Giải bài tập Hệ phương trình không có dạng tổng quát

Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 1 
Trong các phần trước chúng ta ñã ñi xét một số dạng hệ mà có ñường lối giải tổng quát. 
Trong phần này chúng ta ñi xét một số hệ mà không có ñường lối giải tổng quát. ðể tìm 
lời giải của những hệ này 
1. Phương pháp thế: 
Nội dung của phương pháp này từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của 
hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào 
phương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ). Mục ñích của 
việc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào ñặc ñiểm của bài toán mà ta có những cách 
biến ñổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau. 
• Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất ñối với một ẩn thì ta rút ẩn 
ñó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn. 
• Với hai số thực bất kì x 0;y≠ ta luôn có y tx= (t là số thực cần tìm). Với cách làm 
này ta sẽ ñược hệ về phương trình một ẩn t. 
• Phương trình f (x;y) f (y;x)= luôn có một cặp nghiệm x y= (các bạn thử giải thích 
vì sao?), do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho về dạng: (x y)g(x;y) 0− = . 
• Trong hệ phương trình nếu biểu thức u(x) xuất hiện ở hai phương trình thì ta có thể 
ñặt t u(x)= ñể làm ñơn giản hình thức bài toán. 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
3
x y 16 (1)
3x y 8 (2)
 =

+ =
. 
Giải : 
 Ta thấy (2) là một phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta rút ẩn này qua ẩn kia. 
Từ phương trình (2) y 8 3x⇒ = − thay vào phương trình (1) ta ñược: 
3 4 3 2 2x (8 3x) 16 3x 8x 16 0 (x 2) (3x 4x 4) 0 x 2− = ⇔ − + = ⇔ − + + = ⇔ = 
Vậy hệ có nghiệm là x y 2= = . 
Chú ý : Ở cách giải trên ta thấy hệ có nghiệm duy nhất x y 2= = , ñồng thời từ hai 
phương trình ta có nhận xét x, y 0> và ở phương trình (2) VT là 3x y+ , phương trình 
(1) có tích 3x y . ðiều này gợi cho chúng ta liên tưởng ñến BðT Cauchy. Ta có cách 
giải khác như sau: 
 Ta thấy nếu hệ có nghiệm (x;y) thì x, y 0> . 
Áp dụng bñt Cauchy ta có: 343x y x x x y 4 x y 8+ = + + + ≥ = . ðẳng thức xảy ra 
x y 2⇔ = = . Thử lại ta thấy thỏa mãn. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 2 
Ví dụ 2:Giải hệ phương trình: ( )2 2
2 2
y(1 x ) x 1 y (1)
x 3y 1 (2)
 + = +

 + =
. 
Giải: 
Dễ thấy phương trình (1) có cặp nghiệm x y= , do ñó ta biến ñổi phương trình (1) của 
hệ ra thừa số (x y)− . 
Ta có: 
x y(1) x y xy(y x) 0 (x y)(1 xy) 0
xy 1
=
⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ 
=
. 
* 
2 1
x y 4x 1 x
2
= ⇒ = ⇔ = ± . 
* 
4 21
x 3y y 1 0
y
= ⇒ − + = phương trình vô nghiệm. 
Vậy nghiệm của hệ là: 1x y
2
= = ± . 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
3
1 1
x y (1)
x y
2y x 1 (2)

− = −


= +
 . 
Giải: xy 0≠ 
Ta có 
x y
x y 1(1) x y 0 (x y)(1 ) 0 1
xy xy y
x
=
− ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔
 = −

. 
* x y= thay vào (2), ta ñược: 
3 2 1 5
x 2x 1 0 (x 1)(x x 1) 0 x 1;x
2
− ±
− + = ⇔ − + − = ⇔ = = . 
* 
1y
x
= − thay vào (2), ta ñược: 4 2 21 1 3x x 2 0 (x ) (x ) 0
2 2 2
+ + = ⇔ − + + + = vô 
nghiệm. 
Vậy hệ ñã cho có ba cặp nghiệm: 1 5x y 1;x y
2
− ±
= = = = . 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 3 
Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau: 
3
3
x y x y
x y x y 12
 + = +

− = − −
 . 
Giải: ðK: 
x y 0
x y 0
+ ≥

− ≥
. 
Ta thấy mỗi phương trình của hệ là phương trình một ẩn x y+ và x y− . Do ñó ñiều 
mà chúng ta nghĩ tới là ñi giải từng phương trình tìm x y+ và x y− , khi ñó ta có ñược 
hệ phương trình mới ñơn giản hơn nhiều. 
ðể ñơn giản về mặt hình thức ta ñặt a x y, b x y a,b 0= + = − ⇒ ≥ ta có hệ : 
3 23
3 23
a a a a a 0 V a 1
b 4b b 12 b (b 12)
 = = = = 
⇔ ⇔  
== − = −   
. 
*Với 
a 0 x y 0 x 2
b 4 x y 4 y 2
= + = =  
⇔ ⇔  
= − = = −  
* Với 
5
x
a 1 x y 1 2
b 4 x y 4 3y
2

== + =  
⇔ ⇔  
= − =  
= −

Vậy nghiệm của hệ là: 5 3(x;y) (2; 2), ( ; )
2 2
= − − . 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 
2 2 2 2
x y x y 2 (1)
x y x y 4 (2)
 + − − =

+ + − =
. 
Giải: ðK : x | y |≥ 
Vì (1) trong căn chỉ chứa lũy thừa bậc 1 ñối với x,y còn (2) thì trong căn chứa lũy thừa 
bậc 2 ñối với x,y nên suy nghĩ ñầu tiên là ta sẽ bình phương hai vế phương trình (1) ñể 
ñưa về hai phương trình ñồng bậc. 
Từ (1) x y x y y 0⇒ + > − ⇒ > . 
Hệ 
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 x 6
x x y 2 x y x 2
x y (2 x)
x y 4 x y x y 6 x
x y (6 x)
≤ ≤ 
− − = − = −  
⇔ ⇔ ⇔ − = −  
  + = − − + = −  + = −
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 4 
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 x 6 2 x 6 5
x
22x (2 x) (6 x) 2x 40 16x 2x
y 6x y (6 x) y 36 12x
≤ ≤ ≤ ≤  
=  
⇔ = − + − ⇔ = − + ⇔  
  
=+ = − = − 
. 
Vậy nghiệm của hệ ñã cho là: 5( ; 6)
2
. 
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 
2
2
x 1 y(y x) 4y (1)
(x 1)(y x 2) y (2)
 + + + =

+ + − =
 . 
Giải: 
ðặt a x y= + từ (1) 2x 1 y(4 a)⇒ + = − thế vào (2), ta có: 
2y(4 a)(a 2) y y(a 6a 9) 0 y 0; a 3− − = ⇔ − + = ⇔ = = 
* Với y 0= thay vào (1) ta thấy hệ vô nghiệm. 
* Với a 3 x y 3= ⇔ + = thay vào hệ ta có: 
2 2 x 1 y 2x 1 y 3 x x x 2 0
x 2 y 5
= ⇒ =
+ = = − ⇔ + − = ⇔ 
= − ⇒ =
. 
Vậy hệ ñã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) (1;2), ( 2;5)= − . 
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 
3 3
2 2
x 8x y 2y (1)
x 3 3(y 1) (2)

− = +

− = +
 . 
Giải: 
Cách 1: Từ (2) 2 2x 3(y 2)⇒ = + (3) thay vào (1) ta ñược : 
2
3 2 2 2
x 0
x
x 8x y(y 2) y x(3x xy 24) 0 3x 243 y
x
=

− = + = ⇔ − − = ⇔
−
=

. 
* Với x 0= thay vào (3) ta có: 2y 2 0+ = vô nghiệm. 
* Với 
23x 24y
x
−
= thay vào (3) ta ñược: 
22
2 3x 24x 3 6
x
 
−
= +  
 
2
4 2
2
x 3 y 1x 9
13x 213x 864 0 96 7896
x yx
13 1313
= ± ⇒ = ± =
⇔ − + = ⇔ ⇔

= ± ⇒ ==
 
∓
. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 5 
Vậy hệ có bốn cặp nghiệm: 96 78(x;y) ( 3; 1), ( ; )
14 13
= ± ± ± ∓ . 
Cách 2: Ta thấy x 0= không là nghiệm của hệ nên ta ñặt y tx= . Khi ñó hệ trở thành 
3 3 3 2 3 3
22 2 2 2 2
x 8x t x 2tx x (1 t ) 2t 8 1 t t 4
31 3tx 3 3(t x 1) x (1 3t ) 6
 
− = + − = +
− + 
⇔ ⇒ = 
−
− = + − =  
3 2 2
1
t
33(1 t ) (t 4)(1 3t ) 12t t 1 0
1
t
4

=
⇔ − = + − ⇔ − − = ⇔ 

= −

. 
* 
2 2x (1 3t ) 6
x 31
t x y 13 y
3

− =
= ±
= ⇒ ⇔ 
= ±= 

. 
* 
4 78
x1 13t
4 78y
13

= ±

= − ⇒

=
∓
. 
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: 
2
2
| x 2x | y 1 (1)
x | y | 1 (2)

− + =

+ =
. 
Giải: Từ (2) 1 x, y 1⇒ − ≤ ≤ . 
Ta xét các trường hợp sau 
* y 0≥ 2 2(1) x y 1 y 1 x⇒ ⇔ + = ⇔ = − thay vào (2) ta ñược: 
2 2 2 2 2 2 4 2| x 2x | 1 x 1 | x 2x | x x (x 2) x x ( 4x 4) 0− + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = 
x 0 y 1
x 1 y 0
= ⇒ =
⇔ 
= ⇒ =
* 
2y 0 (1) y x 1< ⇒ ⇔ = − thay vào (2) ta có: 
2 2 2 2 3 2 2| x 2x | x 1 1 | x 2x | 2 x x 2x 1 0 (x 1)(x x 1) 0− + − = ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ − − − = 
x 1
1 5 1 5
x y
2 2
=
⇔
− −
= ⇒ =

. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 6 
Vậy hệ có ba cặp nghiệm 1 5 1 5(x;y) (0;1), (1;0), ( ; )
2 2
− −
= . 
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: 
2 2
2
2xy
x y 1 (1)
x y
x y x y (2)

+ + = +
 + = −
. 
Giải: ðK : x y 0+ > 
Ta có: 
2 2 2
2 2 (x y) (x y )(1) x y 1 0
x y
+ − +
⇔ + + − =
+
. 
2 2 2 2 2 2(x y )(x y) (x y ) x y
x y 1 0 (x y 1)( 1) 0
x y x y
+ + − + +
⇔ + + − = ⇔ + − + =
+ +
. 
x y 1 0 y 1 x⇔ + − = ⇔ = − ( Do 
2 2
x y 0
x y
+
>
+
) Thay vào (2), ta ñược: 
2 2 x 1 y 0x (1 x) 1 x x 2 0
x 2 y 3
= ⇒ =
− − = ⇔ + − = ⇔ 
= − ⇒ =
. 
Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x;y) (1;0), ( 2;3)= − . 
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình: 
7x y 2x y 5
2x y x y 2
 + + + =

+ + − =
 (HSG Quốc Gia – 2001). 
Giải: 
Cách 1: ðặt t y x y x t= − ⇔ = + ta có hệ: 
2
2
8x t (3 t)
7x y 3 t
3x t (2 t)
2x y 2 t 2 t 3
 + = −
 + = − 
⇔ + = + 
+ = + 
− ≤ ≤

2 2 2 9 773t 8t 3(3 t) 8(2 t) t 9t 1 0
t
22 t 3 2 t 3
 
− +− = − − + + + = 
⇒ ⇔ ⇔ = 
− ≤ ≤ − ≤ ≤  
. 
2(t 2) t
x 10 77
3
11 77y t x
2
 + −
= = −

⇒ 
−
= + =
 là nghiệm của hệ ñã cho. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 7 
Cách 2: ðặt u 7x y, v 2x y= + = + . Hệ trở thành: 
u v 5
v 2 y x
+ =

= + −
. 
Mặt khác 2 2 5 xu v 5x (u v)(u v) 5x u v x v
2
−
− = ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ = (Do u v 5+ = ). 
Từ ñó 5 x 1 x2 y x y
2 2
− +
⇒ = + − ⇒ = thay vào hệ ta có ñược: 1 x 5 x2x
2 2
+ −
+ = 
2 2
x 5 x 5
10x 2 (5 x) x 20x 23 0
≤ ≤  
⇔ ⇔ 
+ = − − + =  
x 10 77⇔ = − 11 77y
2
−
⇒ = . 
Thay vào hệ ta thấy thỏa mãn. Vậy hệ ñã cho có nghiệm 
x 10 77
11 77y
2
 = −


−
=

. 
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình: 
13x(1 ) 2
x y
17y(1 ) 4 2
x y

+ = +


− =
 +
 (HSG Quốc Gia – 1996 ). 
Giải: ðK : x, y 0≥ . Vì x=0 hay y=0 không là nghiệm của hệ nên ta có: 
Hệ 
1 2 1 2 21 1 (1)
x y 3x 3x 7y
1 4 2 1 1 2 21
 (2)
x y 7y x y 3x 7y

+ = = + + 
⇔ ⇔ 
 
− = = − + + 
. Nhân (1) với (2) ta ñược: 
1 1 2 2 1 2 2 1 8( )( ) 21xy (x y)(7y 24x)
x y 3x 7y3x 7y 3x 7y
= − − = − ⇔ = + −
+
2 224x 38xy 7y 0 (6x y)(4x 7y) 0 y 6x⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = (Do x, y 0> ) 
Thay vào (1) ta có: 1 2 11 4 7 22 8 71 x y 6x
21 73x 7x
+ +
= + ⇔ = ⇒ = = 
Thử lại hệ ta thấy thỏa mãn. 
Vậy hệ có cặp nghiệm duy nhất 
11 4 7
x
21
22 8 7y
7
 +
=


+
=
. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 8 
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: 
3 2
2 2
x 3xy 49 (1)
x 8xy y 8y 17x (2)
 + = −

− + = −
(HSG QG – 2004 ) . 
Giải: 
Cách 1: Ta thấy x 0= không phải là nghiệm của hệ nên 
Từ (1) 
3
2 x 49y
3x
+
⇒ = − (*) thế vào phương trình (2) ta ñược: 
3
2 2 3 2x 49x 8xy 8y 17 24y(x x) 2x 51x 49
3x
+
− − = − ⇔ + = + − 
2 2
x 1
24xy(x 1) (x 1)(2x 49x 49) 2x 49x 49y
24x
= −
⇔ + = + + − ⇔ + −
=

* x 1= − thế vào (*) y 4⇒ = ± . 
* 
22x 49x 49y
24x
+ −
= thế vào (*), ta có: 
23 2
3 2 2x 49 2x 49x 49 192x(x 49) (2x 49x 49)
3x 24x
 + + −
− = ⇔ − + = + −  
 
Biến ñổi rút gọn ta ñược: 
4 3 2 2 24x 4x 45x 94x 49 0 (x 1) (4x 4x 49) 0 x 1+ + + + = ⇔ + − + = ⇔ = − . 
Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x;y) ( 1; 4)= − ± . 
Cách 2: Nhân phương trình (2) với 3 rồi cộng với (1) theo từng vế ta ñược: 
3 2 2 2x 3x 3xy 24xy 3y 24y 51x 49+ + − + = − − 
3 2 2x 3x 3x 1 3y (x 1) 24y(x 1) 48(x 1) 0⇔ + + + + + − + + + = 
( )2 2(x 1) (x 1) 3y 24y 48 0 x 1⇔ + + + − + = ⇔ = − . 
Thế x 1= − vào phương trình (1) ta có: 2y 16 y 4= ⇔ = ± . 
Vậy hệ có hai cặp nghiệm (x;y) ( 1; 2)= − ± . 
Cách 3: Vì x 0= không là nghiệm của hệ nên ta ñặt y tx= . Khi ñó hệ trở thành: 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 9 
3
3 2 2 2
2 2
2 2
49 49 49
x
49 3ax (1 3t ) 49 1 3t 49 3(t 16)
8t 17 8t 17 bx (1 8t t ) x(8t 17) x
a bt 8t 1 (t 16) (8t 17)
− − −
= = = ++ = − + + − 
⇔ 
− −
− + = −  = = =

−
− + − − −
(Trong ñó ta ñã ñặt: 2a t 16; b 8t 17= − = − ). 
( )3 3 3349 b 49 b (a b) 3a 049 3a (a b)−⇒ = ⇔ + − + =+ − 
( )2 2 2a 49 b b(a b) (a b) 3 0 a 0 t 16 ⇔ − − + − + = ⇔ = ⇔ =  . 
Thế 2t 16= vào hệ x 1 y 4⇒ = − ⇒ = ± . 
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 
3 x y x y
1) 
x y x y 2

− = −

+ = + +
3 x y x y
2)
x 4 1 y 1 2x

− = −

+ − − = −
2x y 1 x y 13) 
3x 2y 4
 + + − + =

+ =
3
x y 165) 
3x y 8
 =

+ =
3
1 1
x y
x y6) 
2y x 1

− = −


= +
2 3
2
x x( ) ( ) 12
y y7) 
(xy) xy 6

+ =

 + =
2x 2y 3
8) y x
x y xy 3

+ =


− + =
2
2
1 x
x 3
yy9)
x 1
x 3
y y

+ + =


 + + =

x y x y 2
10)
y x y x 1
 + + − =

 + − − =
2 2
2 2 2
x xy y 3(x y)
11)
x xy y 7(x y)

− + = −

+ + = −
2 2
2
3 854xy 4(x y )
3(x y)12)
1 132x
x y 3

+ + + = +

 + =
 +
2 2
3 3
x y 1
13) 13x y
x y
 + =


− = +
2 2
3 3
x y xy 1
14)
x y x 3y
 + + =

+ = +
3 3 2
4 4
x y xy 1
15)
4x y 4x y
 + − =

+ = +
2 2
2 2
x y x y 4 0
16)
2x xy y 5x y 2 0
 + + + − =

+ − − + + =