Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hòa Bình lớp 12 THPT, năm học 2010 – 2011 môn: Toán

SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
 ĐỀ CHÍNH THỨC	 LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2010 – 2011
 MÔN: TOÁN
(Ngày thi 23/12/2010 . Thời gian làm bài 180 phút)
---------------------------------------
Câu 1. (5 đ)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau:
Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Câu 2. (6 đ)
Giải phương trình: 
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu 3. (2 đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác đó, biết BC và BG lần lượt có phương trình là: x – 2y – 4 = 0; 
7x – 4y – 8 = 0 và đường thẳng CG đi qua điểm E(–4;1). Viết phương trình đường cao AH
Câu 4. (2 đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Câu 5. (4 đ) Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a
Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng .
Câu 6. (1 đ) Tính các góc của tam giác ABC biết: 2sinA.sinB.(1 – cosC) = 1 
------------------------ Hết ------------------------
Copyright by L­u C«ng Hoµn
Gi¸o viªn m«n To¸n, tr­êng THPT Nam L­¬ng S¬n –L­¬ng S¬n – Hßa B×nh
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2010 – 2011
***
Copyright by L­u C«ng Hoµn
***
.................. Start ..................
Câu 1. (5 đ)
1. Ta có:
Đặt sinx = t, (với ), thì 
Xét hàm số trên [–1;1]
Ta có nên f(t) nghịch biến trên [–1;1]
Từ đó suy ra:
2. Ta có: 
 Do tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn OA = 4OB, nên gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đó thì 
TH1: , hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình:
 (P.tr vô nghiệm)
TH2: , hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình:
Với x = –1, ta có p.trình tiếp tuyến cần tìm là: 
Với x = 3, ta có p.trình tiếp tuyến cần tìm là: 
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
 và 
Cách khác:
Ta có: 
– Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm .
– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại có dạng:
– Tiếp tuyến cắt Ox tại ; cắt trục Oy tại 
– Theo giả thiết: P.tr t.tuyến
Chú ý: PP này tổng quát hơn có thể giải cho 1 lớp các bt về tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện nào đó.
Câu 2. (6 đ). 1. Giải phương trình: 
Điều kiện: . Khi đó:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: 
Cách khác: Với điều kiện:, ta có:
 Kết hợp 2 họ nghiệm trên, ta được p.trình đã cho có các nghiệm là: 
2. Giải phương trình: 
Điều kiện: . Khi đó:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho 2 nghiệm là: x = 2 ; x = 
3. Giải hệ phương trình: 
Điều kiện: . Khi đó, ta có:
. Thế y = 4 – x vào ptr (2) ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (x;y) là:
Câu 3.(2 đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác đó, biết BC và BG lần lượt có phương trình là: x – 2y – 4 = 0; 
7x – 4y – 8 = 0 và đthẳng CG đi qua điểm E(–4;1). Viết phương trình đường cao AH.
Giải: 
– Gọi lần lượt là các vec tơ pháp tuyến của các đường thẳng BG, BC và CG.
– Ta có: Tam giác ABC cân tại A 
Chọn 
Với loại trường hợp này.
Với , phương trình đường thẳng CG
đi qua E(–4;1) và có VTPT là: 
– Vì, nên tọa độ của điểm G là nghiệm của hệ phương trình:
– Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến. Vậy đường cao AH đi qua G nhận làm VTCP nên có ph.trình tham số:
hay ph.trình tổng quát của AH là: 2x + y – 3 = 0
Cách khác:
– Vì tọa độ của điểm B(0;–2)
– Dễ thấy đường thẳng BG. Gọi N là điểm đối xứng với M qua BCN(8;–3)
– Vì ABC cân tại A nên CG//BN. Vậy đường thẳng CG đi qua E(–4;1) và 
có VTCP là: 
– Vì 
– Từ đó suy ra phương trình đường cao AH: 2x + y – 3 = 0
Câu 4. (2 đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
	 (1)
Giải:
Ta có: 
Do đó pt (1) có nghiệm pt (*) có nghiệm 
mtập giá trị của hàm số trên 
Xét hàm số trên . 
Ta có . Suy ra bảng biến thiên của hàm số f(x) trên là:
x
 1 + ¥
f’(x)
 0 + 
f(x)
 + ¥ 
 –1
Dựa vào BBT ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm thì giá trị m cần tìm là: 
Câu 5. (4 đ) Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a
1. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
2. Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng .
Giải: 
1. C/m .
– Từ giả thiết hình chóp S.ABCD có SA = x, các cạnh còn lại của hình chóp có độ dài bằng a nên dễ dàng nhận thấy:
ABCD là hình thoi cạnh a; 
SBD tam giác cân tại S.
– Gọi là giao điểm 2 đường chéo hình thoi I là trung điểm của BD
– Từ đó suy ra: 
2. Gọi H là hình chiếu của S lên AC, ta có: 
Mặt khác, ta có:
là tam giác vuông tại S 
và 
Do đó:. Yêu cầu bài toán tìm x theo a để 
Vậy giá trị x cần tìm là .
Câu 6. (1 đ) Tính các góc của tam giác ABC biết: 2sinA.sinB.(1 – cosC) = 1 (*)
Giải: 
– Vì A,B, C là 3 góc của tam giác ABC nên ta có:
– Ta có thể coi (**) là 1 phương trình bậc hai với ẩn là cosC. Vì tam giác ABC đã cho trước nên pt(**) phải có nghiệm 
– Từ đó suy ra: 
Vậy ABC là tam giác vuông cân tại C, nên có các góc 
................ The end ................
Copyright by L­u C«ng Hoµn
Gi¸o viªn m«n To¸n, tr­êng THPT Nam L­¬ng S¬n –L­¬ng S¬n – Hßa B×nh