Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm học 2011-2012 môn thi: Toán

Bài 2: (4 điểm)

Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm

M. Cát tuyến qua B cắt (O1) và ()2) lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D). Đường

thẳng MC cắt (O1) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt (O2) tại Q khác D. Gọi O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của

QB và AD. Chứng minh rằng MO vuông góc với EF .

pdf4 trang | Chia sẻ: tuanbinh | Ngày: 17/08/2018 | Lượt xem: 63 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm học 2011-2012 môn thi: Toán, để tải tài liệu về máy bạn hãy click vào nút TẢI VỀ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 
 MÔN THI: TOÁN 
 Ngày thi thứ nhất: 19 - 10 - 2011 
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút. 
Bài 1: (4 điểm) 
 Giải hệ phương trình sau : 
y 1 x
2
2
2
 x (y 1)
2x 9x 64x 18x 20 y 1
2x 9x 8
+⎧ = +⎪⎨ − +− + − + = +⎪ − +⎩
Bài 2: (4 điểm) 
 Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm 
M. Cát tuyến qua B cắt ( và ( lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D). Đường 
thẳng MC cắt ( tại P khác C. Đường thẳng MD cắt 
( 1O
1O
) )
) )
)
( 2O
2O
1O ( )2O tại Q khác D. Gọi O là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của 
QB và AD. Chứng minh rằng MO vuông góc với EF . 
Bài 3: (4 điểm) 
 Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: 
1 1 1 3
( 1) ( 1) ( 1) 1a b b c c a abc
+ + ≥+ + + + 
 Bài 4: (4 điểm) 
 Cho đa thức . Giả sử P( có đủ 2012 nghiệm 
thực. Chứng minh rằng trong các nghiệm của P( có ít nhất một nghiệm thoả 
mãn 
2012 2010P(x) x mx m (m 0)= − + ≠ x)
x) 0x
0x 2≤ . 
Bài 5: (4 điểm) 
 Cho các số nguyên x, y. Biết rằng: x2 – 2xy + y2 – 5x + 7y 
 và x2 – 3xy + 2 y2 + x – y đều chia hết cho 17. 
 Chứng minh rằng: xy – 12x + 15y chia hết cho 17. 
 HẾT 
www.VNMATH.com
ĐÁP ÁN 
Bài 1 
y 1 x x (y 1) (1)+⎧ = +
2
2
2
2x 9x 64x 18x 20 y 1 (2)
2x 9x 8
⎪⎨ − +− + − + = +⎪ − +⎩
TXĐ : 5x 2; , y
2
⎡ ⎤∈ ≥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1− 
Từ (2) , đặt 2 1t 4x 18x 20 (x 2)(10 4x), 0 t
2
= − + − = − − ≤ ≤ xét hàm số 
 ( ) 2 4 1f t t 1 t 0;t 4 2
⎡ ⎤= + + ∀ ∈⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ 
( ) ( ) ( )
( )
( )
24 24 2
/
2 2 22 2 2
t 7t t 48t t 8t 16 8tf t 1 0
t 4 t 4 t 4
+ + −+ + −= − = = >
+ + +
Suy ra ( ) ( )f t f 0 2≥ =
Suy ra y 1 2 y 3+ ≥ ⇔ ≥ 
Ta có (1) ln(x) ln(y 1)
x y 1
+⇔ = + 
Xét hàm số ( ) ln(t)g t
t
= với t 0>
 ( )/ 21 ln tg t t
−= ; ( )/g t 0 t e= ⇔ = 
 Suy ra đồng biến trên ( ) , ( )g t 0;e ( )g t nghịch biến trên ( )e;+∞ 
 Do (5x 2; 0;e
2
⎡ ⎤∈ ⊂⎢ ⎥⎣ ⎦ ) suy ra 
ln x ln 2
x 2
≥ (3) 
 Do suy ra y 3≥ ln(y 1) ln 4 ln 2
y 1 4 2
+ ≤ =+ (4) 
Từ (3) và (4) ta suy ra hệ có nghiệm duy nhất là x 2; y 3= = 
Thử lại thấy thỏa mãn. 
Bài 2 
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ, có EF là trục đẳng phương của 2 
đường tròn (I) và (O) 
 ⇒ EF ⊥ OI 
Để chứng minh MO vuông góc với EF ta chứng minh M, I, O thẳng hàng. 
 Có MP.MC MA.MB MQ.MD k= = = 
 Phép nghịch đảo cực M, phương tích k biến : 
 C 6 P 
 A 6 B 
www.VNMATH.com
 D 6 Q 
 Đường tròn (ACD) không đi qua M. Theo tích chất phép nghịch đảo ta có M, I, O thẳng 
hàng. 
O
E
F
P
Q
D
A
B
O1 O2
M
C
Bài 3 
1 1 1 a ab 1 abc 1 1 a b(1 c)
a(b 1) 1 abc 1 abc a(b 1) 1 abc a(b 1) b 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +∗ + = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 b bc 1 abc 1 1 b c(1 a)
b(c 1) 1 abc 1 abc b(c 1) 1 abc b(c 1) c 1
⎛ ⎞ ⎛+ + + + +∗ + = = +⎜ ⎟ ⎜+ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
1 1 1 1 c a(1
c(a 1) 1 abc 1 abc c(a 1) a 1
⎛ ⎞+ +∗ + = +⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠
b)
Cộng theo vế: 
1 1 1 3
a(b 1) b(c 1) c(a 1) 1 abc
1 1 b c(1 a) 1 a b(1 c) 1 c a(1 b)
1 abc b(c 1) c 1 a(b 1) b 1 c(a 1) a 1
1 6
1 abc
+ + ++ + + +
⎛ ⎞+ + + + + += + + + + +⎜ ⎟+ + + + + + +⎝ ⎠
≥ + i
⇒ đpcm 
Bài 4 
Gọi x1, x2,..., x2012 là các nghiệm của P(x) ⇒ 1 2 2012P(x) (x x )(x x )...(x x )= − − − 
www.VNMATH.com
Ta có 1 2 2012
1 2 2012
(1 x )(1 x )...(1 x ) 1
P(1) P( 1) 1
(1 x )(1 x )...(1 x ) 1
− − − =⎧= − = ⇒ ⎨ + + + =⎩
Suy ra , từ đó ta có đpcm. 2 2 21 2 2012(x 1)(x 1)...(x 1) 1− − − =
Bài 5: 
Ta có x2 – 3xy + 2y2 + x – y 
= (x-y)(x-2y+1) chia hết cho 17 
⇒ x – y chia hết cho 17 
Hoặc x – 2y + 1 chia hết cho 17 
 x = y (mod 17) ⇒ x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y 
≡ y2 –2y2 + y2 –5y +7y ≡ 2y (mod 17) 
Nên x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y chia hết cho 17 
⇒ 2y và y : chia hết cho 17 
Mà x ≡ y (mod 17) ⇒ x chia hết cho 17 
⇒ xy - 12x +15y cũng chia hết cho 17 
 x ≡ 2y - 1 (mod 17) 
⇒ x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y 
≡ y2 –5y +6 (mod 17) 
Và xy - 12x +15y ≡ 2(y2 –5y +6) (mod 17) 
Nếu x2 – 2xy + y2 - 5x +7 chia hết cho 17 thì xy - 12x +15y cũng vậy. 
www.VNMATH.com

File đính kèm:

  • pdfHSG1112_HCM_V1.pdf