Đề dự bị 1 – Toán khối A – Năm 2006

ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2006 (ÑEÀ DÖÏ TRÖÕ) 
Ñeà DÖÏ BÒ 1 – khoái A – 2006 
Phaàn Chung Cho Taát Caû Caùc Thí Sinh 
Caâu I (2 ñ) 
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá 
y = x x
x
+ +
+
2 2 5
1
 (C) 
2) Döïa vaøo ñoà thò (C), tìm m ñeå phöông trình sau ñaây coù hai nghieäm 
döông phaân bieät 
 x2 + 2x + 5 = (m2 + 2m + 5)(x + 1) 
Caâu II (2 ñ) 
1) Giaûi phöông trình: cos3x cos3x – sin3x sin3x = 
+2 3 2
8
2) Giaûi heä phöông trình:
( ) ( )
( , )
( )( )
x y y x y
x y R
x y x y
⎧ + + + =⎪ ∈⎨ + + − =⎪⎩
2
2
1 4
1 2
Caâu III (2 ñ) 
 Trong khoâng gian vôùi heä truïc toïa ñoä Oxyz. Cho hình laêng truï 
ñöùng ABC A B C′ ′ ′ coù A(0, 0, 0) ; B(2, 0, 0) ; C(0, 2, 0) ; A′ (0, 0, 2) 
1) Chöùng minh A′C vuoâng goùc vôùi BC. Vieát phöông trình mp (ABC′ ) 
2) Vieát phöông trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng B C′ ′ treân 
mp (ABC ) ′
Caâu IV (2 ñ) 
1) Tính tích phaân: I = dx
x x+ + +∫
6
2 2 1 4 1
2) Cho x, y laø caùc soá thöïc thoûa maõn ñieàu kieän: x2 + xy + y2 ≤ 3. 
 Chöùng minh raèng: x xy y− − ≤ − − ≤ −2 24 3 3 3 4 3 3 
Phaàn töï choïn: Thí sinh choïn caâu Va hoaëc caâu Vb 
Caâu Va (2ñ) 
) 1 Trong mp vôùi heä truïc Oxy, cho elíp (E): x y+ =
2 2
1
12 2
 Vieát phöông trình hypebol (H) coù hai ñöôøng tieäm caän laø y = ± 2x 
vaø coù hai tieâu ñieåm laø hai tieâu ñieåm cuûa elíp (E) 
 2)AÙp duïng khai trieån nhò thöùc Newton cuûa (x2 + x)100, chöùng minh raèng: 
...C C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
99 100
0 1 991 1 1100 101 199 C⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
198 199
100
100 100 100
1200 0
2 2 2
aäp k
1) aûi phöô
2) o h hoäp
⎜ ⎟⎝ ⎠100 2
 ( knC laø soá toå hôïp ch cuûa n phaàn töû ) 
Caâu Vb (2 ñ) 
Gi baát ng trình: logx + 1(-2x) > 2 
Ch hìn ñöùng ABCD. A B C D′ ′ ′ ′ coù caùc caïnh AB = AD = a, 
A A′ = a 3
2
 vaø goùc BAD = 600. Goïi M vaø N aàn löôït laø trung ñieåm l 
ùc caïnh A D′ ′ vaø A B′ ′ . Chöùng cuûa ca minh AC′ vuoâng goùc vôùi mp 
ùp A.BDMN (BDMN). Tính theå tích khoái cho
Baøi giaûi 
1/ KS y= x
x
+
+
2 2 5x +
1
, MXÑ: D=R/{ }−1 
y’=
( )
x x+ −2 2 3 , y
x + 2 ’=0 ⇔1 x=1 hay x=-3 
TC: x=1, y=x+1
 -3 -1 
x -∞ 1 +∞ 
y’ + 0 - - 0 +
y -4 +∞ +∞ 
 -∞ -∞ 4 
2/ Tìm m ñeå pt coù 2 nghieäm d ông phaân bieät. Vì x >0, pt ñaõ cho ö
⇔ x x+ + +
2
22 5 2 5 m m
x
= ++1
Soá nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho baèng soá giao ñieåm cuûa ñoà thò haøm 
x x
x
+ +
+
2 5
1
 , x > 0, vôùi ñöôøng thaúng y=
2
m m+ +2 2 5 . Töø BBT 
vaø y(0) ta suy ra 
⎪⎩
≠−
soá y = 
cuûa (C) 
 ycbt ⇔ m m
⎧⎪ ⎨
m
m− < <
1
2 0
 II
24 2 5 5 
Caâu 
+2 3 2
1/Giaûi pt: cos3x.cos3x-sin3x.sin3x=
8
 (1) 
(1) 3x(c 3cos in3x(3sinx sin3x)=
+2 3 2
2
 ⇔ cos os3x+ x)-s -
⇔ cos23x+sin23x+3(cos3x.cosx-sin3x.sinx)= +
2
3 21 
cos4x=⇔ 2 π
4
⇔ x= kπ π± +
16
=cos
2 2
2/ Gæai heä phöông trình 
)( )
x ( )y y x y
(x y x y
⎧ + +⎪⎨ + =+ + − =
2
2
1 4
1 2
 (I) 
*Khi y=0 thì (I) 
⎪⎩
⇔
)( )( x
x
x
⎧ +⎪⎨⎪ + − =⎩
=2
2
1
1 2 0
0
 (VN) 
*Khi y 0 chia hai pt cho y 
(I) 
≠
⇔
( )
x y x
⎧ + + +⎪ y
x y x
− =⎪⎨ +⎪
y
+ − =⎪
2
2
2 2
1 2 1
⎩
1
( ) ( )
x y x
y
y x y x
⎧ + + + − =⎪⎨⎪ + − − + − + =⎩
2
2
1 2 2
2 2 2 1
 ⇔ 
0
ng vaø tích ) ( do pt toå
⇔ y x
x x
+ − =⎧⎨ + = −⎩ 2
2 1
1 3
⇔ x
y
=⎧⎨ =⎩
1
2
 hay 
x
y
= −⎧⎨ =⎩
2
5
Caùch khaùc Thay y cuûa pt 2 vaøo pt 1
( I)
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
x x y x y x x y x
x y x y
⎧ + + + + − + = + + −⎪⇔ ⎨ + + − =⎪⎩
2 2 2
2
1 1 2 4 1 2
1 2
 ta coù 
)2
( chia 2 veá cuûa pt 1 cho 1 + x2 ) 
)
1 2
( )( ) (
( )( )
y x y x y x
x y x y
+ + − + = + −⎧⇔ ⎨ + + − =⎩ 2
1 2 4
1 2
( )( ) (
( ) ( )
y x y x y x
x y x y
+ + − + − + = + −⎧⇔ ⎨ + + − =⎩ 2
1 2 2 2 4 2
⇔ y x
x x⎨ −2 ⇔
+⎧ − =
+ =
2 1
1 3⎩
x
y
=⎧⎨ =⎩ 2
 hay 
y
1 x = −⎧⎨ =⎩ 5
2
Caâu III. 
1/CM: A’C BC’. Vieát phöông trình mp(ABC’) 
où ( , , )−
⊥
Ta c / ( , , ), 'A C BC= − =
uuuur uuuur
0 2 2 2 2 2 
'' . ' .( )A .( ) .( ) 'C BC BC= − ⊥0 2uuuur uuuur r uuuur . Vì A’CA C+ − = ⇔2 2 2 2 0 uuuu ⊥ BC’, 
A’
)= −0 2 2
C⊥AB=> A’C⊥ (ABC’) 
⇒ 'A Cuuuur laø PVT cuûa mp(ABC’) ( , ,
⇒pt(ABC’): 0.(x-0)+2(y-0)-2(z-0) = 0 ⇔ y - z = 0 
2/Vieát phöông trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa B’C’ leân mp(ABC’) 
Ta coù ' 'B C =uuuuur uuur ( , , )BC = −2 2 0 . Goïi (α ) laø mp chöùa B’C’ vaø ⊥ (ABC’). 
h hieáu vuoâng goùc cuûa B’C’ leân mp(ABC’) l iao tuyeán cuûa K i ñoù hình c aø g
(α ) vaø (ABC’) 
(α ) coù PVT ⎡ ⎤= = − − − = −4 4 4 4 111uur uuuuur uuuur ' ', ' ( , , ) ( , , )n B C A Cα ⎣ ⎦
⇒pt(α ):1(x-0)+1(y-2)+1(z-2)=0 ⇔ x+y+z - 4=0. 
nh chieáu B’C’ leân (ABC’) laø 
x y z
y z
⎧⎪⎨⎪⎩
+ + − =
−
Vaäy pt hì
=0
4 0
Caâu IV 
1/ Tính I=
dx
x x+ + +2 2 1 4 1∫
6
 Ñaët t= x +4 1 ⇒ t2=4x+ x=1⇒ t −
2 1
4
, 
t dt
2
dx= .Ñoåi caän : t ( 2) = 3 ; t ( 6 ) = 5 
I= ( )t dt+ −5 1 1
( ) (t t t
= −+ + +∫ ∫ ∫23 3 31 1 )dt dt
5 5
1
=2 ln lnt t
⎡ ⎤+ + = −⎢ ⎥+⎣ ⎦ 3
1 31
1 2 12
5 1
2/Chöùng minh: x xy y− − ≤ − − ≤ −2 24 3 3 3 4 3 3 vôùi x
2+xy+y2 
Ñaët A= x2+xy+y2 , B= x2-xy-3y2 
*Neáu y= theo û thieát A=x0 thì gia 2 ≤ 3 B=x2. Do ñoù ⇒
B− − ≤ ≤ <4 3 0 4 3≤ −3 3 3 (ÑPCM) 
:
( )A x xy y t tB A
x xy y t t
− − −= = −+ + +
2 2 2
2 2 2
3 3
1
 *Neáu y ≠ 0 Ñaët t= x
y
.Ta coù +
Ta tìm taäp giaù trò cuûa ( ) ( )t t t u− −u u t u
t t
= ⇔ − + +
2
23 1 1
( )vì vaø b =a u= −1
+ + =+ +2 3 01 
+1 khoâng ñoàng thôøi baèng 0 neân 
 mieàn giaù trò cuû la
u
ø Δ ≥ ⇔0 − −3 4 3
3
≤ u≤ − +3 4 3
3
a u . 
A.u vaø Ta coù B = 0≤A≤ 3 
−3⇒ − 4 B3 ≤ ≤ − +3 4 3 
Caâu Va 
1/(E): x y
2 2
m 
laø 
+ =1
12 2
 coù hai tieâu ñieå
( ( ,F −1 10, ), )F 210 0 0 
(H) coù cuøng tieâu ñieåm vôùi (E) 
x y2 2
a b
− =2 2 1 vô⇒ (H): ùi 
a2+b2=c2=10 (1) 
(H) coù hai tieäm caän 
( )
by x x
a
b⇔ = =>2 2
b a
= ± = ±
=
2
2
Töø (1),(2) suy ra a2=2,b2=8 
 pt(H):
a
⇒ x y− =
2 2
1
2 8
2/ Ta coù ( ) ...
x x C x C x C x C x+ = + + + +2 100 0 100 1 101 2 102 100 200 laáy 100 100 100 100 ñaïo 
haøm hai veá, cho x= - 1
2
 vaø nhaân hai veá cho (-1).Ta coù keát quaû: 
( ) ... ( ) ( )C C C C+ − =
100 100 100
100 199 00
2 2 2
) (− +1 99 10099 100 198 199
100
1 1 1 1101 2 0
2
 Vb
0
Caâu 
x+1/Giaûi pt: log x ( )− >1 2 2 (1). Vôùi ÑK: -1< x < 0 0 < x + 1 < 1 ⇒
(1) 
vaø -1< x <0 
<
⇔ log ( ) log ( )x xx x+ +− > = + 21 12 2 1 
⇔ x
x x+ + >⎩ 2 4 1 0
− <⎧⎨ 1 0 
⇔ -2+ 3 < x < 0 
2/ Goïi O laø taâm hình thoi ABCD 
S laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua A’. Khi ñoù S,M,D thaúng haøng 
vaø M l SD ; S,N,B thaúng haøng vaø N laø 
trung cuûa SB 
aø trung ñieåm cuûa
 ñieåm
 coù AB=AD= a BADΔ
BAD =600⇒ BADΔ ñeàu AO=⇒ a 3
2
, 
AOAC=2 = a 3 =SA 
a 3
=AO Hai tam gi
2
a âng 
ø A n
ùc vuoCC’=
SAO va CC’ baèng hau 
⇒   ' 'ASO CAC A> C SO= = ⊥ (1) 
 Vì D BD AC vaø B⊥ ⊥AA’ 
C’ (
Töø (1) vaø (2) suy ra AC’
 ⇒BD⊥ (AC C’A’) 
⇒BD⊥A 2) 
⊥ (BDMN) 
 ñoù: VABDMN= 
3
4
1VSABD ( vì S SDo MN= 4
S SBD ) 
. ABD
a aSA S a =3
4 16
 = =
2 33 1 1 3 3
4 3 4
Haø Vaên Chöông - Phaïm Hoàng Danh - Löu Nam Phaùt 
( Trung Taâm Luyeän Thi Vónh Vieãn )