Ba phương pháp cơ bản tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, biểu thức

BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. 
Do LAISAC Biên soạn. 
A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : 
Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2. 
Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 . 
Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT). 
Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 8≥ .Rx∈∀ 
Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 . 
Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT). 
Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x) 
Phương trình tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi 
8022040 ≥⇔≥+−⇔≥Δ yy . Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1. 
Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . 
Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH). 
Xét hàm số y = 2x2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 1=⇔ x . 
Ta có bảng biến thiên : x 1 
 y’ - 0 + 
 y -∞ +∞ 
 8 
Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . 
B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP . 
Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm 
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ 
thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có 
nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa) 
Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy 
ra. 
Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức. 
 Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)2 + (x – 3)2  thì hỏng rồi! 0≥
BÀI TẬP MINH HOẠ. 
Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : xxS cossin += . 
HD.cách 1.( BDT). Ta có ≤+= xx 22 cossin1 1mincossin =⇒=+ SSxx . 
2222)
4
sin(22)cos)(sin11(cossin =⇒≤+=++≤+= MaxSxxxxxS π . 
Cách 2.( ĐH) 2sin cos s inx cos 2 s inx.cosS x x S x= + ⇒ = + + x . 
Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải 
Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
4sincos2
3sin2cos
+−
++=
xx
xxS trong khoảng ( );π π− . 
HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình 
4sincos2
3sin2cos
+−
++=
xx
xxS phải có nghiệm 
xSxSS cos)21(sin)2(34 −++=−⇔ có nghiệm 
2
11
2)34()21()2( 222 ≤≤⇒−≥−++⇒ SSSS . 
 Cách 2.( ĐH). Đặt 2
2
2 1
1cos;
1
2sin
2 t
tx
t
txxtgt +
−=+=⇒= .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn 
t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả. 
Ví dụ 3. Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức : 22 2.2 xxxxf −+−+= . 
HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn [ ]2;2− . 
Cách 2.Đặt tkieänñieàuxxt ⇒−+= 22 .Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PT 
Cách 3.( Vevtơ). Đặt );2;1(),2;1;( 22 xxvxxu −=−= 22 2.2. xxxxvu −+−+=⇒ và 
33.3..)2(1.)2(1. 2222 ==+−+−++= xxxxvu 
Ta có : vuvu .. ≤ 32.2 22 ≤−+−+⇔ xxxx . 
Đẳng thức xảy ra khi 1
2
21
2
2 =⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
−=
=
x
kxx
xk
kx
. 
Ví dụ 4. Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 24.)1.( xyyx −=− . 
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số 
y
x . 
HD.Điều kiện .Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 22 ≤≤− x
y
x thì 0;0 ≠≠ yx 
Biến đổi ( )22 44.)1.( xx
y
xxyyx −+=⇔−=− Đặt h
y
x = . )0( ≠h .Biểu thức viết lại : 
24 xxh −+= là một hàm số liên tục trong đoạn [ ]2;2− . 
Ví dụ 5.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 22
22
yxyx
yxyxS ++
+−= ( )Ryx ∈, . 
HD. Lí luận 0≠x chia tử và mẫu cho x2 .Đặt 
x
yt = .Khảo sát hàm số S ẩn t,hoặc đkpt. 
Ví dụ 6. Cho các số thực x,y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
322
124
2
2
+−
−+=
yxy
xyxS . 
HD.Cách 1.Thế điều kiện x2 + y2 = 1 vào S giải như bài trên. 
Cách 2.Đặt αα cossin =⇒= yx . Đưa hàm số S= )2cos,2(sin ααS .Dùng đkpt. 
Ví dụ 7.Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn điều kiện : x0≠ 2 + y2 = 2x2y + y2x . 
Tính giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
yx
S 12 += . 
HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sát hàm số S ẩn t . 
Ví dụ 8. Cho hai số thực dương x,y thoả điều kiện :x+y = 1. 
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
11 y
y
x
xf −+−= 
HD.Đặt ,αα 22 cossin =⇒= yx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∈
2
;0 πα . 
Ví dụ 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
sin)(
2xxexf x +−= . 
HD.Dùng phương pháp đạo hàm. 
Ví dụ 10.(1993 bảng A) .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
)20092007()( 2xxxf −+= trong miền xác định của nó. 
Lời giải :Miền xác định của hàm số [ ]2009;2009−=D .Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta 
xét hàm số trong [ ]2009;0'=D .Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có 
222 20092007.2010.)2009.1.2007.2007()20092007()( xxxxxxxf −+≤−+=−+= 
2008.2008
2
20092007.2008
22
=−++≤ xx . 
Vậy GTLN = 2008.2008 khi và chỉ khi 2008=x 
GTNN= 2008.2008− khi và chỉ khi 2008−=x . 
Ví dụ 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin2A + sin2B – sin2C 
trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác . 
HD.(BĐT). Đưa về tổng bình phương . 
Hoặc đưa về một biến x = sin
2
C . Dùng phương pháp ĐH để giải. 
Ví dụ 11.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2
sin
1
2
sin
1
2
sin
1
222 CBA
S ++= . 
Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
3
cos
3
cos
3
cos πππ CBAS . 
HD.Chú ý .Dùng phương pháp giải như báo Toán học ,Tuổi trẻ (tháng 3-20007). 
Giải bài 12.Cách 1.Giả sử { }CBAMaxA ;;= 0
32
cos
3
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⇒≥⇒ ππ BAA ,ta có: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
32
cos2
2
cos
32
cos2
3
cos
3
cos ππππ BABABABA .(1) 
Có dạng ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +≥+
2
2)()( BAfBfAf . 
Tương tự 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
32
3cos2
33
cos
3
cos π
π
πππ CC (2). 
Cộng (1) và (2) ta có :
3
2cos4
33
cos
3
cos
3
cos
3
cos ππππππ ≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + CBA 
2
3
3
2cos3
3
cos
3
cos
3
cos −=≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += ππππ CBAS . 
Cách 2.Giả sử { }CBAMaxA ;;= 0
32
cos
3
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⇒≥⇒ ππ BAA ,ta có: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
32
cos2
2
cos
32
cos2
3
cos
3
cos ππππ BABABABA . 
Có dạng ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +≥+
2
2)()( BAfBfAf . 
⇒
2
3
3
2cos3)
3
(3)()()(
3
cos
3
cos
3
cos −==++≥++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + ππππ CBAfCfBfAfCBA . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 
Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai. 
Ví dụ 13. Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của (a3 + b3 + c3 ). 
HD:  aa 3113 ≥++
Ví dụ 14.Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn điều kiện : x.y.z = 1. 
 Chứng minh rằng : ++++ z
y
y
x
11
22
2
3
1
2
≥+ x
z . 
HD : .
4
1
1
2
xx
x
z ≥+++ 
Ví dụ 15. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện : 6≥++ zyx . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
yx
z
zx
y
zy
xS +++++=
333
HD: Cách 1. Áp dụng xzy
zy
x 32
2
3
≥++++  
Cách 2: . 2333 )()( zyxyxzxzyS ++≥+++++
Ví dụ 16. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 . 12≤
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
ababab
P +++++= 1
1
1
1
1
1 . 
HD :Áp dụng 
5
2
25
1
1
1 ≥+++
ab
ab
 (1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4 
Tương tự 
5
2
25
1
1
1 ≥+++
bc
bc
 (2) ; 
5
2
25
1
1
1 ≥+++
ca
ca
 (3) 
Lấy (1) + (2) + (3) ta có 
5
6
2525
3
5
6
25
1
25
1
25
1 ≥++++⇔≥++++++ cabcabPcabcabP 
5
3
5
6
25
12
25
3
5
6
2525
3 222 ≥⇒≥++⇔≥++++⇔ PPcbaP 
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2. 
Ví dụ 17. Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn : .
4
3=++ cba 
Chứng minh rằng : 3333 333 ≤+++++ accbba 
HD : Ta có 
3
11333 +++≤+ baba  
Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 . 
Chứng minh rằng : 6434343 ≥+++++ zyx 
HD:Cách 1.Ta có 84 424.1.1.1443 xxx =≥+  
Cách 2 Dùng phương pháp vectơ. 
Thí dụ 19. Cho x,y,z các số dương thỏa mãn 4111 =++
zyx
. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S=
zyxzyxzyx ++++++++ 2
1
2
1
2
1 
HD. 
zyxzyxxzyx ++≥+++=++ 2
161111112  
Ví dụ 20. Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có: .256)91)(1)(1( 2 ≥+++
yx
yx 
HD : 4 3
6
2
4 3
319)91(
)(
274)3331(
yyyyyy
≥+⇒≥+++ . 
4
3
3
29
4
333
11
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y ≥+++=+ ; 1+x = .
3
4
333
1 3
3xxxx ≥+++ 
Ví dụ 21. Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 
4
5=+ yx . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
4
14
yx
S += 
HD: Cách 1 . Thay xy −=
4
5 
4
50;
45
14 <<−+=⇒ xxxS . 
+Ta sử dụng khảo sát hàm số. 
+Hoặc 5
5
25
45
1
4
16
45
14 =≥−+=−+= xxxxS . 
Cách 2 : Bất đẳng thức Côsi : 5
)(4
25
4
5.5
4
1.5
4
14
5
4 =+=++++≥≥+= yxyxxxxyxyxS . 
Ví dụ 22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a
c
c
b
b
a ++ . 
 trong đó các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện :a+b+c 3 . ≥
HD. Đặt 
b
ac
a
cb
c
ba
a
c
c
b
b
aA
a
c
c
b
b
aA 222
222
2 +++++=⇒++= 
Aùp dụng bất đẳng thức Co-si cho bốn số dương ta được 
ac
c
ba
c
ba
b
a 4
2
≥+++ ; ba
a
cb
a
cb
c
b 4
2
≥+++ ; cb
b
ac
b
ac
a
c 4
2
≥+++ 
Cộng từng vế suy ra . 3≥A
Ví dụ 23. Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 = 1 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
c
ab
b
ac
a
bcS ++= . 
HD. )(2)()()( 2222222 cba
c
ab
b
ac
a
bcS +++++= .Ta có 222 )()( c
b
ac
a
bc ≥+  
Ví dụ 24. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: .1.2 =+ xzxy 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .543
z
xy
y
zx
x
yzS ++= 
HD.Ta có ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=++=
z
xy
y
zx
z
xy
x
yz
y
zx
x
yz
z
xy
y
zx
x
yzS 32543 
.42(484)(4)(2642 =+=+≥+++=++≥ xyxzxyxzyxzxxyz 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
3
1=== zyx 
Ví dụ 25 .Cho A,B,C là ba góc của một tam giác bất kỳ . 
Tìm giá trị nhỏ nhất: S=5cotg2A + 16cotg2B +27cotg2C. 
HD.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ,và bất đẳng thức thường dùng trong tam giác 
Ví dụ 26. Chứng minh rằng 
512
729111111 333 ≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
cba
. 
trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. 
HD .Nhân vế trái ,áp dụng bất đẳng thức cho ba biểu thức , áp dụng hằng đăngt thức bậc ba 
C.Các bài tập đưa về giá tị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất. 
Bài 1.Cho elíp (E) có phương trình .1
916
22
=+ yx Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và 
điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với (E) . Xác 
dịnh tọa độ M,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất đó . 
Bài 2.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho elíp có phương trình 
4x2 + 3y2 – 12 = 0.Tìm điểm trên elíp sao cho tiếp tuyến của elíp tại điểm đó cùng với các 
trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. 
Bài 3.Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) y2 = 2x và đường thẳng (d) 
 x – y + 2 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách giữa M và (d) ngắn nhất . 
Bài 4..Trong mặt phẳng Oxy xét đường thẳng (d) : 0212 =−++ myx và hai đường tròn : 
(C1) : x2 + y2 -2x +4y -4 = 0 . và (C2) : x2 + y2 + 4x - 4y -56 = 0. 
Gọi I là tâm đường tròn (C1). Tìm m sao cho (d) cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B . Với 
giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó? 
Bài 5.Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện : .024222 ≤+−++ zxzyx
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + 3y – 2z 
Bài 6.Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng (d1) ; (d⎩⎨
⎧
=−
=−+
03
042
z
yx
2) ⎩⎨
⎧
=−
=+
01
0
x
zy
Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) và (d2). 
Bài 7.Cho tứ diện ABCD với A(2;3;2) ; B(6;-1;-2); C(-1;-4;3) ;D(1;6;-5). 
 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất 
Bài 8.Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (0 ; 1 )B (3 ; 
4). 
Tìm tọa độï điểm M trên (d) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất . 
Bài 9.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho các điểm A(1;2); B(2;-3) ;C(-1;4). 
Tìm trên đường thẳng x+y+3 = 0 các điểm M sao cho MCMBMA 543 ++ là nhỏ nhất. 
Bài 10.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) x – 2y + 2z + 2 = 0 và hai điểm 
A(4;1;3);B(2;-3;-1).Hãy tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 +MB2 có giá trị nhỏ nhất. 
Bài 11 .Cho hàm số 
x
xxy −
+−=
1
1042 2 có đồ thị ( C ) . 
Định tham số k để đường thẳng (d) kx – y – k = 0 cắt ( C ) tại hai điểm có độ dài nhỏ nhất. 
Bài 12.Tìm trên đường cong (C) 
1
332
+
++=
x
xxy điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 
hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. 
Bài 13.Tìm trên đồ thị ( C ) của hàm số =y
1
2
−x
x một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho 
tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam 
giác có chu vi nhỏ nhất . 
Bài 14.Cho đường cong (C) có hàm số .
2
1442
+
+++=
x
xxy 
Tìm điểm M thuộc đường cong (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường 
tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. 
Bài 15.Cho đường cong (C) có hàm số :
1
12
−
+=
x
xy và điểm A(-2;1) thuộc (C).Tìm trên (C) 
điểm B sao cho hai điểm A,B lần lượt thuộc hai nhánh khác nhau,và độ dài AB nhỏ nhất. 
Bài 16.Tìm trên đường 
1
1
−
+=
x
xy hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhausao cho AB nhỏ 
nhất. 
Bài 17.Cho hệ phương trình : 
⎩⎨
⎧
=−+++
=+
01)12(
922
mmyxm
yx
Xác định tham số m để hệ phương trình trên có hai nghiệm (x1;y1) ; (x2;y2) sao cho biểu 
thức 
A = (x1 – x2 )2 +(y1 – y2 )2 đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 18. Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trình ⎩⎨
⎧
+=+
−=−
13
42
mymx
mmyx
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 + y2 -2x , khi m thay đổi . 
Bài 19.Cho hệ phương trình 
⎩⎨
⎧
−+=+
−=+
32
12
222 aayx
ayx
. 
Tìm tất cả các tham số a để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x.y nhỏ nhất . 
Bài 20.Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ 
⎩⎨
⎧
=++
=++
4
8222
zxyzxy
zyx
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x,y,z.