Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trình

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trìnhNội dungMột số bài tập ví dụ giải phương trìnhBài tập tự luyệnBài 1. Giải phương trình: GiảiĐiều kiện x  2/3 Vì x  2/3  x + 3 > 0 , ta được phương trình Khi đó 	, suy ra hàm số f(x) đồng biến .Mà f(2) = 5, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Bài 2. Giải phương trình: GiảiPhương trình tương đương với: Đặt f(t) = 2t + t, khi đó ta có f’(t) = 2t.ln2 + 1 > 0 nên hàm số f(t) đồng biến trên (- ∞; +∞ ). Do đó: (*)  x2 – x = x – 1  x = 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 1. Bài 3. Giải phương trìnhGiảiPhương trình xác định với mọi x  R.PT  log3(x2 + x + 3) – log3(2x2 + 4x + 5) = 2x2 + 4x + 5 – (x2 + x + 3)  log3(x2 + x + 3) + (x2 + x + 3) = log3(2x2 + 4x + 5) + 2x2 + 4x + 5 (1).Xét hàm số f(t) = log3t + t, khi đó 	 với mọi t > 0.Suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến khi t > 0.Từ (1) ta có f(x2 + x + 3) = f(2x2 + 4x + 5) nên Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1; x = -2. Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau đây không có nghiệm âm:GiảiĐặt 	xác định trên R. Ta nhận thấy f’’(x) 0 với mọi x 0, nên hàm số f(x) đồng biến trong khoảng (1; 3). Ta có f(1) = 4, f(3) = 8  4 16 thì phương trình vô nghiệm.Nếu a = 16 hoặc a 0 với mọi m, nên phương trình đã cho tương đương với PT: Để PT có 4 nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x2 – 4x + 3| tại 4 điểm phân biệt. Ta có Bài 12 (tt)Ta có bảng Từ đó suy ra PT có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < a < 1. Khi đó ta có:Vậy để PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì 0 < |m| < 1.Bài 13. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệmx4 – (m – 1)x3 + 3x2 – (m – 1)x + 1 = 0GiảiTa thấy x = 0 không phải là nghiệm, chia hai vế PT cho x2 ≠ 0 ta được:Đặt 	 phương trình trên trở thành Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT(*) có nghiệm t với |t| ≥ 2, điều này tương đương với đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ t với |t| ≥ 2.Bài 13 (tt)Ta có 	 với mọi t mà |t| ≥ 2.Do đó hàm f(t) đồng biến với mọi giá trị t thỏa mãn |t| ≥ 2.Vậy để PT có nghiệm thì Bài tập tự luyệnBài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 – x2 = 2cosx. c) 2log5(x+3) = x. d) 3x + 5x = 6x +2. Bài 2: Tìm m để phương trình 	 có nghiệm duy nhất.Bài 3: Tìm m để phương trình:có nghiệm duy nhất.Bài 4: Tìm m để phương trình 	 có nghiệm.Bài 5: Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình m(x2 +3x +3) +x +1= 0