10 chuyên đề tự ôn Toán thi Đại học & TN

 3
4 2 3 4 12
x
x e t exe dt t t
t
e e
    
          
     
  
      
 

40,
2 2 2
40
2 2 2 2 2 2
0 0 0
sin sin 2 sin sin 2
3sin 4 3sin 4 3sin 4
x x x x
I dx dx dx
x cos x x cos x x cos x
  

  
  
   
Có:
  12 2
2 2 2 2
0 0 0
cossin
3sin 4 3 3
d xx dt
A dx
x cos x cos x t
 
   
  
   
 Đặt  23 tan 3 1 tant u dt u du    thì: 
   26 6 6 6
22
0 0 0 0
3 1 tan sin 1 1 sin 1
ln ln 3
cos 1 sin 2 1 sin 23 3tan
u du d udu u
A
u u uu
   
 
     
 
   
 
 
22 2
22
2 2 2 0
0 0
4 sinsin 2
2 4 sin 2 2 3
3sin 4 4 sin
d xx
B dx x
x cos x x
 

       
 
  
Page 57 of 130
Vậy  40
ln3
2 2 3
2
I A B     
41,  
0 0 0
3 3
41
1 1 1
1 1x xI x e x dx xe dx x x dx A B 
  
          
Ta có:  
0 0 0
0
1
1 1 1
2 1x x x xA xe dx xd e xe e dx e   

  
          
  
3
1
0 1 7 41
3 33
1 0 0
9
1 3 1 3
7 4 28
t x t t
B x x dx t t dt
 

 
        
 
  
Vậy 41
37
2
28
I A B e    
43,
 
ln3
43
3
0 1
x
x
e
I dx
e


 
Đặt 21 1 2x x xt e t e tdt e dx       
22 2
43 3 2
22 2
2 2 2
2 1
tdt dt
I
t t t
        
44,  2 2
1 1 1
3 2 3 3 2
44
0 0 0
1 1x xI x e x dx x e dx x x dx A B          
Ta có:    
2 2 2 2
1 1 1
1
3 2 2 2
0
0 0 0
1 1
2 2
x x x xA x e dx x d e x e e d x
 
    
 
   
2
1
0
1 1 1
2 2 2 2 2 2
xe e ee
   
        
   
  
2
2
1 2 5 31
3 2 2 2
0 1 1
2 2 2
1 1
5 3 15
t x t t
B x x dx t t
    
       
 
  
Vậy 44
1 2 2 2 17 4 2
2 15 30
I A B
 
     
45,  
4 4 4 4
4
45 2 0
0 0 0 0
1 1
tan tan tan
1 cos 2 2cos 2 2
x x
I dx dx xd x x x xdx
x x
   

 
     
 
 
    
Page 58 of 130
4
0
1 1 2 1
ln cos ln ln 2
8 2 8 2 2 8 4
x

  
      
Page 59 of 130
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
Phần A: Thể tích khối đa diện. 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam 
giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với đáy một góc  và 
tạo với mặt (SAD) góc  . Tìm thể tích hình chóp S.ABC 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với , 2 ,AB a AD a  cạnh SA 
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 . Trên cạnh SA lấy điểm 
M sao cho 
3
3
a
AM  . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp 
S.BCMN 
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a , và SH là đường cao của hình 
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng b . Tìm thể tích hình 
chóp S.ABCD 
Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh 
huyền 2AB a . Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giả sử 
1AA 3a , góc 1AA B nhọn và mặt phẳng (AA1C) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 . 
Tìm thể tích lăng trụ. 
Bài 5: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết , ,AB a AC b AD c   và các góc ,BAC 
,CAD DAB  đều bằng 60 . 
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh ,a 60BAD  ,  SA mp ABCD 
và SA a . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt 
các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’ 
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng 
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: 
3
.
2
a
SI  Tìm 
khoảng cách từu C đến mp(SAD). 
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có 3SA a và  .SA mp ABC ABC có 2 ,AB BC a  
120 .ABC  Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC). 
Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của 
DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’. 
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh 
rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương. 
Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC, 
AB sao cho M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn 
1
3
AP
AB
 . Thiết diện với hình 
chóp S.ABC tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt SC tại Q. 
1. Chứng minh 
1
.
3
SQ
SC
 
2. Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương. 
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc 60 . 
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD) 
Page 60 of 130
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V1, V2. Tìm tỉ 
số 1
2
V
V
. 
Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian. 
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a   . 
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). 
2. Chứng minh SBD vuông tại S. 
Bài 2: Tứ diện SABC có  .SA mp ABC Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác 
ABC và SBC. 
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và    SAC BHK 
2. Chứng minh  HK SBC và    .SBC BHK 
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm Ô và có cạnh SA vuông 
góc với (ABCD). Giả sử (P) là amwtj phẳng qua A và vuông góc với SC. 
1. Chứng minh    .SBD SAC 
2. Chứng minh  ||BD mp P 
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax 
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S A ). Qua A dựng mặt phẳng (Q) 
vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh: 
' , 'AB SB AD SD  và . ' . ' . 'SB SB SC SC SDSD  
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và BAC   . Gọi M 
là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc . 
1. Chứng minh ' .C BC   
2. Chứng minh tan os
2
c

 là điều kiện cần và đủ để 'BM MC . 
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA h và vuông 
góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: 
1. SB và CD 
2. SC và BD 
Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3 ,a cạnh bên bằng 2 .a Gọi G là 
trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. 
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 7 ,a cạnh bên SC 
vuông góc với mp(ABC) và 7 .SC a Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. 
Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và 
3
.
3
a
OB  Trên 
đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho .SB a Tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng SA và BD. 
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc 60BAD  . 
Đoạn 
3
4
a
SO  và SO vuông góc với mp(ABCD). 
1. Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC). 
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD) 
Page 61 of 130
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là .a Gọi E, F và M lần lượt là 
trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). 
Tính osc  
Bài 12: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại 
A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt , .BM u DN v  Chứng minh rằng: 
   23 3a u v uv a   
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 30 . 
Page 62 of 130
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập) 
Phần A: Thể tích khối đa diện. 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam 
giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với đáy một góc  và 
tạo với mặt (SAD) góc  . Tìm thể tích hình chóp S.ABC 
HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là: 
1
. .
3
ABCV SAS 
Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả 
thiết     ,SA mp ABC SBA SB mp ABC     
  BD mp SAD BSD    
Đặt BD = x suy ra: 2 2 2 2 .tanAB a x SA a x      
 2 2
2 2
2
2 2
sin sin
sin tan sin
sin
os sin
BD SA
SB
x a x
a
x
c
 
  

 
 
  
 

Do đó: 
3
2 2
2 2
1 sin .sin
. .tan . .
3 os sin
a
V a x a x
c
 

 
  

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với , 2 ,AB a AD a  cạnh SA 
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 . Trên cạnh SA lấy điểm 
M sao cho 
3
3
a
AM  . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp 
S.BCMN 
HDG: Theo giả thiết 
    , 60
.tan 60 3
SA mp ABCD SBA SB mp ABCD
SA AB a
   
  
Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD)  SD mp BCM N   
Theo công thức tỉ số thể tích, ta có: 
.
2
.
2 2 1
3 3 3
4 4 2
.
9 9 9
SMBC
SMBC SABC S ABCD
SABC
SMNC
SMNC SADC S ABCD
SADC
V SM
V V V
V SA
V SM SN SM
V V V
V SA SD SA
    
 
      
 
Vậy: 3. .
5 5 1 10 3
. . .
9 9 3 27
S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCDV V V V SAS a     
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a , và SH là đường cao của hình 
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng b . Tìm thể tích hình 
chóp S.ABCD 
Page 63 of 130
HDG: Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, 
và G là trực tâm ∆SCD (1)HG CD  
Mà 
 ( )
BD AD
BD SAC BD SC
BD SH
 
   
 
và ( ) (2)SC DG SC BDG SC HG     
Vì I là trung điểm của SH nên :    ;( ) 2 ;( ) 2HG d H SCD d I SCD b   
2
2 2
2 2 2 2
2
3
2 2
1 1 1
4 à
4
4
4
2
3 16
b
a ab
GM b v h
HG HM SH a
b
a
V
a b
      

 

Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh 
huyền 2AB a . Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giả sử 
1AA 3a , góc 1AA B nhọn và mặt phẳng (AA1C) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 . 
Tìm thể tích lăng trụ. 
Bài 5: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết , ,AB a AC b AD c   và các góc ,BAC 
,CAD DAB  đều bằng 60 . 
HDG: Không mất tính tổng quát ta giả sử  min , ,a a b c 
Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, từ giả thiết suy ra tứ 
diện ABC1D1 là tứ diện đều cạnh a nên có 
1 1
32
12
ABC DV a 
Theo công thức tỉ số thể tích: 1 1
2
1 1.
ABC D
ABCD
V AC AD a
V AC AD bc
  
1 12
2
12
ABCD ABC D
bc abc
V V
a
   
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh ,a 60BAD  ,  SA mp ABCD 
và SA a . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt 
các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’ 
HDG: Gọi , 'O AC BD I AC SO    , suy ra ' ' ||B D BD và ' 'B D đi qua I 
Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên 
2 ' ' 2
3 3
SI SB SD
SO SB SD
    
Theo công thức tỉ số thể tích: 
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AB C
S AB C S ABC S ABCD
S ABC
V SB SC
V V V
V SB SC
     
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AD C
S AD C S ADC S ABCD
S ADC
V SD SC
V V V
V SD SC
      
Page 64 of 130
Vậy: 
3
3
. ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' .
1 1 3 3
.
3 3 6 18
S A B C D S A B C S A D C S ABCD
a
V V V V a     
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng 
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: 
3
.
2
a
SI  Tìm 
khoảng cách từ C đến mp(SAD). 
HDG: Ta có: 
3
.
1 3
. .
3 6
S ABCD ABCD
a
V SI S  
Áp dụng pitago ta có: 
2
2 2 2 5
4
a
DI AI AD   , 2 2 2 2SA SI AI a   , 2 2 2 22SD SI DI a   
2 2 2SD SA DA SAD   vuông tại A nên 2
1 1
.SA
2 2
SADS AD a   
Vậy khoảng cách cần tìm là:   
3 3 3
,
2 2
SACD SABCD
SAD SAD
V V a
d C SAD
S S 
   
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có 3SA a và  .SA mp ABC ABC có 2 ,AB BC a  
120 .ABC  Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC). 
HDG: Ta có:  
2 21 1. . .sin . 2 .sin120 3
2 2
ABCS BABC B a a    
 2 3.
1 1
. . .3 . 3 3
3 3
S ABC ABCV SAS a a a    
Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có: 
2 2 2 22 . .cos 12 2 3AC AB CB BABC B a AC a      
Áp dụng pitago trong tam giác vuông: 
2 2 2 2
2 2 2 2
13 13
21 21
SB SA BA a SB a
SC SA AC a SC a
    
    
Ta có: 
2 2 2 15 4
os sin
2 . 273 91
SB SC BC
c BSC BSC
SB SC
 
      
 2
1
. .sin 2 3
2
SBCS SB SC BSC a    
Vậy khoảng cách cần tìm là:    .
3 1
,
2
S ABC
SBC
V
d A mp SBC a
S
  
Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của 
DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’. 
HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có: 
            ' '
3
, ' , ' , ' ', '
AHD
AHC DVCK AD CK mp AHD C mp AHD C mp AHD
S
    
Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được 
3
' ' ' '
1
. .
3 12
AHC D HC D
a
V AD S  
Page 65 of 130
Xét tam giác AHD có: 2 2
5
' ' ; 2
2
a
DH DC HC AD a    
 2 2
3
2
a
AH AD HD   
2
'
1 3 1 3
os ' sin ' . ' . ' .sin '
2 410 10
AD H
a
c AD H AD H S D AD H AD H          
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là: 
     ' '
3
, ' , '
3
AHD
AHC DV aCK AD CK mp AHD
S
   
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh 
rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương. 
HDG: Gọi 1V là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ. 
Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có: 
 1 . ' ' ' ' '
' ' ' '.
1 1
. . .
3 3
1 1 1 3 1
. . .
3 2 2 2 2
B ACC A ACC M ACC AMC
ACC ACC ACC C ABC
V V h S h S S
h S S h S V V
 
  
   
 
     
 
Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng 
1
2
V nên ta có đpcm. 
Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC, 
AB sao cho M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn 
1
3
AP
AB
 . Thiết diện với hình 
chóp S.ABC tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt SC tại Q. 
1. Chứng minh 
1
.
3
SQ
SC
 
2. Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương. 
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc 60 . 
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD) 
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V1, V2. Tìm tỉ 
số 1
2
V
V
. 
HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD): 
 ( )DoAC SBD AC SD   . Kẻ ( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P     
 Vậy (ACM) là thiết diện. 
3. Đặt 1 .D ACMV V 
 Ta có: 
.
.
1
2
S ACM
S DAC
V V SM
V SD
V

  . Gọi N là trung điểm của CD 
 0óc( ) 60HN CD SN CD g SNH     
Page 66 of 130
0 1óc( ) 60 2 . à 2; 3
2
1
5 2
5
HN CD SN CD g SNH HN SN SN DN m HN a HD a SH a
V
SC SD a CM a SM a
V
            

        
Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian. 
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a   . 
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). 
2. Chứng minh SBD vuông tại S. 
HDG: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì SA SB SC a   nên 
 SO mp ABCD . Mà AC BD vì ABCD là hình thoi, nên O BD 
Có:        ,SO SBD SO ABCD SBD ABCD    
Bài 2: Tứ diện SABC có  .SA mp ABC Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác 
ABC và SBC. 
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và    SAC BHK 
2. Chứng minh  HK SBC và    .SBC BHK 
(Bài 2: có đính chính H, K là trực tâm) 
HDG: 1. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC   , theo giả thiết 
 SA mp ABC BH SA   . Nên  BH mp SAC SC BH   
Do K là trực tâm SBC BK SC   
Từ đó suy ra      SC mp BHK mp BHK mp SAC   (đpcm) 
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:  SB mp CHK SB HK   
Mà  SC mp BHK SC HK   . Do đó:      HK mp SBC mp SBC mp BHK   
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông 
góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. 
1. Chứng minh    .SBD SAC 
2. Chứng minh  ||BD mp P 
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA 
vuông góc với (ABCD) nên      SA BD BD SAC SBD SAC     
2. Từ giả thiết suy ra:    P SAC , mà    ||BD SAC BD P  
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax 
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S A ). Qua A dựng mặt phẳng (Q) 
vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh: 
' , 'AB SB AD SD  và . ' . ' . 'SB SB SC SC SDSD  
HDG: Từ giả thiết suy ra:  , 'SA BC AB BC BC SAB BC AB      
Mà   'SC Q SC AB   . Do đó  ' 'AB SBC AB SB   
Ngoài ra ta cũng có , ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B    nên: 
Page 67 of 130
. ' . '
' '
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
   
Chứng minh tương tự ta được 'AD SD và . ' . 'SDSD SC SC 
Vậy ta có đpcm. 
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và BAC   . Gọi M 
là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc . 
1. Chứng minh ' .C BC   
2. Chứng minh tan os
2
c

 là điều kiện cần và đủ để 'BM MC . 
HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy 
ra: 
1
2
BA AC AN BA CN BCN     vuông tại B nên BN BC . 
Tương tự ta có 'BN BC 
Dễ thấy:    'BN mp MBC mp ABC  , từ trên suy ra     ' , 'C BC ABC MBC   
2. Vì BM là trung tuyến của 'BC N nên: ' 'BM MC NBC  cân đỉnh B 
. os
2' os tan
os 2
sin sin
2 2
BC c
BC BH
BC BN c
c



 
       
(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC) 
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA h và vuông 
góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: 
1. SB và CD 
2. SC và BD 
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên BC CD 
Lại có: 
  
 
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA doSA ABCD

   
 
Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và BC a 
2. Gọi O AC BD   AC và BD vuông góc nhau tại O, mà 
SA BD   BD mp SAC . Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD 
và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD 
Ta có: 
 2 2
.
2 2
SA SC SAOC ah
SAC OIC OI
OI OC SC h a
      

Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3 ,a cạnh bên bằng 2 .a Gọi G là 
trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. 
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M AG BC  
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm ABC ABC nên  SG ABC SG BC   , từ đó suy ra 
 BC SAG . 
Trong SAM kẻ  MN SA N SA MN BC    . Do vậy MN là đoạn vuông góc chung 
của BC và SA. Ta có: 
Page 68 of 130
2 . 3 3
...
4
SAMS SGMA aMN
SA SA
    
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 7 ,a cạnh bên SC 
vuông góc với mp(ABC) và 7 .SC a Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. 
Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và 
3
.
3
a
OB  Trên 
đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho .SB a Tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng SA và BD. 
HDG: Dễ chứng minh được  BD SAC (vì ,BD AC BD SO  ) 
Trong mp(SAC) kẻ  OI SA I SA   OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD. 
Ta có: 2 2
6 2 3
3 3
a a
SO OA SA SO OA      
2 . 3
...
3
SOAS SOOA aOI
SA SA
     
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc 60BAD  . 
Đoạn 
3
4
a
SO  và SO vuông góc với mp(ABCD). 
1. Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC). 
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD) 
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là .a Gọi E, F và M lần lượt là 
trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). 
Tính osc  
HDG: Ta có: 2 2 2 2 2
2 6
A ,
2 2
a a
EF AE F ME MF MC CB BF        
Gọi I EF AC MI EF    . Mà    ,MI EF AC MEF ABCD EF    nên:góc 
giữa hai mặt p