Đề thi học sinh giỏi môn: Toán lớp 11 Trường THPT Thuỷ Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT THUỶ SƠN MÔN : TOÁN LỚP 11	 NĂM HỌC 2011_2012
	(Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề)
Bài 1:(1,5 điểm) Cho phương trình : 
 a) Giải phương trình (1).
b) Phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm thuộc . Tính tổng các nghiệm đó.
Bài 2: (2 điểm)
	a) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng nghìn.
	b) Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức bằng 4096 . Hãy tìm hệ số a của số hạng trong khai triển đó.
Bài 3(1,5 điểm) Giải phương trình sau:
Bài 4: (2 điểm) 
a) Tính giới hạn sau: 
b) Cho dãy số xác định như sau:
Cho biết có giới hạn hữu hạn.Tính giới hạn đó?
Bài 5: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho có và hai đường trung tuyến có phương trình là và . Viết phương trình đường thẳng qua cạnh BC của .
Bài 6: (2 điểm) Trong không gian cho 6 điểm phân biệt A,B,C,E,F,P thỏa mãn: 
a) Chứng minh rằng I,H,K thẳng hàng.
	b) Chứng minh rằng AE,BF,CP đồng quy.
Hết..
	(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ, tên học sinh:.;Số báo danh:...
Giám thị 1:..;Giám thị 2:..
ĐÁP ÁN 
Câu
Nội dung
Điểm
1
(1,5 đ)
a. Giải phương trình:
Điều kiện: 
Ta có: 
Với ( thỏa mãn điều kiện)
Kết luận: là nghiệm của phương trình.
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
b) Phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm thuộc . Tính tổng các nghiệm đó.
+) Xét 
 có 8 nghiệm thỏa mãn.
+) Xét 
 có 8 nghiệm thỏa mãn.
+) Vậy phương trình (1) có 16 nghiệm thuộc .
+) Tính tổng:
0.25 đ
0.25 đ
2
(2 đ)
a) Gọi số cần lập là: 
Theo bài ra chữ số 0 không thể có mặt trong số đó
Vậy . 
Như vậy có thể lập được (số)
0. 5 đ
0.5 đ
b), Có khai triển 
Như vậy tổng các hệ số của khai triển là:
Vậy khai triển là: 
Số hạng tổng quát . Giả sử T là số hạng chứa 
Vậy 
0.5 đ
0.5 đ
3
(1,5 đ)
Giải phương trình sau: 
Kết luận: Nghiệm của phương trình là : .
0.25 đ
0.5 đ
0.5 đ
0.25 đ
4
(2,0 đ)
a) Tính giới hạn sau: 
1.0 đ
b)Vì có giới hạn hữu hạn, nên ta có thể gọi 
(với )
Vậy 
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
5
(1,0 đ)
Tọa độ điểm A không thỏa mãn phương trình , nên ta có thể gọi lần lượt là hai đường trung tuyến của đỉnh B;C
Vậy 
Gọi G là trong tâm của tọa độ của G là nghiệm của hệ 
Mặt khác ta có
Vậy phương trình đường thẳng BC là: 
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
6
(2,0 đ)
a) Chứng minh rằng I,H,K thẳng hàng.
O
A
B
C
E
F
P
I
H
K
Ta có:
Như vậy I,H,K cùng thuộc hai mặt phẳng (ABC) và (EFP)
Nên I,H,K thẳng hàng (Điều phải chứng minh)
0.5 đ
0.5 đ
b) Chứng minh rằng AE,BF,CP đồng quy
Gọi 
Mặt khác 
Từ (1) và (2) ta suy ra AE,BF,CP cùng đi qua O (Đpcm)
0.5 đ
0.5 đ