43 Đề thi tuyển sinh Vào lớp 10 Chuyên Toán

Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
12
Đề thi vào chuyên 10( Hải D−ơng) 
thời gian: 150’ 
Bài 1(3) Giải ph−ơng trình: 
1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27 
2)
20
1
)1(
1
)2(
1
2
=
−
−
− xxx
Bài 2(1) Cho 3 số thực d−ơng a,b,c và ab>c; a3+b3=c3+1. Chứng minh rằng 
a+b> c+1 
Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y là các số thực thoả m;n các đẳng thức sau: x+y=a, 
x3+y3=b3,x5+y5=c5. Tìm đẳng thức liên hệ giữa a,b,c không phụ thuộc x,y. 
Bài 4(1,5) Chứng minh rằng ph−ơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có 
nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên n 
Bài 5(2,5) Cho đ−ờng tròn tâm O và dây AB( AB không đi qua O). M là điểm 
trên đ−ờng tròn sao cho tam giác AMB là tam giác nhọn, đ−ờng phân giác của góc 
MAB và góc MBA cắt đ−ờng tròn tâm O lần l−ợt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của 
AP và BQ 
1) Chứng minh rằng MI vuông góc với PQ 
2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đ−ờng tròn tâm P tiếp xúc với MB và 
đ−ờng tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đ−ờng thẳng cố định khi 
M thay đổi. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
13
*Chuyên tỉnh Bà Địa – Vũng Tàu. (2004-2005) 
thời gian:150 phút 
Bài 1: 
1/iải ph−ơng trình: 
4
2
1
2
2
5
5 ++=+
x
x
x
x 
2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả m;n: 
x3+y3+z3 =x +y+z+2005 
Bài 2: 
Cho hệ ph−ơng trình: 
 x2 +xy = a(y – 1) 
 y2 +xy = a(x-1) 
1/ giải hệ khi a= -1 
2/ tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất 
Bài 3: 
1/ cho x,y,z là 3 số thực thoả m;n x2+ y2+z2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
=2xy +yz+ zx. 
2/ Tìm tất cả các giá trị của m để ph−ơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 
x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0 
Bài 4: 
Cho tam giác ABC nội tiếp đ−ờng tròn (O) , D là một điểm trên cung BC không 
chứa đỉnh A. Gọi I,K và H lần l−ợt là hình chiếu cuả D trên các đ−ờng thẳng 
BC,AB,và AC. Đ−ờng thẳng qua D song song với BC cắt đ−ờng tròn tại N ( N# D); 
AN cắt BC tại M. Chứng minh: 
1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM. 
2/ 
DH
AC
DK
AB
DI
BC
+= 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
14
*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút) 
Bài 1 (3đ): 
1. Giải pt: 1231 −=−+ xxx 
2. Trong hệ trục toạ độ Oxy h;y tìm trên đ−ờng thẳng y= 2x +1 những điểm 
M(x;y) thoả m;n điều kiện: y2 – 5y x +6x = 0. 
Bài 2(2,5đ): 
1. Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = 0 (m là tham số) 
tìm tất cả các giá trị của m dể pt có nghiệm đều là những số nguyên. 
2. Cho ba số x,y,z . Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz. Chứng minh các 
ph−ơng trình sau đều có nghiệm: 
t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0 
Bài 3(3đ) 
Cho tam giác ABC. 
1. Gọi M là trung điểm của AC. Cho biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng 
của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C. chứng minh: DM vuông góc với BE. 
2. Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Các tia AO,BO,CO cắt các 
cạnh BC,CA,AB theo thứ tự tại các điểm D,E,F. chứng minh: 
a) 
CF
OF
BE
OE
AD
OD
++ =1 
b) 64111 ≥




 +




 +




 +
OF
CF
OE
BE
OD
AD
Bài 4(0.75đ) 
xét các đa thức P(x)= x3+ ax2 +bx +c 
 Q(x)=x2 +x + 2005 
Biết ph−ơng trình P(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt, còn pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm. 
Chứng minh rằng P(2005)>1/64 
Bài 5 (0,75đ) 
 Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ ba điểm nào 
trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
15
Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải D−ơng. (2004-2005) 
thời gian :150’ 
Bài 1: (3đ) 
Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*) 
1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: 
a) A(-1;3), b) B( 2 ; -1), c) C(1/2; 5) 
2/ thay m=0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị hàm số y= x+1. 
Bài 2: (3đ) 
Cho hệ ph−ơng trình: 
 (m-1)x + y = m 
 x + (m-1)y =2 
gọi nghiệm của hệ ph−ơng trình là (x;y). 
1/ Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. 
2/ Tìm giá trị của m thoả m;n 2x2 -7y =1 
3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức 
yx
yx
+
− 32
 nhận giá trị nguyên. 
Bài 3 (3đ) 
Cho tam giác ABC ( 090ˆ =A ). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác 
ABC sao cho BC=BD và DBCCBA ˆˆ = ; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC tại E. 
Chứng minh: 
1. IBDIAC ˆˆ = 
2. ABE là tam giác cân. 
3. AB.CD = BC.AE 
Bài 4: (1đ) 
tính giá trị biểu thức A= 
113
934
24
35
++
+−−
xx
xxx
 với 
4
1
12
=
++ xx
x
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
16
*Tr−ờng Chu Văn An và HN – AMSTERDAM(2005 – 2006) 
(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150’) 
Bài 1: (2đ) 
Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc với a,b,c là các số nguyên. Chứng minh nếu a +b +c chia hết 
cho 4 thì P chia hết cho 4. 
Bài 2(2đ) 
Cho hệ ph−ơng trình: 
 (x+y)4 +13 = 6x2y2 + m 
 xy(x2+y2)=m 
1. Giaỉ hệ với m= -10. 
2. Chứng minh không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất./ 
Bài 3 (2đ): 
Ba số d−ơng x, y,z thoả m;n hệ thức 6
321
=++
zyx
, xét biểu thức P = x + y2+ z3 
1. Chứng minh P≥ x+2y+3z-3 
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Bài 4 (3đ): 
Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh BC,CA,AB sao cho AEDF là tứ 
giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A&P) sao cho DA.DP = DB.DC 
1. chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB đồng dạng. 
2. gọi S và S’ lần l−ợt là diện tích của hai tam giác ABC & DEF, chứng minh: 
2
2
'





≤
AD
EF
s
s
Bài 5(1đ) 
Cho hình vuông ABCD và 2005 đ−ờng thẳng thoả m;n đồng thời hai điều kiện: 
• Mỗi đ−ờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 
• Mỗi đ−ờng thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5 
Chứng minh trong 2005 đ−ờng thẳng trên có ít nhất 502 đ−ờng thẳng đồng quy. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
17
Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) 
(toán 9 – bảng B – thời gian: 150’) 
Bài 1 
a) Rút gọn biểu thức: 
P= 








−
−
−
+
y
y
x
x
yx
yx
xy
yx 22222
.
)(
b)Giải ph−ơng trình: ( ) ( ) 10625(625( =++− xx 
Bài 2 
a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của ph−ơng trình 
bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0. H;y xác định giá trị của m để số đo đ−ờng cao 
ứng với cạnh huyền của tam gíac là 
5
2
b) Tìm Max & Min của biểu thức y=
1
34
2 +
+
x
x
Bài 3 
Cho tam giác ABC nội tiếp đ−ờng tròn tâm O, có góc C=450. Đuờng tròn đ−ờng 
kính AB cắt các cạnh AC & BC lần l−ợt ở M& N 
a> chứng minh MN vuông góc với OC 
b> chứng minh 2 .MN = AB 
Bài 4: 
Cho hình thoi ABCD có góc B= 600. Một đ−ờng thẳng qua D không cắt hình 
thoi, nh−ng cắt các đ−ờng thẳng AB,BC lần l−ợt tại E&F. Gọi M là giao của AF & 
CE. Chứng minh rằng đ−ờng thẳng AD tiếp xúc với đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác 
MDF. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
18
*Tr−ờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006) 
(dành cho mọi đối t−ợng , thời gian: 150’) 
Bài 1(2đ): Cho biểu thức P=
x
x
xx
xx
xx
xx 111 +
+
+
+
−
−
−
1.Rút gọn P 
2. Tìm x biết P= 9/2 
Bài 2(2đ): Cho bất ph−ơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số). 
1. Giải bpt với m= 1- 2 2 
2. Tìm m để bpt nhận mọi giá trị x >1 là nghiệm. 
Bài 3(2đ): 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng thẳng (d):2x – y –a2 = 0 và parabol 
(P):y= ax2 (a là tham số d−ơng). 
1. Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A&B. Chứng minh rằng khi đó 
A&B nằm bên phải trục tung. 
2. Gọi xA&xB là hoành độ của A&B, tìm giá trị Min của biểu thức 
T=
BABA xxxx +
+
+
14
Bài 4(3đ): 
Đ−ờng tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn 
AB. Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đ−ờng thẳng 
MI tại H và cắt tia BM tại C. 
1. Chứng minh các tam giác AIB & AMC là tam gíac cân 
2. Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một cung tròn cố 
định. 
3. Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max. 
Bài 5(1đ): 
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và trung tuyến AM, góc ACB 
=α ,góc AMB = β . Chứng minh rằng: (sinα +cosα )2= 1+ sin β 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
19
Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp 7 (thời gian:90’) 
Bài 1(3đ): Tính: 
a) 




 −
−
−








+




 −−




 −
1
3
1
1
3
1
.3
3
1
.6
3
b) (63+3.62 + 33) :13 
c) 
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
56
1
72
1
90
1
10
9
−−−−−−−−− 
Bài 2(3đ): 
a) Cho 
a
c
c
b
b
a
== và a+b+c #0, a= 2005. Tính b,c. 
b) Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức 1#
dc
dc
ba
ba
−
+
=
−
+
 ta có tỷ lệ thức 
d
c
b
a
= . 
Bài 3(4đ): 
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ vớ 2;3;4. Ba chiểu cao t−ơng ứng với ba cạnh 
đó tỉ lệ với ba số nào? 
bài 4(3đ): 
Vẽ đồ thị các hàm số: 2x với x ≥ 0 
 y = x với x<0 
Bài 5(3đ): 
Chứng tỏ rằng: A = 75(42004 + 42003 +..+42 +4 +1) +25 là số chia hết cho 100. 
Bài 6(4đ): 
Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia 
phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh ID 
= IE. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
20
Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) 
(Toán 9 – bảng A- thời gian:150’) 
Bài 1: 
a. Rút gọn biểu thức: P = 
( )








−
−
−
+
y
y
x
x
yx
yx
xy
yx 22
222
. 
b. Giải ph−ơng trình: 2
22
2
22
2
=
−−
−
+
++
+
x
x
x
x
Bài 2: 
a. ( đề nh− ở bảng B) 
b. Vẽ các đ−ờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một hệ trục toạ độ. 
Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bơỉ các đ−ờng thẳng trên không có 
điểm nguyên nào thuộc đ−ờng thẳng 3x + 5y = 7. 
Bài 3: 
Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E & AB cắt CD tại F, 
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đ−ợc đ−ờng tròn là: 
EA.ED + FA.FB = EF2. 
Bài 4: 
Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đ−ờng cao AE. Đ−ờng tròn tâm O 
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F. 
a. chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ECF. 
b. Gọi M là giao điểm của BF với (O). Chứng minh: BMOC là tứ giác nội tiếp. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
21
Thi học sinh giỏi tỉnh Haỉ D−ơng (2004-2005) 
( lớp 9, thời gian: 150’) 
Bài 1(3,5đ): 
1. Gọi x1, x2 la nghiệm của ph−ơng trình x
2 + 2004x + 1 = 0 và x3, x4 là nghiệm 
của ph−ơng trình x2 + 2005 x +1 =0. Tính giá trị của biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1-
x4)(x2-x4). 
2. Cho a,b,c là các số thực và a2 + b2 < 1. Chứng minh:ph−ơng trình (a2+b2-1)x2 -
2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 luôn có nghiệm. 
Bài 2 (1,5đ): 
Cho hai số tự nhiên m và n thoả m;n 
m
n
n
m 11 +
+
+
là số nguyên. chứng minh rằng: 
−ớc chung lớn nhất của m và n không lớn hơn nm = 
Bài 3 (3đ): 
Cho hai đ−ờng tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B. Tiếp tuyến chung gần B của 
hai đ−ờng tròn lần l−ợt tiếp xúc với (O1), (O2) tại C & D. Qua A kẻ đ−ờng thẳng 
song song với CD, lần l−ợt cắt (O1), (O2) tại M & N. Các đ−ờng thẳng BC,BD lần 
l−ợt cắt đ−ờng thẳng MN tại P & Q; các đ−òng thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng 
minh: a Đ−ờng thẳng AE vuông góc với đ−ờng thẳng CD. 
b. Tam giác EPQ là tam giác cân. 
Bài 4 (2đ): 
 Giải hệ ph−ơng trình: x+y = 1 
 x5 + y5 =11 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
22
Thi học sinh giỏi toán 6 (thời gian 90’) 
Bài 1(4đ): 
Tính giá trị biểu thức: 
a. A= 1 + (-2) + 3 + (-4) + .+2003 +(-2004) + 2005. 
b. B = 1 -7 + 13 – 19 + 25 – 31 +..(B có 2005 số hạng). 
Bài 2 (4đ): 
a. chứng minh: C = (2004+20042+20043 ++200410) chia hết cho 2005 
Bài 3(4đ): 
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 3 d− 1; chia cho 4 d− 2; chia 
cho 5 d− 3; chia cho 6 d− 4 và chia hết cho 13. 
Bài4(2đ): 
 Tìm hai số a, b biết hiệu của chúng bằng 7 và BCNN của a và b là 140. 
Bài 5 (2đ): 
Tìm x là số nguyên biết: x-5 + x – 5 = 0 
Bài 6 (4đ): 
Cho đoạn thẳng AB = 7cm; điểm C nằm giữa A & B sao cho AC = 2cm; các 
điểm D,E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB. Gọi I là trung diểm của DE. Tính 
độ dài của DE, CI. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
23
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004) 
• Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút) 
Câu 1: (3đ) Cho hệ pt với tham số a: xyx =+ 4 
 1=−+ axy 
a. giải hệ pt khi a=-2 
b. tìm các giá trị của tham số a để hệ pt có đúng hai nghiệm 
Câu 2(2đ): 
a. cho x,y,z là các số thực không âm thoả m;n x=y=z = 1. Tìm giá trị max của 
biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy 
b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có cùng độ dài) nội tiếp đ−ờng tròn bán kính 
1. Chứng minh: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đ−ờng tròn bán kính r thì r 
2
2
≤ . 
Câu 3(2đ): 
Tim tất cả các số nguyên d−ơng n sao cho ph−ơng trình: 
499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên. 
Câu 4 (3đ): 
Cho tam giác ABC vuông tại C. đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính CD cắt AC & BC tại 
E & F( D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của 
đ−ờng thẳng BE với (O), hai đ−ờng thẳng AC, MF cắt nhau tạiK, giao điểm của 
đ−ờng thẳng EF và BK là P. 
a. chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuộc một đ−ờng tròn. 
b. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng. tính số đo góc của tam giác ABC. 
c. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng 
minh rằng CM vuông góc với đ−ờng thẳng nối tâm đ−ơng tròn ngoại tiếp tam giác 
MEO với tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
24
• Tỉnh Haỉ D−ơng (150 phút) 
Bài 1(2.5đ): 
Giải pt: 042222 =−+++++−− bxyxyyxyxayxxy với 
a= ( )( )63863576386357 +−−+++ 
b= 22322321217 ++−+− 
Bài 2(2.5đ) 
Hai ph−ơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 có nghiệm chung, đồng thời 
hai pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cũng có nghiệm chung. 
Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c). 
Bài 3(3đ): 
Cho hai đ−ờng tròn tâm O1, O2 cắt nhau tại A,B. Đ−ờng thẳng O1A cắt (O2) tại 
D, đ−ờng thẳng O2A cắt (O1) tại C. 
Qua A kẻ đ−ờng thẳng song song với CD căt (O1) tại M và (O2) tại N. Chứng 
minh rằng: 
1. Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm trên một đ−ờng tròn. 
2. BC+BD = MN. 
Bài 4(2đ) 
Tìm các số thực x, y thoả m;n x2 +y2 = 3 và x+y là số nguyên. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
25
• Tỉnh Bình Thuận (150 phút) 
Bài 1(6đ): 
1. Chứng minh rằng: A = 
26
4813532
+
+−+
 là số nguyên. 
2. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho: 
 abc = n2 – 1 
 cba =(n-2)2 
Baì 2(6đ) 
1. Giải pt: x3 + 2x2 + 2 2 x +2 2 =0 
2. Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 và đ−ờng thẳng (d): y= (1/2)x +2. 
a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy. 
b) Gọi A,B là giao điểm của (P),(d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho 
diện tích tam giác MAB max. 
c) tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA+NB ngắn nhất. 
Bài 3(8đ): 
1. Cho đ−ờng tròn tâm O và dây cung BC không đi qua O. Một điểm A chuyển 
động trên đ−ờng tròn (A#B,C). gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đ−ờng 
vuông góc hạ từ M xuống đ−ờng thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đ−ờng 
tròn cố định. 
2. Cho 2 đ−ờng tròn (O,R) và (O’,R’) (R>R’), cắt nhau tại A,B. Tia OA căt (O) 
tại D; tia BD cắt đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn 
BC & BE. 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
26
* Tỉnh Phú Thọ (150 phút) 
Bài 1(2đ): 
a) chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 
24 
b) tìm nghiệm nguyên d−ơng của pt: xy – 2x – 3y +1= 0 
Bài 2(2đ): 
Cho các số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau, thoả m;n điều kiện a3 + b3 + 
c3 = 3abc. Tính: 





−
+
−
+
−





 −+
−
+
−
ba
c
ac
b
cb
a
c
ba
b
ac
a
cb
Bài 3(2đ) 
a) tìm a để pt: 3 x +2ax = 3a -1 có nghiệm duy nhất. 
b) cho tam thức bậc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả m;n điều kiện )(xf ≤ 1 với mọi x 
[ ]1;1−∈ . Tìm max của biểu thức 4a2 +3b2. 
Bài 4 (1,5đ) 
Cho góc xOy và hai điểm A,B lần l−ợt nằm trên hai tia Ox,Oy thoả m;n OA- 
OB = m (m là độ dài cho tr−ớc). Chứng minh:đ−ờng thẳng đi qua trọng tâm G của 
tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định 
Bài 5(2.5đ): 
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha,hb,hc lần l−ợt là các đ−ờng cao và ma,mb,mc là 
các đ−ờng trung tuyến của các cạnh BC,CA,AB; R&r lần l−ợt là bán kính của các 
đ−ờng tròn ngoại tiếp & nội tiếp của tam gíac ABC. Chứng minh 
rằng
r
rR
h
m
h
m
h
m
c
c
b
b
a
a +≤++ . 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
27
Đề số 1: 
Bài 1. cho các số a1,a2,a3,a2003. Biết: 
ak = ( )3
2
2
133
kk
kk
+
++
 với mọi k = 1,2,3.2003. 
 Tính tổng:a1 + a2 + a3+..+a2003 
Bài 2. Cho A = 1- 7 +13 -19 +25 -31 + 
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. 
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n. 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 400, đ−ờng cao AH. Các điểm 
E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho góc EBA = góc FBC = 300. 
Chứng minh rằng AE = AF. 
Bài 4. Cho sáu số tự nhiên a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 thoả m;n: 
2003 = a1<a 2 <a 3<a 4 <a 5<a 6 . 
1) Nếu tính tổng hai số thực bất kì thì đ−ợc bao nhiêu tổng? 
2) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau. Chứng minh a 6 ≥2012 
Bài 5. H;y khôi phục lại những chữ số bị xoá( để lại vết tích của mỗi 
chữ số là một dấu * ) để phép toán đúng. 
 *** 
ì 
 ***2 
 **** 
 *** 
 ******* 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
28
Đề số 2: 
Bài 1. 
Giải hệ ph−ơng trình 





=++
=++
=++
03
032
02
zxxz
yzyz
yxxy
Bài 2. 
Tìm tất cả các số nguyên d−ơng a,b sao cho ab = 3(b-a) 
Bài 3. Cho x2 +y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = 
(2-x)(2-y) 
Bài 4. 
 Cho tam giác cân ABC( AC =AB) với góc ACB = 800. Trong tam giác ABC có 
điểm M sao cho góc MAB = 100 và góc MBA = 300. Tính góc BMC 
 Bài 5. 
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ−ờng tròn (O). AC cắt BD tại I. (O1 ),(O 2 ) theo thứ 
tự là các đ−ờng tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI. Một đ−ờng thẳng bất kì đi 
qua I cắt (O) tại X và Y và cắt(O1 ),(O 2 ) theo thứ tự tại Z, T ( Z và T khác I). Chứng 
minh rằng XZ = YT 
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
29
Đề số 3: 
Bài 1. Cho 3 số chính ph−ơng A, B, C. 
 Chứng tỏ rằng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hết cho 12 
Bài 2. Chứng minh rằng : 
333
3 3
9
4
9
2
9
1
12 +−=− 
Bài 3. Cho cbcaba −≠≠−≠ ,, . Chứng minh rằng: 
ba
ba
ac
ac
cb
cb
bcac
ba
abcb
ac
caba
cb
+
−
+
+
−
+
+
−
=
++
−
+
++
−
+
++
−
))(())(())((
222222
Bài 4. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, và a+b+c = 9; x,y,z lần 
l−ợt là độ dài các phân giác trong của các góc A,B,C. Chứng minh rằng: 
zyx
111
++ >1 
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. 
 Chứng minh rằng: 
 1
.
.
.
.
.
.
=++
CBCA
HBHA
BABC
HAHC
ACAB
HCHB
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ 
Nguyễn Hồng Quân Tr−ờng THCS Đông Tiến 
30
Đề số 4: 
Bài 1. 
 Biết rằng 1965997...999654
9100
+ì=
ữ
434 21
sốch
A 
Chứng minh rằng A chia hết cho 9 
Bài 2 
. Cho 5 số thực d−ơng sao cho tổng của tất cả các tích từng cặp hai số trong 
chúng bằng 2. Chứng minh rằng tồn tại bốn trong năm số đó có tổng nhỏ hơn 2. 
Bài 3. 
Tồn t