Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Chủ đề 1 TÊNH ÂÅN ÂIÃÛU CUÍA HAÌM SÄÚ
PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tính đạo hàm y’ = f’(x) 
Tìm nghiệm của f’(x) hoặc các điểm tại đó f’(x) không xác định. 
Lập bảng xét dấu f’(x) (bảng biến thiên) để kết luận.
BÀI TẬP:
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
y = x3 – x +1	b) y = - x3 – 3x + 5	c) y = x4 – 2x2 + 3
 d) y = 	e) y = 	g) y = 
 h) 	k) 	l) 
	 m) y = x – sinx	n) y = x + 2cosx, x o) y = 
2) Tçm m âãø haìm säú y = -mx3 - (m +1)x2 + 3(m + 2)x + luôn luôn âäưng biãún trên .
HD: Hàm số đồng biến trên y’ = -mx2 -2(m +1)x + 3(m + 2) 
+ Trường hợp m = 0 ta có y’ = -2x + 6 không thể lớn hơn bằng 0 với mọi x.
+ Trường hợp m 0 ta có y’ 
3) Tçm m âãø y = luôn luôn nghịch biãún trãn R.
Aùp dụng tính đơn điệu giải toán
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
tgx > sinx, 0 < x < . HD: Xét hàm số f(x) = tgx – sinx trên khoảng (0; ).
Có f’(x) = > 0 f(x) là hàm đồng biến trên (0; ) f(x) > f(0) = 0 tgx > sinx
cosx > 1- với "x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = cosx + - 1 trên (0; +
x- 1 > (x – 1) với 2, x > 1. HD: Xét hàm số f(x) = -(x – 1) – 1 trên (1; +
x - 0, HD: Xét hàm số f(x) = x - - sinx trên (0; +
 Chứng minh rằng với mọi x và với n nguyên dương lớn hơn 1 ta đều có:
 (1 + x)n + (1 – x)n < 2n 
HD: Xét hàm số f(x) = (1 + x)n + (1 – x)n trãn âoản [-1; 1]. 
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 	 
 Nếu x > y thì f(x) > f(y) 2y2 > 2x2 y > x vô lí.
 Tương tự  nếu y > x thì f(y) > f(x) x > y vô lí
 Vậy x = y . thay x = y vào một trong hai phương trình ta có x = y = 1.
Bài 3: Chứng minh rằng phương trình x3 - 3x + c = 0 không thể có hai nghiệm trong đoạn [0; 1]
	HD : 	- Xét hàm số f(x) = x3 – 3x + c 
	- f’(x) = 3x2 – 3 ; f’(x) = 0 x = 1 ; x = - 1
	- Lập BBT ta có [0 ; 1] hàm số luôn luôn đồng biến nên không thể cắt trục Ox tại hai điểm 
	Hay phương trình đã cho không thể có hai nghiệm.	
III. Aùp dụng định lí Lagrange: Hàm f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)
 thì tồn tại một số c (a; b) sao cho
Cho 0 < a < b < . Chứng minh rằng: . HD: xét hàm f(x) = tgx trên (
Hãy tìm trên đồ thị hàm số f(x) = x3 – x những điểm tại đó tiếp tuyến song song với dây cung nối các điểm có hoành độ là 10 và 12. 
 HD: Áp dụng ĐLí Lagrăng ta có