Đề thi chọn học sinh giỏi khối 11 năm học 2008 - 2009 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11
 TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A 	Năm học 2008-2009
MÔN TOÁN
(Thời gian: 90 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm): 
a) Tính 
	 	b) Cho dãy số Tính u2009.
Câu 2: (2 điểm): Giải và biện luận theo m phương trình lượng giác: 
Câu 3: (2 điểm): 
a) Trong hộp có 4 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 9 viên bi vàng. Các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc. Người ta lấy ngẫu nhiên 6 viên bi trong chúng. Tính xác suất để số viên bi xanh và bi đỏ bằng nhau.
	b) Giải bất phương trình với hai ẩn n, k Î N: .
Câu 4: (4điểm): Trong không gian, cho hai tia chéo nhau Ax và By. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho AM = 2BN. Chứng minh rằng:
Trung điểm I của đoạn MN thuộc một tia cố định.
Đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11
 TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A 	 Năm học 2008-2009
MÔN TOÁN
Câu
Ý
Trình bày nội dung
Điểm
1
a) 
0,5
. Vậy 
0,5
b)
Viết lại dãy (Câu a)
0,25
 Với a1 = arctan1 Þ a1 = . Từ đó: 
0,5
Tính ra được: 
0,25
2
Coi pt là ptb2 ẩn m, tính ra: D’ = (cosx - 1)(sinx + 1) £ 0 "x
0,5
Pt Û 
0,5
Giải ra được: hoặc 
0,5
Kết luận: ptVN0; ; 
0,5
3
a)
Số phần tử của không gian mẫu là êWï= 
0,25
Gọi Ai, Bi là biến cố lấy được i viên bi xanh, đỏ. Biến cố lấy được số viên bi xanh bằng bi đỏ là: T = 
0,25
n(T) = 
0,25
Tính được P(T) » 0,236915819 » 0,24.
0,25
b)
Bpt Û 
0,25
Với n ³ 4 thì bpt VN0
0,5
Với n = 0, 1, 2, 3 có các N0: (0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)
0,25
4
a)
Kẻ tia Bx’ song song 
cùng chiều với tia Ax M x
Lấy điểm K Î Bx’ sao A
ABKM là h.b.hành. 
0,5
Trong mặt phẳng O I z x’
phẳng (By, Bx’) K
BK = 2BN nên trung
0,5
điểm J của NK luôn B J t
nằm trên tia Bt cố N
định y
0,5
Gọi O là trung điểm AB thì tứ giác OBJI là h.b.hành nên điểm
I thuộc tia Oz song song và cùng chiều với tia Bt.
Vậy điểm I thuộc tia cố định Oz.
0,5
b)
Trên tia Ax, By lần lượt lấy các điểm cố định M0, N0 sao cho AM0 = 2BN0 
0,75
Theo định lý Ta lét đảo suy ra MN, M0N0, AB thuộc ba mặt phẳng song song theo thứ tự là (a), (β), (g).
0,75
Mặt khác AB và M0N0 chéo nhau và hai mp(β), (g) lần lượt chứa chúng và song song với nhau nên (β), (g) cố định. Vậy MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
0,5