6 Đề thi HSG cấp trường Toán 6 (Lần 1) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
 NĂM HỌC 2022-2023
 Môn: TOÁN - Lớp 6
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(3 điểm)
 a) Thực hiện phép tính b) Rút gọn biểu thức
 219.273 15.49.94
 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78 : 76 + 12021)]} A 
 69.210 210
 Bài 2: (4,0 điểm) 
 Tìm số tự nhiên x biết:
 a) x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450.
 b) 3.(5x - 1) - 2 = 70.
 c) 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3
Bài 3: (3 điểm) Chứng tỏ rằng:
 a) (3100+19990)  2
 b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 
Bài 4 (6,0 điểm)
 a) 10750 và 7375
 b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 
 4, a chia cho 7 dư 3.
 c) Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên 
 tố hay hợp số? Vì sao?
Bài 5 (4,0 điểm) 
 Một nửa số ô vuông của một bàn cờ 8x8 được tô đen như hình vẽ sau. Có tất cả bao nhiêu 
hình vuông 2x2, 4x4, 6x6 mà có một nửa số ô vuông được tô đen? ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
 NĂM HỌC 2022-2023
 Môn: TOÁN - Lớp 6
 (Thời gian làm bài 120 phút)
 Bài Lời giải Điểm
Bài 1 a) 23. 53 – 3. {400 -[ 673 - 23 (78 : 76 + 12021)]} 
(3đ)
 = 8.125 – 3.{400-[673-8. ( 49+1)]} 0,5
 = 1000 - 3.{ 400-273} 0,5
 = 1000 - 381
 0,5
 = 619 
 2)
 219.273 15.49.94 219.39 3.5.218.38 218.39. 2 5 1
 A 
 69.210 210 29.39.210 22.310 219.39. 1 6 2
 1,5
Bài 2 a, x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. 0,5đ
(4đ) 100x + (1 + 2+ 3+ + 99) = 5450
 Lí luận tính tổng: 1 + 2+ 3+ + 99 = 4950 0,5đ
 khi đó 100x + 4950 = 5450
 100x = 500 0,5đ
 Vậy x = 5
 b,3.(5x - 1) - 2 = 70.
 3.(5x - 1) = 70 + 2 0,5đ
 3.(5x - 1) = 72
 5x - 1 = 72 : 3
 5x - 1 = 24 0,5đ
 5x = 25
 5x = 52 0,5đ
 Vậy x = 2 c, 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3
 2x (1 + 2 + 22 + 23) = 960 
 2x .15 = 960 0,75đ
 2x = 960: 15
 2x = 64
 2x = 26 0,25đ
 Vậy x = 6
Bài 3 
(3đ) a) Ta có: 
 3100 = 3.3.3 .3 (có 100 thừa số 3)
 = (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1 
 19990 = 19.19 19 ( có 990 thứa số 19 ) 
 = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận cùng bằng 1 
 Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2 1,5 
 b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + 3 ) 
 ( a N ) 
 Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 
 Vì 4a 4 ; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4 1,5 
Bài 4 a) Ta thấy: 10750 10850 4. 27 50 2100. 3150 (1) 0,75
(6đ)
 75
 7375 7275 8. 9 2225. 3150 (2) 0,75
 Từ (1) và (2) suy ra 10750 2100. 3150 2225. 3150 7375
 Vậy 10750 7375 .
 0,5
 b) Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 
 7 dư 3
 Nên a 12 ;a 13 ; a 45 ; a 37 0,5
 a 12 ;a 23 ; a 15 ; a 47
 a 112 ;a 113 ; a 115 ; a 117
 a 11 BC 2;3;5;7 . 0,75
 Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 0,25
 a 11 BCNN 2;3;5;7 .
 Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau
 BCNN 2;3;5;7 2.3.5.7 210
 a 11 210.
 a 199.
 0,75
 Vậy số tự nhiên cần tìm là 199.
 0,25
 c) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (với 
 k N, k >1)
 Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 3(2k + 1)
 và lí luận chỉ ra 2p + 1 là hợp số, trái với đề bài 1,5
 Do đó p = 3k + 2 khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 3(4k + 3)
 và lí luận chỉ ra 4p + 1 là hợp số
 Kl ..
Bài 5 Ta đánh số các dòng từ dưới lên trên là 1, 2 , , 8 và đánh số các cột 0,25
(4đ)
 từ phải sang trái là 1, 2 , , 8 . 
 0,5
 Hình vuông 2 2 có một nửa số ô vuông được tô màu là các hình 
 nằm trên các dòng 4 , 5 hoặc các cột 4 , 5 nên có tất cả 13 hình.
 Hình vuông 4 4 có một nửa số ô vuông được tô màu là các hình 1 nằm trên các dòng 3 , 4 , 5 và 6 hoặc các cột 3 , 4 , 5 và 6 nên có tất 
 1
cả 9 hình.
Hình vuông 6 6 có một nửa số ô vuông được tô màu là các hình nằm 
trên các dòng 2 ,3 , 4 , 5 , 6 , 7 hoặc các cột 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 nên có tất 
cả 5 hình. 1
 Vậy có 13 9 5 27 hình.
 0,25 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6
 PHÒNG GD&ĐT KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 HUYỆN TƯ NGHĨA
 Môn thi: Toán 6
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ SỐ 1
 12n 1
Câu 1. (3,0 điểm) Cho A = . Tìm giá trị của n để:
 2n 3
a) A là một phân số.
b) A là một số nguyên
Câu 2. (4,0 điểm)
 1 1 1 1 1 1
a) Không quy đồng hãy tính tổng sau: A = 
 20 30 42 56 72 90
 2010 2011 2012 2010 2011 2012
b) So sánh P và Q, biết: P = và Q = 
 2011 2012 2013 2011 2012 2013
 Câu 3. (3,0 điểm): Tìm x, biết: 
a) (7x - 11)3 = 25.52 + 200
b) 3 x + 16 = - 13,25
 3
Câu 4. (3,0 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng số còn lại. Cuối năm có thêm 4 
 7
 2
học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng số còn lại. Tính số học sinh của lớp 6A.
 3
Câu 5. (2,0 điểm) Cho ababab là số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababab là bội của 3. Câu 6. (5,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax 
lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.
a) Tính BD.
b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD 
c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK 
 Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
 Câu Đáp án Điểm
 12n 1
 a) A = là phân số khi: 12n + 1 Z , 2n + 3 Z và 2n + 
 2n 3
 0,5
 3 0
 0,5
 n Z và n -1,5 
 Câu 1
 12n 1 0,5
 (3,0 điểm) b) A = = 6- 
 2n 3
 0,5
 A là số nguyên khi 2n + 3 Ư(17) 2n + 3 1; 17
 0,5
 n 10; 2; 1;7 0,5
 1 1 1 1 1 1
 a) Tính A = 
 20 30 42 56 72 90
 Câu 2.
 1 1 1 1 1 1
 = - ( )
 (4,0 điểm) 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 0,5
 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5
 = - ( ... ) 
 4 5 5 6 6 7 9 10
 0,5
 1 1
 = - ( ) 
 4 10 3 0,5
 = 
 20
b) So sánh P và Q
 2010 2011 2012 2010 2011 2012 0,75
Biết: P = và Q = 
 2011 2012 2013 2011 2012 2013
 0,25
 2010 2011 2012 2010 2011
Q = = + 
 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
 2012 0,25
+ 
 2011 2012 2013
 2010
Ta có: < 
 2011 2012 2013 0,25
 2011
 < 
 2011 2012 2013
 2012
 < 
 2011 2012 2013 0,25
 2010 2011 2012
=> + + < 
 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
 2010 2011 2012
 2011 2012 2013
 0,25
 Kết luận: P > Q
a) (7x-11)3 = 25.52 + 200 0,25
=> (7x -11)3 = 32.25 + 200 0,25
=> (7x -11)3 = 800 + 200 0,25
=> (7x -11)3 = 1000 = 103 0,25 => 7x - 11 = 10 0,25
 => 7x = 21 0,25
 => x = 3
 b) 3 x + 16 = - 13,25
 => x + = 0,5
 0,5
 => x = - 
 => x = -30
 Câu 3 0,25
 => x = -9
(3,0 điểm) 0,25
 3 0,75
 Số học sinh giỏi kỳ I bằng 10 số học sinh cả lớp
 2
 Số học sinh giỏi cuối bằng 5 số học sinh cả lớp. 0,75
 Câu 4
 2 3 0,75
 (3,0 điểm) 4 học sinh là 5 - 10 số học sinh cả lớp.
 1 1
 10 10
 số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4: = 40 0,75
 (học sinh)
 0,5
 ababab = ab .10000 + ab .100 + ab
 Câu 5 0,5
 = 10101. ab
(2,0 điểm)
 Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 0,5
 hay ababab là bội của 3.
 0,5
 0,25
 C y
 D A B
 a) Tính BD
 Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax 0,25
 Câu 6 A nằm giữa D và B
(5,0 điểm) BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm) 0,5
 b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD 0,5
 Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD 0,5
 => ACD + ACB = BCD
 => ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350 0,25
 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK 
 * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0,5
 - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B
 - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm) 0,25
 0,5 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax 0,25
 - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B 0,25
 - Suy ra: KB = KA + AB KB = 5 + 1 = 6 (cm) 0,5
 0,25
 0,25
 * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm 
(Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) ĐỀ SỐ 2
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH ĐỘI TUYỂN
 Năm học 2016 - 2017
 TỈNH ĐỒNG THÁP
 Môn kiểm tra: TOÁN – LỚP 6
 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày kiểm tra: 27/01/2017
 (Đề gồm có 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I: (4.0 điểm). Thực hiện phép tính
 5.(22.32 )9.(22 )6 2.(22.3)14.34
1) A = 
 5.228.318 7.229.318
 12 12 12 5 5 5 
 12 5 
 158158158
2) B = 81. 7 289 85 : 13 169 91 .
 4 4 4 6 6 6 
 4 6 711711711
 7 289 85 13 169 91 
Câu II: (4.0 điểm)
1) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 2011 2012
Biết P = và Q = 
 2011 2012 2013 2011 2012 2013
2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và a + 21 = b.
Câu III: (4.0 điểm) 
1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y37 thì 13x +18y37
 1 3 3 3 3 3 3
2) Cho A = ( )2 ( )3 ( )4 ... ( )2012 và B = ( )2013 : 2
 2 2 2 2 2 2 2
Tính B – A
Câu IV. (6.0 điểm)
Cho xÂy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho 
AD = 4 cm.
1) Tính BD.
2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BĈD = 800, BĈA = 450. Tính AĈD 
3) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK 
Câu V: (2.0 điểm) 
 x 3 1
1) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 
 9 y 18
 10n 3
2) Tìm số tự nhiên n để phân số B đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất đó. 
 4n 10
 Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
 Câu Nội dung Điểm 5.(22.32 )9.(22 )6 2.(22.3)14.34 0.5
 a) Ta có: A 
 5.228.318 7.229.318
 5.218.318.212 2.228.314.34
 0.5
 5.228.318 7.229.318
 5.230.318 229.318
 228.318 (5 7.2) 0.5
 229.318 (5.2 1) 2.9
 28 18 2 
 2 .3 (5 14) 9 0.5
 KL: ..
Câu 1 
 12 12 12 5 5 5 
 12 5 
 158158158
 b) Ta có: B 81. 7 289 85 : 13 169 91 .
 4 4 4 6 6 6 
 4 6 711711711 0.5
 7 289 85 13 169 91 
 1 1 1 1 1 1 
 12 1 5 1 
 7 289 85 13 169 91 158.1001001
 81. : . 
 1 1 1 1 1 1 711.1001001
 4 1 6 1 
 7 289 85 13 169 91 0.5
 12 5 158
 81. : .
 4 6 711
 0.5
 18 2 324
 81. . 64,8
 5 9 5
 KL: 0.5
 a) Ta có: 
Câu 2 
 2010 2011 2012 2010 2011 1.0
 Q = = + + 
 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2012
+ 
 2011 2012 2013
 0.75
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010; 2011; 
2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q
Kết luận: P > Q 0.25
b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có:
+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao 
cho:
a = 21m; b = 21n (1)
và ƯCLN(m, n) = 1 (2)
 0.5
+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra: 
 BCNN 21m; 21n 420 21.20
 0.5
 BCNN m; n 20 (3)
+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:
 21m 21 21n 21. m 1 21n m 1 n (4)
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có 0.5
Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện 
(4).
Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là: 
 0.5
a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105 a) Ta có: 5(13x 18y) 4(7x 4y) 65x 90y 28x 16y 0.5
 37x 74y 37(x 2y)37
 Hay5(13x 18y) 4(7x 4y)37 (*) 0.5
 0.5
 Vì 7x 4y37 , mà (4; 37) = 1 nên 4(7x 4y)37
 Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x 18y)37 , mà (5; 37) = 1 nên 13x 18y37 0.5
 b) Ta có: 
 1 3 3 3 3 3
 A ( )2 ( )3 ( )4 ... ( )2012 (1)
 2 2 2 2 2 2
 3 3 3 3 3 3 0.5
 A ( )2 ( )3 ( )4 ... ( )2013 (2)
 2 4 2 2 2 2
 Lấy (2) – (1), ta được:
 0.5
Câu 3 3 3 3 1 3
 A A ( )2013 
 2 2 4 2 2
 1 3 1 32013 1
 A ( )2013 A 
 2 2 4 22012 2
 0.5
 32013 32013 5
 Vậy B A 
 22014 22012 2
 0.5
 Hình vẽ:
 C y
 .
Câu 4
 0.5
 D A B x a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax
 A nằm giữa D và B 0.5
 BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm) 0.5
KL: .. 0.5
b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD
=> ACD + ACB = BCD 0.5
=> ACD = BCD – ACB = 800 – 450 = 350 0.5
KL: . 0.5
c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0.5
- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 0.25
- Suy ra: AK + KB = AB 0.25
 KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm) 0.25
 0.25
* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B 0.25
- Suy ra: KB = KA + AB 0.25
 KB = 6 + 2 = 8 (cm) 0.25 * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm 0.25
 x 3 1 x 1 3 2x 1 3
 a) Từ 
 9 y 18 9 18 y 18 y
 0.25
 (2x – 1).y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9
 Vì x là số tự nhiên nên 2x – 1 là ước số lẻ của 54.
 Ta có bảng sau:
 2x – 1 1 3 9 27
 0.25
 x 1 2 5 14
 0.25
 y 54 18 6 2
Câu 5 0.25
 Vầy (x; y) = (1; 54); (2; 18); (5; 6); (14; 2)
 10n 3 22
 b) B = 2,5 + 0.25
 4n 10 4n 10
 22 22
 Vì n N nên B = 2,5 + đạt GTLN khi đạt GTLN.
 4n 10 4n 10 0.25
 22
 Mà đạt GTLN 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất.
 4n 10
 11
 - Nếu 4n – 10 = 1 thì n = N (loại)
 4 0.25
 - Nếu 4n – 10 = 2 thì n = 3. 0.25 Vậy GTLN của B = 13,5 khi n = 3. 
ĐỀ SỐ 3
PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016
TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG Môn toán lớp 6
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (2,0 điểm) 
a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)
 2 2 2 2
b) Tính tổng: A = .... 
 1.4 4.7 7.10 97.100
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 + + 580. Chứng tỏ rằng: 
a) M chia hết cho 6.
b) M không phải là số chính phương.
Câu 3 (2,0 điểm) 
 2n 5
a) Chứng tỏ rằng: , n N là phân số tối giản.
 n 3
 2n 5
b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên.
 n 3
Câu 4 (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; 
chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.
Câu 5 (2,0 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho 
 x· Oy 30 ; x· Oz 70 ; x· Ot 110 
a) Tính ·yOz và z· Ot
b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?
c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt. 1 1 1 1
Câu 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng: + + +...+ < 1
 22 32 42 1002
 ĐÁP ÁN
Câu 1 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm)
a) 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)
= 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 
= 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7 
= 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94)
= 16 +27.100 - 7. 100
= 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016
 2 2 2 2
b) A = .... 
 1.4 4.7 7.10 97.100
 1 1 1 1 2 2 1 1
Ta có ( ) ( )
 1.4 3 1 4 1.4 3 1 4
 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1
Tương tự: ( ); ( ) ; ......; ( ) 
 4.7 3 4 7 7.10 3 7 10 97.100 3 99 100
 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 99 33
 A = ( ..... ) = ( ) . 
 3 1 4 4 7 7 10 99 100 3 1 100 3 100 50
Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm)
a) Ta có: M = 5 + 52 + 53 + + 580 
= 5 + 52 + 53 + + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +... + (579 + 580) 
= (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + ... + 578(5 + 52) 
= 30 + 30.52 + 30.54 + ... + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + ... + 578)  30
b) Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 + + 580 chia hết cho số nguyên tố 5.
Mặt khác, do: 52+ 53 + + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)
 M = 5 + 52 + 53 + + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)