Phương pháp tính Tích phân

Tích phân 
Nguyễn Văn Phương-0984060645 1 
Ph−ơng pháp tính Tích phân 

 
I. Tính tích phân bằng ph−ơng pháp đổi biến: 
Những phép đổi biến phổ thông: 
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc 
nào có luỹ thừa cao nhất. 
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số. 
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức. 
- Nếu tích phân chứa 
x
dx
 thì đặt xlnt = . 
- Nếu tích phân chứa xe thì đặt xet = . 
- Nếu tích phân chứa 
x
dx
 thì đặt xt = . 
- Nếu tích phân chứa 2x
dx
 thì đặt 
x
1
t = . 
- Nếu tích phân chứa xdxcos thì đặt xsint = . 
- Nếu tích phân chứa xdxsin thì đặt xcost = . 
- Nếu tích phân chứa 
xcos
dx
2 thì đặt tgxt = . 
- Nếu tích phân chứa 
xsin
dx
2 thì đặt gxcott = . 
Bài tập minh hoạ: 
1. ( )( )∫ −++
1
0
32 dx1x2x1x 2. dxx1.x
1
0
3∫ − 3. ∫
−
e
1
2 xln1.x
dx
 4. ∫
−
1
0
x
x
1e
dxe
5. ∫
+
1
0 x1x
dx
 6. ∫
pi
+−
2
0
2 6xsin5xsin
xdxcos
 7. ∫
pi
+
2
0
3
xcos1
xdxsin4
 8. ∫
pi
4
0
2
tgx
xcos
dxe
9. ∫
pi
pi
2
4
4 xsin
dx
 10. dxx1.x
1
0
23
∫ − 
II. Tính tích phân bằng ph−ơng pháp tích phân từng phần: 
Công thức: ∫∫ −=
b
a
b
a
b
a
vduuvdx)x(f . Nh− vậy việc chọn đ−ợc u và dv có vai trò quyết 
định trong việc áp dụng ph−ơng pháp này. 
Ta th−ờng gặp ba loại tích phân nh− sau: 
Loại 1: 
)x(Pu
dx.e).x(P
dx).x(fcos).x(P
dx).x(fsin).x(P
n
b
a
)x(f
n
b
a
n
b
a
n
=⇒









∫
∫
∫
: Trong đó )x(P
n
 là đa thức bậc n. 
Tích phân 
Nguyễn Văn Phương-0984060645 2 
Ta phải tính n lần tích phân từng phần. 
Loại 2: ∫ =⇒
b
a
nn )x(flnudx).x(fln).x(P : Tính n lần tích phân từng phần. 
Loại 3: 






β
β
∫
∫
α
α
b
a
x
b
a
x
dx.xcos.e
dx.xsin.e
Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả 
tích phân còn lại. Thông th−ờng ta làm nh− sau: 
- Tính ∫ βα
b
a
x dx.xsin.e :Đặt xeu α= . Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân 
∫ βα
b
a
x dx.xcos.e .Ta lại áp dụng TPTP với u nh− trên. 
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm đ−ợc kết quả. 
Bài tập minh hoạ: 
1. ( )∫
pi
+−
2
0
2 dx.xsin.1xx 2. ∫
e
1
23 dx.xln.x 3. ∫
pi
0
2 dx.x3cos.x 
4. ∫
pi
2
0
x3 dx.x5cos.e 5. ∫
pi
2
0
x2003 dx.x2004sin.e 6. ∫
pi
2
0
2x2 dx.xsin.e 
Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng ph−ơng pháp TPTP nh−ng không 
theo quy tắc đặt ở trên: 
1. ( )∫
pie
1
dx.xlncos 2. ( )∫ −
2
0
34
8
1x
dx.x
 3. ∫ 




e
1
3
dx.
x
xln
 4. ( )∫ +
1
0
2
x2
2x
dx.ex
 5. ∫
pi
+
+2
0
xdxe.
xcos1
xsin1
III. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: 
Phần 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản. 
1. a.Dạng: Cbaxln
a
Adx
bax
A
++=
+∫
b.Dạng: ∫ ∫∫ +
+=
+
+ dx
dcx
Adx
c
adx
dcx
bax
c. Dạng: ( )∫ ∫∫ +++=+
++ dx
edx
CdxBAxdx
edx
cbxax2
2. a.Dạng: ∫ ++ cbxax
dx
2 
- Nếu 0>∆ : ( )( )
( ) ( )
( )( ) ...xxxxa
dxxxxx
xx
1
xxxxa
dx
21
21
1221
∫∫ =
−−
−−−
−
=
−−
- Nếu 0=∆ : ...
a2
b
xa
dx
2∫ =






−
- Nếu 0<∆ : ( )∫ β+α− 22x
dx
 Đặt ( ) tgt.x β=α− 
Tích phân 
Nguyễn Văn Phương-0984060645 3 
3. Dạng: ∫ ++
+
= dx
cbxax
BAxI 2 
Phân tích: 
( )
∫∫∫ ++
+
++
++
=
++
+
=
cbxax
dx
.ndx
cbxax
'cbxax
.mdx
cbxax
BAxI 22
2
2 
∫ ++
+++=
cbxax
dx
.ncbxaxln.m 2
2 
Bài tập minh hoạ: 
1. ∫ +
−
1
0
dx
2004x2003
2003x2004
 2. ∫ ++
2
1
2 x5x6
dx
 3. ∫ +−
4
0
2 9x6x
dx
 4. ∫ ++
1
0
2 1xx
dx
5. ∫ ++
+2
1
2 dxx5x6
3x2
 6. ∫ ++
−
1
0
2 dx1xx
x34
Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát. ∫
b
a
dx)x(Q
)x(A
- B−ớc 1: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta phải tính 
tích phân: 
∫
b
a
dx)x(Q
)x(P
- B−ớc 2: 
+ Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: ( )( ) ( )
n21 ax...axax)x(Q −−−= , ta tìm n21 A...A,A 
sao cho : 
n
n
2
2
1
1
ax
A
..
ax
A
ax
A
)x(Q
)x(P
−
++
−
+
−
= 
+ Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: ( )( )( )2cxbxax)x(Q −−−= , ta tìm 
21 C,C,B,A sao cho : 
( ) ( )cx
C
cx
C
bx
B
ax
A
)x(Q
)x(P 2
2
1
−
+
−
+
−
+
−
= 
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn: 
( )( )qpxxax)x(Q 2 ++−= , ta tìm C,B,A sao cho : 
qpxx
CBx
ax
A
)x(Q
)x(P
2 ++
+
+
−
= 
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội: 
( )( )22 qpxxax)x(Q ++−= , ta tìm 2211 C,B,C,B,A sao cho : 
( ) qpxx
CxB
qpxx
CxB
ax
A
)x(Q
)x(P
2
22
22
11
++
+
+
++
+
+
−
= 
Bài tập minh hoạ: 
1. dx
x4x
8x16x43
2
3
2
∫
−
−+
 2. dx
2x3x
3x3x32
1
3
2
∫ +−
++
 3. dx
xx
1x5
2
23∫
−
+
IV. Tích phân hàm vô tỷ đơn giản: 
1.Dạng: ∫∫
+
+
b
a
n
b
a
n
bax
dx;dx.bax : Đổi ( )n1n baxbax +=+ 
Tích phân 
Nguyễn Văn Phương-0984060645 4 
2.Dạng: ∫ ++
b
a
2 dx.cbxax 
- Nếu a>0 : Tích phân có dạng duau
b
a
22
∫ + đặt u=atgt 
Hoặc chứng minh ng−ợc công thức: Cauuln
2
u
au
2
uduau 22
2
2222 +++++=+∫ 
-- Nếu a<0 : Tích phân có dạng duua
b
a
22
∫ − đặt u=asint 
3.Dạng: ∫
++
b
a
2 cbxax
dx
- Nếu 0>∆ : ( )( )
( ) ( )
( )( ) ...xxxxa
dxxxxx
xx
1
xxxxa
dx
21
21
1221
∫∫ =
−−
−−−
−
=
−−
- Nếu 0=∆ : ∫∫ =






−
=






− a2
b
xa
dx
a2
b
xa
dx
2
- Nếu 0o: ( )∫ β+α− 22x
dx
 Đặt ( ) tgt.x β=α− 
Hoặc chứng minh ng−ợc công thức: Cauuln
au
du 22
22
+++=
+
∫ 
Với a<0: ( )∫ α−−β 22 x
dx
 Đặt ( ) tsin.x β=α− 
Bài tập minh hoạ: 
1. ∫
+−
=
3
0
2 2x3x
dxI 2. ∫
++
=
1
0
2 1x2x
dxI 3. ∫
++
=
1
0
2 1xx
dxI 4. ∫
+−−
=
1
0
2 3x2x
dxI 
5. ∫ ++=
1
0
2 dx.1xxI 6. ∫ +−−=
1
0
2 dx.3x2xI 
4.Dạng ( )∫ ++α+
b
a
2 cbxaxx
dx
 Đặt ( )
t
1
x =α+ 
BTMH: 1. ( )∫ +++
1
0
2 1xx1x
dx
 2. ( )∫ ++
1
0
2 x2x4x2
dx
5.Dạng: ( ) ( )( )dx.bax;baxR q pn m∫ ++ Đặt ( )s1baxt += với s là BCNN của n và q. 
BTMH: ( ) ( )∫ +−+
1
0 3
2 1x21x2
dx
 ( ) ( )∫ −−−
1
0 4 x21x21
dx
 ∫
+
1
0
3
6
dx
x1
x
V. Tích phân hàm số l−ợng giác: 
1.Dạng: ( )∫
b
a
dxxcos;xsinf 
- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx. 
Tích phân 
Nguyễn Văn Phương-0984060645 5 
- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx. 
- Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx. 
Bài tập minh hoạ: 
1. ∫
pi
2
0
3
3
dx
xcos
xsin
 2. ∫
pi
+
6
0
3
dx
xsin4
xcos
 3. ∫
pi
4
0
3 xcos.xsin
dx
 4. ( )∫
pi
+
4
0
2
xcosxsin
dx
2.Dạng: ∫
b
a
nm dx.xcos.xsin 
- Nếu m và n chẵn: Hạ bậc. 
- Nếu m lẻ: Đặt t=cosx. 
- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx. 
Bài tập minh hoạ: 
1. ∫
pi
2
0
23 dx.xcos.xsin 2. ∫
pi
2
0
24 dx.xcos.xsin 3. ∫
pi
2
0
2
4
dx
xcos
xsin
 4. ∫
pi
2
0
44 xsin.xcos
dx
3.Dạng: ( )∫
b
a
dx.xcos;xsinR trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx. 
 Đặt 
2
x
tgt = 2t1
dt2dx
+
=⇒ ; 2t1
t2
xsin
+
= ; 2
2
t1
t1
xcos
+
−
= ; 2t1
t2
tgx
−
= 
Cụ thể là hàm: ∫ ++
=
b
a cxcosbxsina
dxI 
Bài tập minh hoạ: 
1. ∫
pi
++
=
4
0 1xcosxsin
dxI 2. ( )( )dx1xcos.xsin
xsin1I
2
0
∫
pi
+
+
= 3. ( )∫
pi
+
=
2
0 2xcos
dxI 
4.Dạng: ∫ +
+
=
b
a
dx
xcosdxsinc
xcosbxsinaI 
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’ 
( )
∫ ∫∫ ∫∫ +
+
+=
+
−
+=
+
+
=
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a xcosdxsinc
xcosdxsincd
.BdxAdx
xcosdxsinc
xsindxcosc
.BdxAdx
xcosdxsinc
xcosbxsinaI
Bài tập minh hoạ: ∫
pi
+
−
=
2
0
dx
xcos3xsin4
xcos2xsin3I 
5.Dạng: ∫ ++
++
=
b
a 222
111 dx
cxcosbxsina
cxcosbxsinaI 
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’+C 
( ) J.C
cxcosbxsina
cxcosbxsinadBdxA
cxcosbxsina
dxCdx
cxcosbxsina
xsinbxcosaBdxAI
b
a 222
222
b
a
b
a 222
b
a 222
22
b
a
+
++
++
+=
++
++
++
−
+=
∫∫
∫∫∫
J là tích phân tính đ−ợc. 
Bài tập minh hoạ: 1. ∫
pi
++
+−
=
2
0
dx
3xcos2xsin
1xcosxsinI 2. ∫
pi
+−
+
=
2
0
dx
5xcos4xsin3
1xsinI 
Tích phân 
Nguyễn Văn Phương-0984060645 6 
VI. Phép đổi biến đặc biệt: 
∫=
b
a
dx)x(fI 
Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính đ−ợc ta thử dùng phép đổi biến: ( ) xbat −+= .Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ của hàm số f(x). 
Bài tập minh hoạ: 
1. ∫
pi
pi
−
+
=
2
2
x
dx
1e
xcosI 2. ( )∫
−
++=
1
1
23 dx1xxlnI 3. ∫
pi
+
=
0
2 dxxcos1
xsinxI 4. ∫
−
+
=
1
1
x
dx
12003
x2004sinI 
Chứng minh rằng: 
1. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [ ]a;a− thì: ∫∫
−
=
a
0
a
a
dx)x(f.2dx)x(f 
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên [ ]a;a− thì: 0dx)x(fa
a
∫
−
= 
3. ∫∫
pipi
=
2
0
2
0
dx)x(cosfdx)x(sinf 4. ∫∫
pipi
pi=
2
0
2
0
dx)x(sinfdx)x(sinf.x