Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn thi Toán bảng A

 => hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng

phân giác => 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là

hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phương

trình 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:

 

pdf4 trang | Chia sẻ: tuanbinh | Ngày: 17/08/2018 | Lượt xem: 11 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn thi Toán bảng A, để tải tài liệu về máy bạn hãy click vào nút TẢI VỀ
THPT Quảng Xương 3
1
Sở giáo dục và đào tạo
 Thanh Hóa kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
----------------- ----------------------------------------------
Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-------------------------
Bài 1 (4 điểm)
1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2
 x
xy hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 450.
2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới
hạn bởi: xy 2log ; x + y = 3; y = 0.
Bài 2 (4 điểm)
1. Tìm m để hệ   
 

077
022
2
2
mxmx
mxmx có nghiệm.
2. Giải phương trình 3322  xxx .
Bài 3 (4 điểm)
1. Giải phương trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0.
2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13
coscoscos
1
coscoscos  CBACBA .
Bài 4 (4 điểm)
1. Giải phương trình        23log5log3 53  xxxx .
2. Tính
x
xx
x
13121lim
3
0

 .
Bài 5 (4 điểm)
1. Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đường thẳng




0122
0322
zyx
zyx có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu.
2. Với a, b, c dương và 1 ≤   R, chứng minh rằng:
11
1
11
1
11
1






 











ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
...........Hết...........
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ......................................... số báo danh .........................
THPT Quảng Xương 3
2
Hướng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bài ý Nội dung Điểm
1
 TXĐ D = R\{1}
M  Ox  M(x0; 0), đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương
trình: y = k(x – x0) ()
() là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ:
 
 





k
x
xx
xxk
x
x
2
2
0
2
1
2
1 có nghiệm
    02
22
1
2
1
xx
x
xx
x
x 
     021 00  xxxx  





1
1
2
0
0
0
0 xVoi
x
x
x
x
 Với x0 = 0 k = 0,
Với x0 = 1
2
0
0
x
x  k =  20
0
1
4


x
x
 Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
21
210
1
45
kk
kk
tg 
 ...  20
0
1
4
x
x
= ± 1
... 2230 x
  M1( 223 ; 0), M2( 223 ; 0).
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
I
2
 Giao điểm của đồ thị hàm số xy 2log , và đường thẳng x +y = - 3
là A(2; 1)  V =    


   dxxdxx 3
2
2
2
1
2 3log =V1+ V2
 V1= dxx2
1
2log = dxxe 2
1
2 ln.log =...
 =  12ln2.log2 e .
 V2 =   dxx 3
2
23 = ...= 
3
1
 V=[
3
1 +  12ln2.log2 e ] (đvtt)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
II 1
 
 
 

)2(077
)1(022
2
2
mxmx
mxmx
 1 = (m – 2)2 ≥ 0 và 2 = (m – 7)2 ≥ 0  m = 2 hoặc m = 7 thì
hệ phương trình vô nghiệm.
 Với




7
2
m
m
 và 0m thì tập nghiệm của (1) là D1  R+ và tập
nghiệm của (2) là D2 R- nên hệ phương trình vô nghiệm.
 Với m < 0 tập nghiệm D1= (m; 2) và tập nghiệm D2= (-7; -m) hệ phương trình luôn có nghiệm.
 Hệ phương trình luôn có nghiệm với m < 0.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
y
 O 1 2 3 x
1
THPT Quảng Xương 3
3
Bài ý Nội dung Điểm
2
         01330332  xxxxxxxx

2
131
03
0
3 2




 x
xx
x
xx

2
173
023
1
13 2




 x
xx
x
xx
Kết luận:
2
131x và
2
173x là nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1
 04cos33cos43cos2 2  xsxx
   02sin213cos2 2  xx





02sin
13cos
x
x






2
3
2
3


lx
k
x
KL: Nghiệm x =  + 2k
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
III
2
 đặt CBA coscoscos  = 1+
2
sin
2
sin
2
sin4 CBA = t  1< t ≤
2
3
 Xét f(t) =
t
t
1 trên (1;
2
3 ], có f’(t) = 2
11
t
 > 0  hàm số đồng
biến trên (1;
2
3 ]
 t  (1;
2
3 ] thì f(1) < f(t) ≤ f(
2
3 ) =
6
13
 Vậy
6
13
coscoscos
1
coscoscos  CBACBA
Dấu bằng xảy ra khi: CBA coscoscos  =
2
3 hay tam giác đều.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1
 Pt     3log5log 53  xx = 3
2


x
x với x > 5
 Hàm số y =    3log5log 53  xx đồng biến trên (5; + )
 Hàm số y =
3
2


x
x có y’=  23
5


x
< 0 nghịch biến trên (5; + )
  phương trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
IV
2
 L =
x
xxxx
x
131313121lim
333
0


 =
x
x
x
x
12131lim 3
0
 + x
x
x
131lim
3
0

 = L1 + L2
 L1 =
x
x
x
x
12131lim 3
0
 =  121 231lim 30  xx xxx = 1
 L2 =
x
x
x
131lim
3
0


=


  13131
3lim
3230 xxx
x
x
= 1
 Vậy L = 2
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
THPT Quảng Xương 3
4
Bài ý Nội dung Điểm
1





)(0122
)(0322
Qzyx
Pzyx
 ta nhận thấy




)(
)(
QI
PI
 và (P)  (Q)
  hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng
phân giác  2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là
hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phương
trình 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
|2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1|  



04-3z-x3
02-z4yx
 Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) =
3
2141 
=
3
4
 Phương trình mặt cầu cần lập là:      
9
16111 222  zyx
0.5đ
0. 5đ
0.5đ
0.5đ
V
2
Giả sử a ≥ b ≥ c > 0
011
1
11
1
11
1












 

















ba
c
ba
c
ac
b
ac
b
cb
a
cb
a
01
11
11
1
11
1
11
1























baba
c
c
acac
bb
cbcb
a
a
           
      011
11
1
11
11
1
11
11
1























bcac
acbaca
c
acac
abacbcb
cbcb
cacbab
a
...
       
       
        011
11
11
1111
11
1111
11
1111
11
























abcbbaba
acac
babaacac
cbcb
acaccbcb
baba
Điều này luôn đúng với mọi a ≥ b ≥ c > 0 và  > 1,   R
dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

File đính kèm:

  • pdf_toanhocthpt_thihsg_thptquangxuongiii_thanhhoa_17.pdf