Bất phương trình logarit mũ và hệ bất phương trình logarit-mũ

heo m . 
(Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội ) 
Giải 
1-\ Với m = 2 , bất phương trình có dạng : 
xlog)2x(6x5x
2
1
2 −<+− 
⇔ (x – 2)( x – 3) < (x – 2) xlog
2
1 ⇔ (x – 2)(x + log2 – 3) < 0 
* Nếu x – 2 = 0 ⇔ x = 2 bất phương trình vô nghiệm . 
* Nếu x > 2 ⇒ x – 2 > 0 ; x + log2x – 3 > 2 + 1 – 3 = 0 (vô nghiệm ) 
* Nếu 0 < x < 2 ⇒ x – 2 < 0 ; x + log2x – 3 < 2 + 1 – 3 = 0 (vô 
nghiệm ) 
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm . 
2-\ Ta có (1) ⇔ ⎩⎨
⎧ >
<−+−
0x
0)3xlogx)(mx( 2 
Với x > 2 ⇒ x + xlog2 3− > 2 + 1 – 3 = 0 
0 < x < 2 ⇒ x + xlog2 3− < 2 + 1 – 3 = 0 
Do đó : 
* Nếu m ≥ 0 : bất phương trình (1) có nghiệm : 0 < x < 2 
* Nếu 0 < x < 2 : (1) có nghiệm m < x < 2 
* Nếu m = 2 (1) vô nghiệm (theo phần I ) 
* Nếu m > 2 (1 ) có nghiệm : 2 < x < m . 
 146 
Bài 35 
Giải bất phương trình : 
)1x(log
1
1x3x2log
1
3
12
3
1
+>+−
(Đề Đại Học Kinh Tế TP HCM) 
Giải 
Điều kiện : ⎩⎨
⎧
≠+< ≠+−< 11x0 11x3x20
2
 ⇔ 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−>
⎢⎢⎣
⎡
<
>
≠
≠
1x
2
1x
1x
2
3x
0x
 ⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠
≠<
<<−
2
3x
0x
x1
2
1x1
Lúc đó : 
)1x(log
1
1x3x2log
1
3
12
3
1
+>+−
⇔ 
)1x(log
1
1x3x2log
1
323
+−>+−−
⇔ 
)1x(log
1
1x3x2log
1
323
+<+−
* 0x1 <<− : 
1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− > 0 
x + 1 < 1 ⇒ log3(x + 1) < 0 
Vậy (1) vô nghiệm . 
* 0 < x < 
2
1 : 
1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− < 0 
x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0 
Vậy (1) nghiệm dúng với 0 < x < 
2
1 
 147 
* 1 < x < 
2
3 : 
1x3x2 2 +− < 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− < 0 
x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0 
Vậy (1) nghiệm đúng với 1 < x < 
2
3 
* :x
2
3 +∞<< 
1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− > 0 
x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0 
1x3x2log 23 +− > log3(x + 1) ⇔ 1x3x2 2 +− > x + 1 
1x3x2 2 +− > x2 + 2x +1 ⇔ x2 – 5x > 0 ⇔ x > 5 
Kết luận : nghiệm bất phương trình là : 0 < x < 
2
1 ; 1 < x < 
2
3 ; x > 5 
Bài 36 
Cho bất phuơng trình : 
2t
1t 2
+
− ≥ t – m (1) 
1. Giải bất phuơng trình khi m = 1. 
2. Tìm m để bất phuơng trình (1) nghiệm đúng với mọi t ≥ 0. 
(Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) 
Giải 
1. Bất phuơng trình có dạng : 
2t
1t 2
+
− ≥ t – 1 ⇔ ( t – 1 ) ⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
+ 1
2t
1t ≥ 0 
⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−−
2t
1)1t( ≥ 0 ⇔ 2− < t ≤ 1 
2. Xét bất phuơng trình : 
2t
1t 2
+
− t− ≥ – m (1) ⇔ 
2t
1t2
+
+ ≤ m 
Đặt f (t) = 
2t
1t2
+
+ ; t ∈ [0 ;+ ∞] ⇒ f’(t) = 2)2t(
3
+ > 0 
Vậy (1) đúng ∀ t ≥ 0 ⇔ m ≥ 2. 
 148 
Bài 37 
Cho bất phương trình : )mx4mx(log)1x(log1 25
2
5 ++≥++ . 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bát phương trình được nghiệm 
đúng với mọi x . 
(Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) 
Giải 
Ta có )mx4mx(log)1x(log1 25
2
5 ++≥++ ; Rx∈∀ 
⇔ )mx4mx(log)1x(log 2525 ++≥+ ; Rx∈∀ 
⇔ ⎩⎨
⎧
>++
++≥+
0mx4mx
mx4mx)1x(5
2
22
 Rx∈∀ ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈<+
−
≥+
+−
Rx,m
1x
x4
m
1x
5x4x5
2
2
 (*) 
Xét hàm số f(x) = 
1x
5x4x5
2
2
+
+− và g(x) = 
1x
x4
2 +
− 
Ta có: f’(x) = 22
2
)1x(
4x4
+
− ; g’(x) = 22
2
)1x(
4x4
+
− 
Từ bảng biến thiên của f(x) và g(x) : 
Hệ (*) nghiệm đúng với mọi x ⇔ 2 < m ≤ 3 
* Cách giải khác : 
)mx4mx(log)1x(log1 25
2
5 ++≥++ ; Rx∈∀ 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈>++
≥++
+
Rx,0mx4mx
0
mx4mx
)1x(5log
2
2
2
5 ⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∈
≥++
+
Rx;0m4'
0m
1
mx4mx
)1x(5
2
2
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≥++
−+−−
2m
0
mx4mx
)m5(x4x)m5(
2
2
 Rx∈∀ 
⇔ ⎩⎨
⎧
> ≥−+−− 2m 0)m5(x4x)m5(
2
 Rx∈∀ 
 149 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<⇔⎢⎣
⎡ ≥≤
<
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
> ≤−−
>−
2m
3m27m
3m
5m
0m
0)m5(4
0m5
2 
Bài 38 
Giải bất phương trình : xlog)x(log 5
2
5 x5 + ≤ 10 
(Đề Đại Học Mỏ Địa Chất ) 
Giải 
Điều kiện : x > 0 
Đặt y = xlog5x ⇒ log5y = xlog25 ⇒ y = xlog255 
Vậy bất phương trình có dạng : xlog
2
55 + 5 xlog25 ≤ 10 
⇔ xlog255 ≤ 5 ⇔ xlog25 ≤ 1 ⇔ 1− ≤ xlog5 ≤ 1 ⇔ 5
1 ≤ x≤ 5. 
Bài 39 
Giải bất phương trình : 132 2
x
x +< 
(Đề Đại Học Ngoại Thương) 
Giải 
132 2
x
x +< ⇔ 1 < 
xx
2
1
2
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 (1) 
Đặt f(x) = 
xx
2
1
2
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 thì f(x) nghịch biến trên R . 
Mà f(2) = 1 nên (1) ⇔ f(2) < f(x) ⇔ x < 2 . 
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2 . 
 150 
Bài 40 
Tìm tất cả các số x thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau : 
)x3(logx5log
3
1
3
1 −<− 
(Đề Đại Học Sư Phạm Hà Nội ) 
Giải 
)x3(logx5log
3
1
3
1 −<− ⇔ 0 < 3 – x < x5 − 
⇔ ⎩⎨
⎧ <<<⇔⎩⎨
⎧
−<−
<
4x1
3x
x5)x3(
3x
2 ⇔ 1 < x < 3 
Như vậy : 
3
1x;
3
13
3
1x
3
4 ++<+< nguyên 
⇔ 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⇔
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=+
=+
3
8x
3
5x
3
3
1x
2
3
1x
Tóm lại : x = 
3
5 hoặc x =
3
8 . 
Bài 41 
Giải bất phương trình : 
)x3(log
)8x9x(log
2
2
2
−
+−
 < 2 
(Đề Đại Học Tổng Hợp (KHTN) TP HCM ) 
Giải 
Điều kiện : ⎩⎨
⎧
>+−
>−≠
08x9x
0)x3(1
2 ⇔ x < 1 
Khi đó : log2 (3 – x) > log2 (3 – 1) > 0 
Phương trình đã cho ⇔ 8x9x(log 22 +− ) < 2log2 (3 – x) 
⇔ x2 –9x +8 
3
1− . 
Đáp số : 
3
1− . < x < 1 . 
 151 
Bài 42 
Cho bất phương trình 1xax)2a( +≥−+ (1) 
1. Giải bất phương trình (1) khi a = 1 
2. Tìm tất cả giá trị a để (1) có nghiệm x thoả điều kiện 0 ≤ x ≤ 2 . 
(Đề Đại Học Kỹ Thuật TP HCM ) 
Giải 
1. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
≤⇔−=
x3sin3x3sin321x3cos
3
3x3sinx3sin31x3cos
22
⇔ 0x3sin
0x3sin32x3sin4
3
3x3sin
2
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
≤ 
⇔ 3x = k )Zk(
3
kx ∈π=⇔π 
2. Phương trình : 
)x3(log
)x9(log
2
3
2
−
−
 = 3 (1) 
điều kiện : ⎩⎨
⎧
≠
<
2x
9x 3 
(1) ⇒ 23 )x3(x9 −=− ⇔ 9x2 –27x + 18 = 0 
⇒ ⎢⎣
⎡ == )loai(2x 1x ⇔ x = 1 
Vậy m cần tìm là nghiệm của : 
( ) ( ) 22m212 mm =−++ 
⇔ 22
y
1y =+ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ >+= 0)12(y 2
m
⇔ 01y22y2 =+− ⇔ ⎢⎣
⎡ −==⇔⎢⎣
⎡
−=
+=
2m
2m
12y
12y 
 152 
Bài 43 
a) Giải bất phương trình : xxxx 993.8 1
44 ≥+ ++ (1) 
b) Tìm các giá trị của m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình 
trên cũng là nghiệm của bất phương trình sau : 
1 + log5(x2 + 1) + 
5
1log (x
2 + 4x + 2m) > 0 (2) 
(Đại học tài chính kế toán Hà Nội , năm 1998 – 1999) 
Giải 
a) Điều kiện x ≥ 0 
Ta có : (1) ⇔ xxxx 222 333.8 44 ≥+ ++ 
⇔ 13.93.8 )(2 44 ≥+ −− xxxx ⇔ ( ) 013.839 44 2 ≥−+ −− xxxx 
Đặt t = ( )xx−43 .Thay vào bất phương trình trên ta được 
9t2 + 8t –1 ≥ 0 ⇔ t ≥ 
9
1
 (do t > 0) 
Do đó ta có : ( )xx−43 ≥ 
9
1
 = 3-2 ⇔ xx −4 ≥ -2 ⇔ ( )( ) 021 44 ≤−+ xx 
⇔ 4 x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 16 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 0 ≤ x ≤ 16 
b) Giải bất phương trình (2) 
Điều kiện : ⎩⎨
⎧
≠<
>+
10
043
x
x
 ⇔ 0 < x ≠ 1 
(1) ⇔ 1
log
1.43log
5
5 >+ xx 
Ta xét các trường hợp sau : 
• 0 < x < 1 : Lúc đó log5x < 0 
(2) ⇔ xx 55 log43log <+ ⇔ xx <+ 43 
⇔ 3x + 4 0 vô nghiệm (do 0 < x < 1) 
• x > 1 :Lúc đó 0log5 >x 
(2) ⇔ xx 55 log43log >+ ⇔ xx >+ 43 ⇔ 3x + 4 > x2 
 153 
⇔ x2 – 3x – 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4 
Vậy nghiệm của bất phương trình là 1 < x < 4 
Bài 44 
Tìm m để mọi nghiệm của (2) là nghiệm của bất phương trình : 
 ( ) ( ) 024log1log1 2
5
1
2
5 >+++++ mxxx (3) 
Giải 
(3) ⇔ ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧ −>++−+
>++
124log1log
024
2
5
2
5
2
mxxx
mxx
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>++
+
>++
5
1log
24
1log
024
52
2
5
2
mxx
x
mxx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>++
+
>++
5
1
24
1
024
2
2
2
mxx
x
mxx
⇔ ( )⎪⎩
⎪⎨⎧ >−+−
>++
02544
024
2
2
mxx
mxx
Do đó ta có : 
Mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (3) 
⇔ ( )
2
2
4 2 0
4 4 5 2 0
x x m
x x m
⎧ + + >⎪⎨ − + − >⎪⎩
 ∀x ∈ (1 ; 4) (4) 
Vì f(x) = x2 + 4x + 2m cò f’(x) = 2x + 4 > 0 ∀x ∈ [1 , 4] 
Và g(x) = 4x2 – 4x + (5 – 2m) có g’(x) = 8x – 4 > 0 ∀x ∈ [1 , 4] 
Nên f(x) và g(x) tăng ngặt trên [1 , 4] 
⇒ (4) ⇔ ( )( )⎩⎨
⎧
≥−=
≥+=
0251
0251
mg
mf
 ⇔ 
2
5
2
5 ≤≤− m 
Vậy với m ∈ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
2
5;
2
5
, mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (3). 
 154 
Bài 45 
Cho bất phương trình 9x – 5m.6x + 3m.4x > 0 
a) Giải bất phương trình trên khi m = 2 
b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
giá trị của x ? 
 (Đại học Văn Lang , năm 1998) 
Giải 
Với m = 2 thì bất phương trình ⇔ 9x – 10.6x + 6.4x > 0 
⇔ 06
2
310
2
3 2 >+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ xx 
Đặt t = 
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
3
 > 0 
⇒ t2 – 10t + 6 > 0 ⇒ t1 = 195 − và t2 = 195 + 
⇒ 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
195
2
3
195
2
3
x
x
 ⇒ 
( )
( )⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+>
−<
195log
195log
2
3
2
3
x
x
Vậy : x < ( ) 195log
2
3 − hay x > ( )195log
2
3 + 
b) Đặt t = 
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
3
 > 0 và thay vào bất phương trình ta được : 
f(t) = t2 – 5mt + 3m > 0 ∀t > 0 
⇔ 
( )
( )
( )
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⇔
⎩⎨
⎧
≤
≥⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤=−
≥
<<⇔<−=∆
0
05
03
0
2
5
2
00
:
25
12001225: 2
m
m
m
m
a
b
f
II
mmmI
Hợp (1) và (2) ta có : 0 < m < 
25
12
 155 
Bài 45 
Giải bất phương trình ( ) ( ) 3113 310310 ++−− −<+ xxxx 
 (Đại học Giao thông vận tải , năm 1998) 
Giải 
Bất phương trình (1) ⇔ ( ) ( ) 3113 310310 ++−− −<+ xxxx 
Điều kiện : ⎩⎨
⎧
≠+
≠−
03
01
x
x
 ⇔ ⎩⎨
⎧
−≠
≠
3
1
x
x
Vì ( )( ) 1310310 =−+ nên 310 − = ( ) 1310 −+ 
Do đó : 
(2) ⇔ ( ) ( ) 3113 310310 ++−−− +<+ xxxx 
⇔ 
3
1
1
3
+
+−<−
−
x
x
x
x
 (vì 310 + > 1) 
⇔ 0
3
1
1
3 <+
++−
−
x
x
x
x
 ⇔ ( )( ) 031
102 2 <+−
−
xx
x
⇔ -3 < x < 5− hay 1 < x < 5 
Bài 46 
Cho bất phương trình : 9x – 2(m + 1).3x – 2m – 3 > 0 (1) , trong đó m 
là tham số thực .Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình (1) luôn 
nghiệm đúng ∀x 
 (Đại học Mỏ – Địa chất , năm 1998) 
Giải 
9x – 2(m + 1)3x – 2m – 3 > 0 
⇔ (3x)2 – 2(m + 1)3x – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x + 1)(3x – 2m – 3) > 0 
⇔ 3x – 2m – 3 > 0 ⇔ 3x > 2m + 3 
Do đó bất phương trình (1) luôn luôn đúng với mọi số x khi và chỉ khi 
2m + 3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 
2
3− 
Vậy m ≤ 
2
3− là các giá trị cần tìm của m. 
 156 
Bài 47 
Giải bất phương trình : 1
2x
2x3logx >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+
Giải 
1
2x
2x3logx >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+
 ĐK : ⎩⎨
⎧
≠
>
1x
0x
 • Nếu x > 1 , BPT ⇔ x
2x
2x3 >+
+
 ⇔ 3x + 2 > x2 + 2x 
⇔ x2 – x – 2 < 0 ⇔ 2x1
1x
2x1 <<⇔⎭⎬
⎫
>
<<−
 • Nếu 0 < x < 1 , BPT ⇔ x
2x
2x3 <+
+
 Do x > 0 ⇔ 3x + 2 0 
 ⇔ ⎢⎣
⎡
>
−<
)loai(2x
)loai(1x
Đáp số : 1 < x < 2 
Chú thích : có thể giải bằng cách dẫn tới : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
+−
>
0x
2x
2x3)1x(
0x
Bài 48 
Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau được 
nghiệm đúng với mọi x ≤ 0 : 
0)53()53)(1a2(2a xx1x <++−+++ 
Giải 
 Đặt t = 
x
2
53
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
 , do x ≤ 0 ⇒ 0 < t ≤ 1 . ta có : 
 157 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
2
53
2
53
 = 1 . Vậy ta có BPT : t2 + 2at + 2a + 1 < 0. 
Vậy ta có f(t) = t2 + 2at + 2a + 1 < 0 với mọi t ( ]1;0∈ 
⇔ ⎩⎨
⎧
<
≤
0)1(f
0)0(f
 ⇔ a < 
2
1− . 
Bài 49 
Giải bất phương trình : 
06xlog)5x2(xlog)1x(
2
1
2
2
1 ≥++++ 
Giải 
TXĐ : x > 0 
06xlog)5x2(xlog)1x(
2
1
2
2
1 ≥++++ 
⇔ 06xlog)5x2(xlog)1x( 222 ≥++−+ (3) 
Coi (3) là bậc hai đối với t = log 2x 
∆ = (2x + 5)2 – 4.6(x + 1) = 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2 
t1 , t2 = )1x(2
)1x2(5x2
+
−±+
 ⇒ t1 = 2 , t2 = 
1x
3
+ 
Để biết vị trí của t1 và t2 ta cần biết dấu của hiệu số của chúng . 
Do đó ⇒ 
 • Xét hiệu t1 – t2 = 1x
1x2
1x
32 +
−=+− (x > 0) 
Nếu 0 < x ≤ 
2
1
 thì t1 ≤ t2 và BPT (3) dẫn tới 
 ⎢⎢⎣
⎡
+≥
≤
⇔⎢⎣
⎡
≥=
≤=
1x
3xlog
2xlog
txlogt
txlogt
2
2
22
12 
)5(
)4(
Khi 0 < x ≤ 
2
1
 thì (4) thoả , (5) vô nghiệm . 
Suy ra 0 < x ≤ 
2
1
 là nghiệm của (3) . 
 158 
Nếu x >
2
1
 thì t1 > t2 và BPT (3) dẫn tới : 
 ⎢⎢⎣
⎡
≥
≤<⇔⎢⎢⎣
⎡
≥
+≤⇔⎢⎣
⎡
≥=
≤=
4x
2x
2
1
2xlog
1x
3xlog
txlogt
txlogt
2
2
12
22 
Kết luận : toàn bộ nghiệm của (3) là : 
Bài 50 
Giải và biện luận bất phương trình : 
2log
2
1xloglogxloglog aaaaa 22 ≥+ 
Giải 
a phải thoả điều kiện 0 < a ≠ 1. 
Ta có : 2log
2
1xloglogxloglog aaaaa 22 ≥+ 
⇔ 2log
2
1xloglog
2
1xlog
2
1log aaaaa ≥+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
⇔ 2log
2
1xloglog
2
1xloglog
2
1log aaaaaa ≥++ 
⇔ 2logxloglog2log
2
3xloglog
2
3
aaaaaa ≥⇔≥ (1) 
 Nếu 0 < a < 1 : (1) ⇔ 0 < logax < 2 ⇔ a2 ≤ x < 1 
 Nếu a > 1 : (1) ⇔ logax ≥ 2 ⇔ x ≥ a2 
Bài 51 
Tìm tất cả các giá trị x thoả mãn x > 1 nghiệm đúng các bất phương 
trình sau : 
1)1mx(log
m
)xx(2 2 <−++ với mọi giá trị của m : 0 < m ≤4 
Giải 
 Do x > 1 và 0 < m ≤ 4 nên 1
m
)xx(2 2 >+ . Vậy : 
 159 
1)1mx(log
m
)xx(2 2
<−++ ⇔ (x + m – 1) < m
)xx(2 2 +
⇔ f(m) = m2 + m(x – 1) – 2(x2+ x) < 0 (1) 
Để (1) thoả mãn với mọi m ( ]4;0∈ đồ thị của f(m) có 1 trường hợp 
(hình vẽ) và điều kiện là : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−−−=
>⇔≤+−=
>
0)6xx(2)4(f.1
3x0)xx(2)0(f.1
1x
2
2 
Bài 52 
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình : 
a.9x + (a – 1).3x+2 + a – 1 > 0 
nghiệm đúng vơí mọi x . 
Giải 
Đặt 3x = t > 0 , bất phương trình đã cho tương đương với : 
f(t) = at2 + 9(a – 1)t + a – 1 > 0 (2) 
BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x khi bpt (2) phải nghiệm đúng với 
mọi t > 0 
Với a = 0 : (2) ⇔ -9t – 1 > 0 ⇔ t < 
9
1− ⇒ a = 0 loại 
Với a ≠ 0 : Đồ thị vế trái của (2) có 2 dạng chấp nhận được 
TH1: điều kiện :
⎩⎨
⎧
<−−−=∆
>
0)1a(a4)1a(81
0a
2 ⇔ 1 < a < 77
81
TH2 : điều kiện : 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤−−=
≥−=
≥−−=∆
>
0
a2
)1a(9
2
S
0)1a(a)0(f.a
0)81a77)(1a(
0a
 ⇔ a = 1 hoặc a ≥ 
77
81
Kết luận : a ≥ 1. 
 160 
Bài 53 
Giải bất phương trình : 
1 x
x
2 2x 1 0
2 1
− − + ≤− 
Giải 
Điều kiện tồn tại phương trình là x2 1 x 0 ≠ ⇔ ≠ 
Đặt f(x)
1 x
x
2 2x 1.
2 1
− − += − Vậy f xác định và liên tục 
trên R \ {0} 
1 xf (x) 0 2 2x 1 0 (x 0)
2x 1 (x 0) (1)1-x
 2 
−= ⇔ − + = ≠
⇔ = − ≠
Đặt u 1 x x 1 u (u 1) = − ⇔ = − ≠ 
(1) u2 2(1 u) 1 2u 1⇔ = − − = − + 
Phương trình này có nghiệm duy nhất là u = 0 hay x = 1 
1 2f ( ) 0
2 2 1
= >− 
f ( 1) 14 0− = − < 
5f (2) 0
6
= − < 
x -∞ -1 0 ½ 1 2 +∞ 
f(x) - || + 0 - 
Vậy : Tập nghiệm của BPT f (x) 0≤ là [ )( ; 0) 1; −∞ ∪ ∞ 
 161 
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI 
1. Cho bất phương trình : log2 (7x2 + 7) ≥ log2(mx2 + 4x + m) , Với 
những giá trị của m thì phương trình trên luôn đúng ∀x. 
 (Đại Học An Ninh Hà Nội khối C) 
2. Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình sau : 
loga(26 – x2) ≥ 2 loga (4 – x) ,trong đó a > 0 , ≠ 1 
 (Học viện Kỹ Thuật Mật Mã ) 
3. 1) Tìm miền xác định của hàm số : 
y = ( ) ;x42x3xlog 23 −++− 
 2) Cho : f1(x) = x2 - (2m + 1)x + m2 + m ; 
 f2(x) = x2 – mx – 3m –1 
Tìm nghiệm của phương trình f1(x) = 0 .Xác định m để cả hai nghiệm 
ấy đều là nghiệm của phương trình f2(x) ≥ 0 . 
(Cao Đẳng Sư Phạm Hà Nội) 
4. Giải bất phương trình : 2
1x
4x24x ≤−
−+
 162 
BÀI TẬP THAM KHẢO TỪ DỄ ĐẾN KHÓ CÁC 
DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOG – MŨ 
1. 
1) x5 3125;> 2) 4x2 16;< 
3) x(1/ 0,125) 128;≤ 4) x(1/ 64) 1/ 8;> 
5) 
x 645 625;≥ 6) 4 x512 16 / 2 0;− ≥ 
3(x 7) / 0,2
x 1/ 217) 4 (0,25.81) ;
2
− −⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠ 8) 
4 x 1 x 3(2,56) (125 / 512) ;− −< 
9) 2 x 5 5 x 1(3, 24) (5 / 9) ;− +≥ 10) 54(x 1) x 1004 16 0;+ +− ≤ 
59049≥x511) 9 12) x74 16384;< 
x 40,015625.4 ;+≥13) 2 x+4 14) x x 3 x3 (0, (3)) (1/ 27) ;− ≤ 
15) x 0,5 x(0, 2) / 5 5(0,04) ;+ > 16) x 392(1/ 8, (3)) 0,00020736;− > 
17) x3 5(0, (6)) 1,5.< 
2. 
1) x7 343;> 2) 
x 5
23 3 3;
−
≥ 
3) 2 2x x 2(3 / 2) (8 / 27) ;− −≤ 4) 42 / 3 3x 127 9 ;− −< 
5) 
2x 35 515 ;
2 8
−⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠ 6) 
x 1 6x 5(0,04) 625 ;− −≤ 
7) ( ) x2x 30,125.4 0,25 / 2 ;−− > 8) ( )x1/ 6561 27;≥ 
9) 3x7 343;≤ 10) 3x15 3375;> 
11) ( )( )x4 23 3;≥ 12) ( ) x 33/ 90,25 x 170,6 4 ;27
−− ⎛ ⎞> ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
13) ( ) ( )x 1 4 x 12,56 5 / 8 ;− +≥ 14) ( )( )2x 50,1 6 0,25 324;− ≤ 
15) ( ) ( ) ( ) 15 / 4 x 10 2 x 22 0,5 16 ;−+ +≥ 16) 0,00(5)x11 1/1331;− > 
 163 
17) 6 x27 (0, (3)) .−> 
3. 
1) 
6 2x
x
1 13 0;
3 243
⎛ ⎞ − <⎜ ⎟⎝ ⎠ 2) 
20,5x 5,5x 12,875 84 4;− − > 
3) 
2x 17x 63,53 27 3;− + ≤ 4) 
12x 6x 35 335 625 25;
− − ≥ 
5) 
210 x 14,5x2 1/ 8;− < 6) 2x 15 15 12 12x6 / 2 3 / 6 ;− − −≤ 
7) 
2x x 12 3(0,6) (25 / 9) (27 /125) 0;− − 
9) x 1 x 1/ x3 6 12 4 (0,125) 4 ;
2
− > 10) x /(x x ) ( x 1) / x5 25 0;− −− ≤ 
11) x 1 5 x / 42 16 (0,25) 0;+ −− ≥ 12) x 8 (x 8) / x 864.3 6 0;− − −− ≥ 
13) x 3 1/(2 x ) 1/( x 1)2(2 ) 16 0;+ −− > 
14) 3 (3x 1) /(x 1) (x 3) /(3x 7)3 27 0;− − − −− ≤ 
15) 
2x 2x 10 x2 ( 33 128 1) .+ − ≥ + − 
4. 
1) 
2x x2 / 4 8; 
3) 
2x 6x 0,5 12 (16 2) ;− + −≤ 4) 2x 16x 37,5(0, 2) 5 5;− + ≤ 
5) 5 x 1/ x x 4(5 ) 5 0;−− ≥ 6) (2x 1) / x 2x 127 9 0;− −− ≤ 
7) 
2 2x 3 x 3 x 1 32 5 0,01(10 ) 0;− − −− 
9) 
2x 4 4x12 /144 1/1728 0;+ − < 10) (x 2) / x 2 472 64(0, (3)) 0;+ + − ≥ 
11) 2 5x 1 5x 1(0, 25) 4.2 0;− + +− ≤ 
12) 5x ( 5x 1) /( 5x 1)10 1000 10 0;− + − − > 
13) 3 5x 1/ x 92 2 16 8 0;− − ≥ 14) 1/(8x) x 7 / 2 1/ x516 (0,5) 4 0;−− ≤ 
15) 
2x 6x 4 x3( 2) ( 3 8 1) 0.− − − + − ≥ 
 164 
5. 
1) x 3 3 x5 7 ;− −≥ 2) x 7 7 x11 17 ;− −< 
3) 2x 4 3x 4x 415 3 5 0;+ −− ≤ 4) 2(2x 5) 2(3x 1) 5x 63 5 15 0;+ + +− > 
5) x x /(x 1)5 8 100 0;+ − ≥ 6) x 2 x3 3 72 0;+ − − > 
7) x x 42 2 15 0;−− − < 8) x 2 x 32 5.2 27648;+ −− ≥ 
9) 2 x 2 x 1 2 x 23 3 3 11;− −+ − ≤ 
10) x 10 x 9 x 11 x 123 2 3 2 0;− − − −− − − > 
11) 3 x 2(x 1) 19 3 738. ;
81
+ ++ ≥ 12) 5x 1 5x 2 5x 32 2 2 896 0;− − −+ + − < 
13) 2x 1 x 2x 2x 25 2 5 2 0;− ++ − + > 14) 2x x 2x x5 7 35.5 35.7 0;− − + ≤ 
15) 2x 6 x 2 x 5 1 0,5x7 49 2 2(0,25) 0;+ + + − +− − + > 
16) 3x 3x 1 3x 2 3(x 1)2 2 2 2 120 0;− − −+ + + − < 
17) x x 1 x 2 x 1 x 33 2 2 3 2 0.− + − −+ − − + ≥ 
6. 
1) 3x 2 x 2 / 32 5 ;− −≥ 2) x 3 2x 68 3 ;− −< 
3) 3x 2x 3x1 6 2 3 0;
8
− ≤ 4) 2x 4 3x x 86 3 2 0;+ +− > 
5) x (x 1) / x5 8 500 0;− − ≤ 6) x 3 x2 2 112 0;+ − − > 
7) 2x 3 2x3 3 30 0;+ + − < 8) x x 27.5 5 450;+− ≥ − 
9) x 4x 2x 22.16 2 4 15;−− − ≤ 
10) x x 0,5 2x 1 x 0,54 3 2 3 0;− − +− + − > 11) x x 15.2 3.2 56;−− ≤ 
12) 4x 3 4x 1 4x 15 4.5 85 24505 0;− − +− + − < 
13) x 3 x 4 x 5 x 35 5 16.5 2 0;− − − −− − − > 
14) x x 2 x 1 x 11 13.4 .9 6.4 9 0;
3 2
+ + ++ − + ≤ 
15) 
1 x 1 x
2x 3 2x 31 1 11 13 0;
121 169
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
16) 12x 1 6x 1 4x 1 3x 12 4 8 16 1280 0;− + − −− + − − < 
17) x 2 x 1 x 2 x 3 x 45 5 5.5 5.5 5.5 18645.+ + − − −+ − + − ≥ 
 165 
7. 
1) x 1 x3 18.3 29;+ −+ > 2) x (x 3) / 22 2 15.2 ;−− < 
3) 2x 1 x 15 5 250;− ++ ≥ 4) x 1 x2 4 80;+ + ≤ 
5) x 2 x 13 9 810 0;+ ++ − > 6) log 7.log 5x x 5 74 9.2 8 0;− + < 
7) 2 log 5x 0,5(x 3) 32 3.2 3 19;+−− ≥ − 8) 3x 3x x x 12 8 / 2 6(2 1/ 2 ) 1;−− − − ≤ 
9) 2(x 2) 2(4 x)9.5 4.5 325 0;− −+ − > 
10) 3x x x x32 8 3.2 15 3.2 0;
8
− −+ + − + < 
11) log 9 log 162x 1 x 125 255 5 125 5 0,2;− −− ≥ 
12) log 322 / x (3x 3) / x lg 7 24358 2 100 .81 ;
16
+− + > − 
13) 
2 2 log 3 log 4log 4 log 21 x 1 x 7 49144 125 5 (12 )(7 );+++ −− < 
14) 
2 log 2764x 2x x 18 3
252 2(0,5) (0,5) (log 625)64 0;− − − ≤ 
15) x 3x x