Đề thi chọn học sinh vào đội tuyển quốc gia dự thi Olympic toán học quốc tế năm 2011

M
at
hS
co
pe
.o
rg
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA
DỰ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ
NĂM 2011
Ngày thi thứ nhất: 09/04/2011
Thời gian làm bài: 240 phút
Bài 1. (5,0 điểm)
Tại điểm (1; 1) của mặt phẳng tọa độ Oxy có một con cào cào. Từ điểm đó, con cào cào chỉ
nhảy đến các điểm nguyên dương khác theo quy tắc: từ điểm nguyên dương A, con cào cào
nhảy đến điểm nguyên dương B nếu tam giác OAB có diện tích bằng
1
2
.
1. Tìm tất cả các điểm nguyên dương (m;n) mà con cào cào có thể nhảy đến sau một số
hữu hạn bước nhảy, xuất phát từ điểm (1; 1).
2. Giả sử (m;n) là một điểm nguyên dương có tính chất đã nêu ở câu 1. Chứng minh rằng
tồn tại một cách nhảy của con cào cào từ điểm (1; 1) đến điểm (m;n) mà số bước nhảy
không vượt quá |m− n|.
(Điểm (x; y) được gọi là điểm nguyên dương nếu x và y là các số nguyên dương).
Bài 2. (7,0 điểm)
Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Qua A, kẻ
các tiếp tuyến tới (O); gọi B và C là các tiếp điểm. Xét một điểm P di động trên tia đối của
tia BA và một điểm Q di động trên tia đối của tia CA sao cho đường thẳng PQ tiếp xúc với
(O). Đường thẳng BC cắt đường thẳng đi qua P , song song với AC tại E và cắt đường thẳng
đi qua Q, song song với AB tại F . Chứng minh rằng
1. Đường thẳng EQ luôn đi qua một điểm cố định, gọi là M ; đường thẳng FP luôn đi qua
một điểm cố định, gọi là N .
2. Tích PM ·QN không đổi.
Bài 3. (8,0 điểm)
Cho số nguyên n ≥ 3. Xét n số thực x1, x2, . . . , xn thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
• x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn;
•
n∑
i=1
xi = 0;
•
n∑
i=1
x2
i
= n(n− 1).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng S = x1 + x2.
M
at
hS
co
pe
.o
rg
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA
DỰ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ
NĂM 2011
Ngày thi thứ hai: 10/04/2011
Thời gian làm bài: 240 phút
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho dãy số nguyên dương (an) được xác định bởi
a0 = 1, a1 = 3 và an+2 = 1 +
[
a2
n+1
an
]
với mọi n ≥ 0
Chứng minh rằng an+2an − a2n+1 = 2
n.
([x] kí hiệu phần nguyên của số thực x)
Bài 5. (7,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n+2 (2n − 1)− 8 · 3n + 1 là một số chính phương.
Bài 6. (7,0 điểm)
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Có n học sinh ngồi quanh một chiếc bàn tròn, mỗi em có
một số chiếc kẹo (có thể có em không có chiếc kẹo nào) và tổng số kẹo của tất cả các em là
một bội của n. Các em thực hiện việc chuyển kẹo cho nhau như sau:
Với số kẹo mỗi em có lúc đầu, nếu có ít nhất một em có nhiều kẹo hơn bạn ngồi ngay bên phải
mình thì một em (tùy ý) trong số những em như thế chuyển 1 chiếc kẹo của mình cho bạn
ngồi ngay bên phải. Với số kẹo mỗi em có sau lần chuyển thứ nhất, nếu có ít nhất một em có
nhiều kẹo hơn bạn ngồi ngay bên phải mình thì một em (tùy ý) trong số những em như thế
lại chuyển 1 chiếc kẹo của mình cho bạn ngồi ngay bên phải. Quá trình chuyển kẹo cứ như thế
được tiếp tục.
Chứng minh rằng sau một số hữu hạn lần chuyển kẹo như vậy, tất cả các em đều có số kẹo như
nhau.