g xα β= ta ủặt ( ) ( ).log .loga bt f x g xα β= = 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 10. Giải phương trỡnh: ( )2 3 22 23x 2x log x 1 log x.− = + − 
 HD: ðiều kiện x 0> . 
 ðặt ( ) ( ) ( )2 3 22 2f x 3x 2x , g x log x 1 log x= − = + − 
● Ta cú ( ) ( ) ( )2 3 2f x 3x 2x f ' x 6x 6x ; f ' x 0 x 0, x 1= − ⇒ = − = ⇔ = = . Lập bảng 
biến thiờn ta thấy f(x) ủồng biến trờn (0,1) và nghịch biến trờn ( )1, +∞ . Suy ra trờn 
( )0,+∞ , ( ) ( )maxf x f 1 1= = hay ( )f x 1, x 0.≤ ∀ > 
● Ta cú ( ) ( ) 222 2 2 2x 1 1g x log x 1 log x log log x
x x
 +  
= + − = = +   
  
. Với x 0> , ta cú 
( ) 2 21 1x 2 cụsi log x log 2 1.
x x
 
+ ≥ => + ≥ = 
 
 Suy ra ( )g x 1, x 0.≥ ∀ > 
Vậy phương trỡnh ( )
2 3
2
2 2
3x 2x 1
log x 1 log x 1
 − =
⇔ 
+ − =
Bài 11. Giải phương trỡnh: ( )2 2x 1 x x2 2 x 1 .− −− = − 
 HD: phương trỡnh ( ) ( )2x 1 x x 2 2 x 1 2 x x− −⇔ + − = + − . 
 ðặt 2u x 1; v x x.= − = − Khi ủú phương trỡnh cú dạng u v2 u 2 v+ = + . 
 Xột hàm số ( ) tf t 2 t= + , hàm này ủồng biến và liờn tục trờn ℝ . 
 Vậy phương trỡnh ( ) ( ) 2 f u f v u v x 1 x x x 1⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = . 
Bài 12. Giải phương trỡnh: x x x2009 2011 2.2010+ = . 
 HD: Gọi 0x là một nghiệm của phương trỡnh ủó cho. Ta ủược 
( )0 0 0 0 0 0 0x x x x x x x2009 2011 2.2010 2009 2010 2010 2011 *+ = ⇔ − = − 
 Xột hàm số ( ) ( ) 00 xxF t t t 1= − + . Khi ủú (*) ( ) ( ) F 2009 F 2010⇔ = . 
Vỡ F(t) liờn tục trờn [ ]2009, 2010 và cú ủạo hàm trong khoảng ( )2009,2010 , do ủú 
theo ủịnh lớ Lagrange tồn tại ( )c 2009,2010∈ sao cho 
( ) ( ) ( ) ( ) 00 x 1 0x 10
0
x 0F 2010 F 2009
F' c x . c c 1 0 
x 12010 2009
−
−
=−  = ⇔ − + = ⇔   =− 
Thử lại 0 0x 0, x 1= = thấy ủỳng. Vậy nghiệm của phương trỡnh là 0 0x 0, x 1= = . 
Nhận xột: Bài toỏn tương tự 
1) cos x cos x cos x cos x3 2 cosx 3 2 3cosx 2cosx− = ⇔ − = − . 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
2) 3 3log x log x4 2 2x+ = . ðặt u3u log x x 3= ⇒ = . Phương trỡnh u u u 4 2 2.3⇔ + = . 
Lưu ý: Bài toỏn trờn ta sử dụng ủịnh lớ Lagrange: Nếu hàm số ( )y f x= liờn tục trờn ủoạn 
[ ];a b và cú ủạo hàm trờn khoảng ( );a b thỡ tồn tại một ủiểm ( );c a b∈ sao cho 
( ) ( ) ( )' f b f af c
b a
−
=
−
. 
Bài 13. Giải phương trỡnh: 
2
2
3 2
x x 1log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
= − +
− +
. 
 HD: ðặt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2.− = − + 
 Phương trỡnh ủó cho trở thành 3 3 3
ulog v u log u log v v u
v
= − ⇔ − = − 
 3 3 log u u log v v⇔ + = + . 
Xột hàm số ( ) 3f t log t t= + . Ta cú ' 1f (t) 1 0, t 0t.ln 3= + > ∀ > nờn hàm số ủồng biến 
khi t 0> . Do ủú phương trỡnh ( ) ( ) f u f v⇔ = suy ra u v= hay v u 0− = tức là 
2x 3x 2 0 x 1, x 2− + = ⇔ = = . Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 1, x 2= = . 
Lưu ý: Với phương trỡnh dạng ( )log , 0, 0, 1a u v u u v a
v
= − > > > ta thường biến ủổi 
log log log loga a a au v v u u u v v− = − ⇔ + = + . Vỡ hàm số ( ) logaf t t t= + ủồng biến khi 0t > . 
Suy ra u v= . 
Bài 14. Giải phương trỡnh: cos x sinx2 2 3+ = . 
 HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: ( )1 1t tα α+ − ≤ với [ ]0, 0,1t α> ∈ 
 Từ phương trỡnh suy ra: [ ]s inx, cos x 0,1∈ . Suy ra πx k2π; k2π
2
 
∈ +  
 Theo Becnuli: ( )cosx2 1 2 cos x 1+ − ≤ 
 ( )sinx2 1 2 sinx 1+ − ≤ 
 Suy ra ( )cosx sinx2 2 sinx cos x 2+ ≤ + + 
 Suy ra ( ) ( )cosx sinx2 2 min sinx cos x 2 min s inx cos x 2 + ≤ + + = + +  
 Mà: ( )min sinx cos x 1+ = với πx k2π; k2π
2
 
∈ +  
. 
 Do ủú cos x sinx2 2 3+ ≤ . Dấu '' ''= xảy ra khi và chi khi 
sinx 1
cosx 0
=

=
 hoặc 
sinx 0
cosx 1
=

=
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
x k2π
 π
x k2π
2
=
⇔
 = +

. 
---------- HẾT ---------- 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Ta cú thể dựng cỏc phương phỏp biến ủổi như ủối với giải phương trỡnh và sử dụng 
cỏc cụng thức sau 
HAỉM SOÁ MUế 
● 0 a 1< < 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤
 (nghịch biến) 
● a 1> 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
 (ủồng biến) 
HAỉM SOÁ LOGARIT 
● ( )alog f x cú nghĩa ( )
0 a 1
f x 0
< ≠
⇔ 
>
● ( ) ( ) balog f x b f x a= ⇔ = 
● ( ) ( ) ( ) ( )a a f x g xlog f x log g x 0 a 1
 =
= ⇔ 
< ≠
● 0 a 1< < 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x 0 f x g x
log f x log g x 0 f x g x
> ⇔ < <
≥ ⇔ < ≤
 (nghịch biến) 
● a 1> 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x 0 f x g x
log f x log g x 0 f x g x
> ⇔ 
≥ ⇔ < ≥
 (ủồng biến) 
Tổng quỏt ta cú: 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a 0
log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0
 >

> ⇔ > >

 − − >  
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a 0
log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0
 >
≥ ⇔ > >

 − − ≥  
CHUYEÂN ẹEÀ 2. BAÁT PHệễNG TRèNH 
 MUế – LOGARIT 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
1. PHệễNG PHAÙP ẹệA VEÀ CUỉNG Cễ SOÁ 
Vớ dụ 1. Giải bất phương trỡnh: 2
x x 1
x 2x 13
3
− −
−
 ≥  
 
Lời giải: 
- ðiều kiện: x 0≤ hoặc x 2≥ . 
- Khi đó bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với 
2 x x 1x 2x 23 3 x 2x x x 1− −− ≥ ⇔ − ≥ − − (1) 
 + Nếu x 0≤ thì x 1 1 x− = − , khi đó bpt ( ) 21 x 2x 2x 1⇔ − ≥ − (đúng vì x ≤ 0) 
 + Nếu x 2≥ thì x 1 x 1− = − , khi đó bpt ( ) 21 x 2x 1⇔ − ≥ 
2 x 1 2
 x 2x 1 0 
x 1 2
 ≤ −
⇔ − − ≥ ⇔ 
≥ +
- Kết hợp với điều kiện ta đ−ợc x 1 2≥ + . 
Vớ dụ 2. Giải bất phương trỡnh: ( )2xlog 5x 8x 3 2− + > 
Lời giải: 
- Bất ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với 
2 2 2
2
2 2
2
0 x 1
0 x 1 0 x 1 1 3
x 15x 8x 3 x 4x 8x 3 0 2 2 x
235x 8x 3 0 3
x x 1x x 1
55x 1
x 1x 15x 8x 3 x
1 34x 8x 3 0
x x
2 2
   
    < <
   < < < <    < <  − + < − + <   <   
− + > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     >   >>  − + >     − + >   
3
5
3
x
2

<

 >

Lưu ý: Với bất phương trỡnh dạng ( )( )log f x g x a> , ta xét hai tr−ờng hợp của cơ số 
( )0 1f x< < và ( )1 .f x< 
Vớ dụ 3. Giải bất phương trỡnh: ( )
2
3 3log x log x3 x 6+ ≤ 
Lời giải: 
- ðiều kiện: x 0> 
- Ta sử dụng phép biến đổi ( ) ( )2 33 3 3log xlog x log x log x3 3 x= = . Khi đó bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng 
 với 3 3 3log x log x log xx x 6 x 3+ ≤ ⇔ ≤ . 
- Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta đ−ợc: ( )3log x3 3 3 3log x log 3 log x.log x 1 ≤ ⇔ ≤ 
 ( )23 3 1 log x 1 1 log x 1 x 3.3⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 
- Vậy ph−ơng trình có nghiệm 
1
x 3
3
≤ ≤ . 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Vớ dụ 4. Giải bất phương trỡnh: 1 2
3
1 2xlog log 0
1 x
+ 
> + 
Lời giải: 
- Bất ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với 
2
2
1 2x 1 2x xlog 0 1 0
x 1 x 01 x 1 x 1 x
 x 0
1 2x 1 2x 1 x 1log 1 2 0
1 x 1 x 1 x
+ + 
> > >    + + +⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >   
+ + − > −  < < <
 + + + 
- Vậy x 0> là nghiệm của bất ph−ơng trình. 
BAỉI TAÄP 
 Giải cỏc bất phương trỡnh sau: 
 1) 
2
0,7 6
x xlog log 0
x 4
 +
< 
+ 
 2) ( )23x xlog 3 x 1− − > 
 3) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 255 5
5 25
log x 5 3log x 5 6log x 5 4log x 50 2 0− + − + − − − + ≤ 
2. PHệễNG PHAÙP ẹAậT AÅN PHUẽ 
Vớ dụ 1. Giải bất phương trỡnh: 
x x 2
x x
2.3 2 1
3 2
+
− ≤
−
Lời giải: 
- ðiều kiện x 0≠ . 
- Chia cả tử và mẫu cho x2 , ta ủược: 
x
x x 2
xx x
32. 4
2.3 2 21 1
3 2 3 1
2
+
 
− 
−  ≤ ⇔ ≤
−  
− 
 
- Đặt ( )
x3
t , 0 t 1
2
 
= < ≠ 
 
. Khi đó bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với 
2t 4 1 0
t 1
−
− ≤
−
x
3
2
t 3 3
 0 1 t 3 1 3 0 x log 3
t 1 2
−  
⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ 
−  
- Vậy bất ph−ơng trình có nghiệm 3
2
0 x log 3< ≤ . 
Vớ dụ 2. Giải bất phương trỡnh: ( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 12
2 2
x 32log x log 9log 4log x
8 x
   
− + <   
  
Lời giải: 
- ðiều kiện x 0> . 
- Bất ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với 
( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ] [ ] ( )
1 1
3
4 2 2
2 2 22 2
24 3 2 2
2 2 2 2 2 2
24 2
2 2 2 2
x 32
 log x log 9 log 4 log x
8 x
 log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x
 log x 3log x 3 9 5 2log x 4 log x
− −
   
⇔ − + <   
  
   ⇔ − − + − <   
⇔ − − + − <
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
- Đặt ( )2t log x= , bất ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với 
4 2 2
2
2
 t 13t 36 0 4 t 9 
1 13 log x 23 t 2 x
 8 42 log x 32 t 3 4 x 8
− + < ⇔ < <
  
− < < −− < < − < <  ⇔ ⇔ ⇔  < << <
< <  
- Vậy bất ph−ơng trình có nghiệm ( )1 1, 4,8
8 4
 
∪ 
 
. 
Vớ dụ 3. Giải bất phương trỡnh: 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 25 4.5 5− − − − + −− < 
Lời giải: 
- Đặt x 5 3 2X 5 0, Y 5 0x− −= > = > .Khi đó bất ph−ơng trình có dạng 
2X 4X 5Y
Y
− < (1) 
- Do Y 0> nên 
( ) ( )( )2 2 2 2
x 5 1 3 x 2
1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0
 X 5Y 0 X 5Y 5 5
 x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −
⇔ − < ⇔ − − < ⇔ + − <
⇔ − < ⇔ < ⇔ <
⇔ − < + − ⇔ − < −
- Bất ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với hai hệ sau 
 ( ) x 2 0I 2 x 6
x 6 0
− ≥
⇔ ≤ <
− <
 ( ) ( ) ( )2 2
x 6 0 x 6 x 6
II 6 x 18
x 21x 54 0 3 x 189 x 2 x 6
− ≥  ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <  
− + < < <
− > −  
- Vậy bất ph−ơng trình có nghiệm là: 2 x 18≤ < . 
BAỉI TAÄP 
 Giải cỏc bất phương trỡnh sau: 
 1) ( ) ( )x x x15 1 5 1 24+ + − = 
 2) ( )2 2 22 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3+ − > −
 3) 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0+ + +− − > . 
3. PHệễNG PHAÙP SệÛ DUẽNG TÍNH ẹễN ẹIEÄU CUÛA HAỉM SOÁ 
Vớ dụ 1. Giải bất phương trỡnh: ( )5 4log 3 x log x+ > 
Lời giải: 
- ðiều kiện x 0> . 
- Đặt t4t log x x 4= ⇔ = , bất ph−ơng trình trở thành ( )t5log 3 2 t+ > 
t
t t
t
3 23 2 5 1
5 5
 
⇔ + > ⇔ + > 
 
- Hàm số ( )
t
t
3 2
t
5 5
f  = +  
 
nghịch biến trên ℝ và ( )1 1.f = 
- Bất ph−ơng trình trở ( ) ( )t 1 t 1f f> ⇔ < , ta đ−ợc 4log x 1 0 x 4.< ⇔ < < 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
- Vậy bất ph−ơng trình có nghiệm là: 0 x 4< < . 
Vớ dụ 2. Giải bất phương trỡnh: 
2
2
3 2
x x 1log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> − +
− +
Lời giải: 
- Đặt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2− = − + . 
- Bất ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với 
( )3 3 3 3 3ulog v u log u log v v u log u u log v v 1
v
= − ⇔ − = − ⇔ + > + 
- Xét hàm số ( ) ( )'3 1t log t t, ta co: t 1 0, t 0t ln 3f f= + = + > ∀ > nên hàm số ủồng biến khi 
t 0.> Từ (1) ta có ( ) ( )f u f v u v> ⇔ > 
2 2
2
 x x 1 2x 2x 3
 x 3x 2 0
 1 x 2.
⇔ + + > − +
⇔ − + <
⇔ < <
- Vậy bất ph−ơng trình có nghiệm là: 1 x 2< < . 
Lưu ý: 
1. Với bất ph−ơng trình dạng log loga bu v< , ta th−ờng giải nh− sau: 
Đặt logat u= (hoặc logbt v= ) đ−a về bất ph−ơng trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của 
hàm số. 
2. Với bất ph−ơng trình dạng log log loga a a
u
v u u u v v
v
< − ⇔ + < + . Ta xét hàm số 
( ) logaf t t t= + đồng biến khi 0t > , suy ra ( ) ( ) .f u f v u v< ⇔ < 
BAỉI TAÄP 
 Giải cỏc bất phương trỡnh sau: 
 1) ( )3 x6 64log x x log x+ ≥ 
 2) x x x2.2 3.3 6 1.+ > − 
 3) x x x x16 3 4 9 .− < + 
4. PHệễNG PHAÙP VEế ẹOÀ THề 
Vớ dụ . Giải bất phương trỡnh: 
x
5 xlog
5 x 0
2 3x 1
+
− <
− +
Lời giải: 
- Bất ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với hai hệ 
( )
x
5 xlog 0
I 5 x
2 3x 1 0
+
>
−

− + <
 và ( )
x
5 xlog 0
II 5 x
2 3x 1 0
+
<
−

− + >
- Giải hệ (I) 
 + 
5 x 5 x 2xlog 0 1 0 0 x 5
5 x 5 x 5 x
+ +
> ⇔ > ⇔ > ⇔ < <
− − −
 + x2 3x 1< − , ta vẽ đồ thị của hai hàm số xy 2= và y 3x 1= − trên cùng một hệ trục toạ độ. 
Khi đó ta đ−ợc nghiệm là 1 x 3.< < 
- Do đó hệ (I) có nghiệm 1 x 3.< < 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
- Giải hệ (II) 
 + 
5 x 5 5 x 55 x 5 xlog 0 0 1 5 x 02x
x 0 x 55 x 5 x 0
5 x
− < <
− < <+ + 
< ⇔ < < ⇔ ⇔ ⇔ − < < 
− − < 
−
. 
 + x2 3x 1> − x 1⇔ . 
- Do đó hệ (II) có nghiệm 5 x 0.− < < 
- Vậy bất ph−ơng trình có nghiệm ( 5,0) (1,3)− ∪ . 
BAỉI TAÄP 
 Giải bất phương trỡnh sau: 
1 x
x
2 2x 1 0
2 1
−
− + ≤
−
. 
5. MOÄT SOÁ PHệễNG PHAÙP KHAÙC 
Vớ dụ 1. Giải bất phương trỡnh: ( )2 3 1log x 2 4 log 8
x 1
 
− + ≤ + 
− 
Lời giải: 
- Điều kiện x 2.≥ 
- Ta có nhận xét sau: 
 + ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ 
 + 
1
x 2 x 1 1 x 1 1 1 
x 1
≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤
−
 3
1 1
 8 9 log 8 2 VP 2
1 1x x
 
⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ 
− − 
- Vậy bất ph−ơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 
VT 2 x 2 0
 x 2
VP 2 x 2
 =
− = 
⇔ ⇔ = 
= = 
. 
- Vậy bất ph−ơng trình có nghiệm duy nhất x = 2. 
Vớ dụ 2. Giải bất phương trỡnh: ( )xx 9log log 3 9 1 − <  
Lời giải: 
- Để ( )x9log 3 9− có nghĩa, ta cần có x x 23 9 3 3 x 2.> ⇔ > ⇔ > 
- Với điều kiện trên bất ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với 
( )
( )
9 x x
9
x 2
3x 9 1
log 3x 9 0 
3 9 9
log 3x 9 x
 >
− >
− > ⇔ 
− <
− <
- Đặt ( )x3 t, t 0= > , ta có hệ x 32 t 10 t 0 3 10 x log 10t t 9 0
>
⇔ > ⇔ > ⇔ >
− + >
. 
Vớ dụ 3. Giải bất phương trỡnh: ( )2 3 4 2 22 25x 6x x x log x x x log x 5 5 6 x x+ − − > − + + + − 
Lời giải: 
- ðiều kiện: 2
x 0
 0 x 3
6 x x 0
>
⇔ < ≤
+ − ≥
- Bất ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với ( )( ) ( )22x log x 5 6 x x 1 x 0 *− + − + − > 
- Do 2 2 2x 3 x log x 3log 3 log 32 5≤ ⇒ ≤ < = . Vậy khi 0 x 3< ≤ thì 2xlog x 5 0,− < do đó 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
( ) 22
0 x 3 0 x 3 5
* x 3
2x 3x 5 0 26 x x 1 x 0
< ≤ < ≤
⇔ ⇔ ⇔ < ≤ 
− − >+ − + − < 
- Vậy nghiệm 
5
x 3.
2
< ≤ 
Vớ dụ 4. Giải bất phương trỡnh: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − > + − + − 
Lời giải: 
- ðiều kiện: 2 x 2− ≤ ≤ (1) 
- Bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với ( )( )x 24 x.2 x 1 2 2 x 0− − + − > (2) 
- Từ (1) ta có 
3
x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4.≤ ⇒ ≤ < = . Do đó (2) t−ơng đ−ơng với 
 2
2
2 x 2
 2 2 x 1 x
x 1 2 2 x 0

− ≤ ≤
⇔ − > −
− + − >
 (3) 
- (3) t−ơng đ−ơng với hai hệ sau 
 + ( )
22 x 0
I : 1 x 2
1 x 0
 − ≥
⇔ < ≤
− <
 + ( ) ( ) ( )2 22
x 11 x 0 x 1
II : 1 x 175x 2x 7 04 2 x 1 x 1 x
5
≤
− ≥ ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤  
− − − − < <  
- Vậy tập nghiệm của bất ph−ơng trình là x 1; 2 . ∈ −  
Vớ dụ 5. Giải bất phương trỡnh: ( ) ( )2 2
1 1
log x 1 log 3 2x
>
+ −
Lời giải: 
- ðiều kiện: 
1 x 0 30 x 1 1 1 x
 230 3 2x 1 1 x
x 0;12
 − < ≠ < + ≠ − < <  
⇔ ⇔  
< − ≠ ≠ <   ≠
 ● ( )2log x 1 0 x 1 1 x 0.+ > ⇔ + > ⇔ > 
 ● ( )2log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.− > ⇔ − > ⇔ < 
- Ta có bảng xét dấu 
- Từ đó ta có các tr−ờng hợp sau 
 + TH1: Với 1 x 0 − suy ra bất ph−ơng trình vô nghiệm 
 + TH2: Với 0 x 1 > Khi đó bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với 
( ) ( )2 2log x 1 log 3 2x 3 2x x 1 0 x 1.+ + ⇔ < < 
log2(3-2x) 
x 
-1 0 1 
- + + 
+ + - 
2
3
log2(x+1) 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 + TH3: Với 31 x
2
 < bất ph−ơng trình có nghiệm với mọi 31 x
2
< < . 
- Vậy tập nghiệm của bất ph−ơng trình là { }30 x \ 1
2
 
< < 
 
. 
Lưu ý: Với bất ph−ơng trình dạng 1 1
log loga bu v
> , ta th−ờng giải nh− sau: 
 + Lập bảng xét dấu của loga u và logb v trong tập xác định của bất ph−ơng trình. 
 + Trong tập xác định đó nếu loga u và logb v cùng dấu thì bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng 
với log log .a bu v< 
Vớ dụ 6. Trong các nghiệm ( )x; y của bất ph−ơng trình ( )2 2x 2ylog 2x y 1+ + ≥ , chỉ ra các 
nghiệm có tổng ( )2x y+ lớn nhất. 
Lời giải: 
- Bất ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với hai hệ sau 
( )
2 2
2 2
0 x 2y 1
I : 2x y x 2y
2x y 0
 < + <

+ ≤ +
 + >
 và ( )
2 2
2 2
x 2y 1
II : 
2x y x 2y
 + >

+ ≥ +
- Rõ ràng nếu ( )x; y là nghiệm của bất ph−ơng trình thì tổng ( )2x y+ lớn nhất chỉ xảy ra khi 
nó là nghiệm của hệ ( )II 
( ) ( )
2 2
2
2
x 2y 1
II 1 9
x 1 2y
82 2
 + >

⇔   
− + − ≤  
 
- Ta có ( ) 1 1 92x y 2 x 1 2y
42 2 2
 
+ = − + − + 
 
. 
- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số 1x 1; 2y
2 2
 
− − 
 
 và 
12;
2
 
 
 
, ta đ−ợc 
( ) ( )
2 2
21 1 1 1 9 9 812 x 1 2y x 1 2y 4 .
2 8 2 162 2 2 2 2
       
− + − ≤ − + − + ≤ =       
        
( )9 1 1 9 9 2 x 1 2y 0 2x y
4 4 22 2 2
 
⇔ − ≤ − + − ≤ ⇔ < + ≤ 
 
- Dấu '' ''= xảy ra khi và chỉ khi 
92x y
2
x 2
9 12x y 2y 1
x 12 y2 2
212
2

+ =
= 
 
+ = ⇔ ⇔− 
− = = 

- Với 
1
x 2, y
2
= = thoă mãn bất ph−ơng trình 2 2x 2y 1.+ > 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
- Vậy trong các nghiệm của bất ph−ơng trình thì nghiệm 
12; 
2
 
 
 
 là nghiệm có tổng ( )2x y+ 
lớn nhất bằng 
9
.
2
BAỉI TAÄP 
 Giải bất phương trỡnh sau: 
 1) ( )( )xx 3log log 9 72 1− ≤ 
 2) ( )( )
3
a
a
log 35 x
3
log 5 x
−
>
−
 với 0 a 1< ≠ . 
 3) ( )2 11
33
1 1
log x 1log 2x 3x 1
>
+
− +
. 
 4) Trong các nghiệm ( )x; y của bất ph−ơng trình ( )2 2x ylog x y 1+ + ≥ . Tìm nghiệm có tổng 
( )x 2y+ lớn nhất. 
 BAỉI TAÄP LUYEÄN TAÄP 
 Giải cỏc bất phương trỡnh sau: 
 1) ( ) ( )x 1 x 3x 3 x 110 3 10 3+ −+ −− < + (Học viện GTVT năm 1998) 
 2) ( )2 11
33
1 1
log x 1log 2x 3x 1
>
+
− +
 (ðH Quốc gia TPHCM 1999) 
 3) ( ) ( )2 24 21 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2+ + + > + + (ðH Thuỷ lợi 1999) 
 4) 2 3 2 3log x log x 1 log x.log x+ < + (ðH NT 1998) 
 5) 3
2x 3log 1
1 x
− 
< 
− 
 (ðH SP Vinh 1998) 
 6) 
x
1log x 2
4
 
− ≥ 
 
 (ðH Huế 1998) 
 7) 3
x 2log
x5 1
−
< (ðH ngõn hàng TPHCM 1998) 
 8) ( )23 1 1
3 3
1log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
− + + − > − (ðH Bỏch khoa Hà Nội) 
 9) ( )( )
2
2
2
log x 9x 8
2
log 3 x
− +
<
−
 (ðH Tổng hợp TPHCM 1964) 
 10) 1log x x 2
4
 
− ≥ 
 
 (ðH Huế 1998) 
 11) ( )x x2log 7.10 5.25 2x 1− > + (ðH Thủy sản 1999) 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 12) ( )( )
3log a 35 x
3
log a 5 x
−
>
−
 (ðH Y DƯỢC TPHCM) 
 13) 1 x x 1 x8 2 4 2 5+ ++ − + > 
 14) x 1 x x 115.2 1 2 1 2+ ++ ≥ − + 
 15) 
2 1 1
x x1 13. 12
3 3
+
   
+ >   
   
 16) x x x2.14 3.49 4 0+ − ≥ 
 17) ( ) ( )x 1x 1 x 15 2 5 2 −− ++ ≥ − 
 18) ( )x x x2 5 24 5 7 5 7+ − − ≥ + 
 19) ( ) ( )x 3 x 1x 1 x 310 3 10 3− +− ++ < − 
20) ( ) ( )( ) ( )x x2 3 7 4 3 2 3 4. 2 3+ + + − > + 
21) ( ) ( )2x 1 2x 12. 3 11 2 3 11 4 3− −+ + − ≤ 
22) 22 x 2 x x3 5x 2x 3x 3x.5 . 3 5x 2x 9 .5− −+ − + > + − + 
23) 2 x 2 2 x3x 5x 2 2x 3 .2x. 3x 5x 2 4x .3− − + + > − − + + 
24) 2 3
3
log log x 3 1− < 
25) ( )( )xx 9log log 3 9 1− ≤ 
26) ( ) ( )x x 25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1−+ − < + + 
27) ( ) xx2 3 2log 3 2 2.log 2 3 0++ + − > 
28) 22x xlog 64 log 16 3+ ≥ 
29) ( )2 22 2x 31 1 1log x 6 2 log2 12 64+ − < + 
30) ( ) ( )2 33
1 1
log x 1log 2x 3x 1
>
+
− +
31) ( ) ( )3x 5 6x 2log 4 log 16 0− − − −− ≥ 
32) ( )2lg x 3x 2 2
lg x lg 2
− +
>
+
33) ( ) ( )
2 3
2 3
2
log x 1 log x 1
0
x 3x 4
+ − +
>
− −
34) ( ) ( )2 2 x2 22 x 7x 12 1 14x 2x 24 . log
x x
   
+ − + − ≤ − − +