Bài 3: Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 
www.mathvn.com 17 
BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO 
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC 
Các bài tập mẫu minh họa: 
• ( )( )
−
∫1
dxA =
x 2 x + 5
( ) ( )
( )( )
1 5 2 1 1 1 1 2ln
7 2 5 7 5 5 7 5
x x xdx dx c
x x x x x
+ − − − 
= = − = + 
− + − + + ∫ ∫
( )( )( )
( ) ( )
( )( )( )
1 x 4 x 5 dx
9 x 5 x 2 x 4
•
+ − −
=
− − + +∫ ∫2
dxA =
x 5 x+ 2 x+ 4
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 2 5 1 4 2
9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4
1 1 1 1 1 1 1 5 1 4ln ln
63 5 2 18 4 2 63 2 18 2
x x x xdx dx dx
x x x x x x x x
x xdx dx c
x x x x x x
+ − − + − + 
= − = − 
− + + + − + + + 
− +   
= − + − = + +   
− + + + + +   
∫ ∫ ∫
∫ ∫
II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC 
1. Các bài tập mẫu minh họa: 
( )
( )
( )
( )
2 2
22 2
2 2
2
2 2
dx 1 x x 3 1 xdx dxdx
3 3 xx 3x x 3 x x 3
1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3ln x 3 ln x c ln c
3 2 x 3 2 6x 3 x
•
− −  
= = = − 
− − 
− −
 
− − 
= − = − − + = +   
 
− 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
1 3
dxB =
x 3x
• ( )
( )
( )
4 4
4 33 4 3 4
dx 1 x x 10 1 xdx dxdx
10 10 x 10 xx x 10 x x 10
− −  
= = = − 
− − 
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 7 3
dxB =
x 10x
( )
( )
2 2
2 3 222
1 1 d x dx 1 1 x 10 1ln c
10 2 20x x10 x 10x 10
  
−
= − = + +      + 
− 
∫ ∫ 
2. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: 
1 2 3 4 53 9 4 11 5 6 7
dx dx dx dx dxB ; B ; B ; B ; B
x 5x x 7x x 8x x 9x x 13x
= = = = =
+ − − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
6 7 83 2 3 2 4 3 2
dx dx dxB ; B ; B
x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4
= = =
+ + + − + − + + + +∫ ∫ ∫
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
 18 
III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1dx ln arctgx c
2 4 x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1
•
+ − − −
= = = − +
+
−
− + − +∫ ∫ ∫1 4
dxC =
x 1
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2 22 2
1 d x 1 1 1 1 x 1d x ln c
2 4 4x 1 x 1 x 1x 1 x 1
•
− 
= = − = + 
− − + + 
− +
∫ ∫ ∫2 4
xdxC =
x 1
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2 2
1 x 1 x 1 1 1 1dx dx
2 2 x 1 x 1x 1 x 1
1 dx 1 dx 1 x 1 1ln arctgx c
2 2 4 x 1 2x 1 x 1
•
+ + −  
= = + 
− − + + −
−
= + = + +
+
− +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
3 4
x dxC =
x 1
•
( )4 4
4
1 d x 1 1 ln x 1 c
4 4x 1
−
= = − +
− −
∫ ∫
3
4 4
x dxC =
x 1
( )4
14 4
x 1 1 dx 1 x 1 1dx dx x C x ln arctgx c
4 x 1 2x 1 x 1
•
− + −
= = + = + = + − +
+
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
4
5 4
x dxC =
x 1
( )
( )
( )2 2
22
1 d x 1
arctg x c
2 2x 1
• = = +
+
∫ ∫6 4
xdxC =
x + 1
( )4 4
4
1 d x 1 1 ln x 1 c
4 4x 1
•
+
= = + +
+∫ ∫
3
7 4
x dxC =
x + 1
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 22
2
1 1 11 d x x 21x xx dx ln c
1 12 21 x 2x x 2
xxx
•
− + + −
−
= = = +
+ ++ + −
∫ ∫ ∫
2
8 4
x 1C = dx
x + 1
•
( )
( ) ( )
22
2 22
2
1 11 d x 1 x 1xx dx arctg c
1 2 x 21x x 2
x x
+
−
−
= = = +
+
− +
∫ ∫ ∫
2
9 4
x + 1C = dx
x + 1
( ) ( )
( )
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx
2 2x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1C C arctg ln c
2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1
•
 + − − + −
= = − 
+ + + 
 
− − +
= − = − +  + + 
∫ ∫ ∫ ∫10 4
dxC =
x + 1
( ) ( )
( )
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx
2 2x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1C C arctg ln c
2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1
•
 + + − + −
= = + 
+ + + 
 
− − +
= + = + +  + + 
∫ ∫ ∫ ∫
2
11 4
x dxC =
x + 1
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 
www.mathvn.com 19 
( )4 2 2
4 2
x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1dx x arctg ln c
2x 1 2 x 2 2 2 x x 2 1
•
 + − − − +
= = − − +  + + + 
∫ ∫
4
12 4
x dxC =
x + 1
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
22
2
2
2 2
1 11 dx d x
x x
1 1 1 1x 5 x 4 x 5 x 6
xx x x
d u du 1 1 1 1 x 6x 1du ln c
7 u 6 u 1 7u 6 u 1u 5u 6 x x 1
•
 
− + 
 
= =
− − − + − + − + − + −
− + 
= = = − = + 
− +− +  − − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
2
13 4 3 2
x - 1 dxC =
x 5x 4x 5x + 1
•
( ) ( )2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx
2 2x x 1 x x 1 x x 1
 + − − + −
= = − 
+ + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫14 4 2
dxC =
x + x + 1
( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
2 2
1 1 1 11 dx 1 dx d x d x1 1x x x x
1 12 4 1 1x 1 x 1 x 3 x 1
x x x x
      + −
− +         
= − = −   
    + + + +  
− + + −   
         
∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2
2
1 1x x 11 1 1 x 1 1 x x 1x xarctg ln c arctg ln c
14 4 x x 12 3 3 2 3 x 3x 1
x
− + −
− − +
= − + = − +
+ ++ +
IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 
• ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )22
dx d x 1
x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3
−
= =
 −
− + +
− − + − + 
∫ ∫ ∫1 3
dxD =
x 1
( )
( ) ( )
( )
( )2 2
22 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt
3 3 t t 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3
 + + − + +
= = = − 
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
2 2
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt
3 t 2 2t 3t 3 t 3t 3
 +
= − − 
+ + + + ∫ ∫ ∫
2
2
1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c
6 x x 1 2 3 3
− + +
= − +
+ +
• ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )22
dx d x 1
x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3
+
= =
 + − + + + − + + 
∫ ∫ ∫2 3
dxD =
x + 1
( )
( ) ( )
( )
( )2 2
22 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt
3 3 t t 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3
 − + − − −
= = = − 
− + 
− + − +
∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
( )
2
2 2
1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3 t 2 2 3t 3t 3 3t
2 4
 
− +
= − + = 
− + 
− + 
 
∫ ∫ ∫ 
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
 20 
2 2
2 2
1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1ln 3arctg c ln arctg c
3 2 6t 3t 3 x x 13 2 3 3
 
− + + −
+ + = + + 
− + − + 
• ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2
xdx 1 x x 1 x 1 dx
3x 1 x x 1 x 1 x x 1
+ + − −
= =
−
− + + − + +
∫ ∫ ∫3 3
xdxD =
x 1
 2
1 1 x 1 dx
3 x 1 x x 1
− 
= − 
− + + ∫
( )
( )2 22
1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
3 x 1 2 2x x 1 31x
2 2
 +
= − + 
− + +   + +     
∫ ∫ ∫ 
21 1 2x 1ln x 1 ln x x 1 3arctg c
3 2 3
+ 
= − − + + + + 
 
• ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2
xdx 1 x x 1 x 1 dx
3x 1 x x 1 x 1 x x 1
− − + − +
= =
+ − + + − +
∫ ∫ ∫4 3
xdxD =
x + 1
( )
( )2 2 22
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dxdx
3 x 1 3 x 1 2 2x x 1 x x 1 31x
2 2
 − + − − 
= − = − −   + +
− + − +    
− +     
∫ ∫ ∫ ∫ 
2
2
2
1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c
3 2 6 x x 13 3 3
− − − + + − 
= + − − + − + = − + 
− + 
V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6 
• ( ) ( ) ( )1 23 33 3
dx 1 dx dx 1 D D
2 2x 1 x 1x 1 x 1
 
= = − = − 
− − + 
− +
∫ ∫ ∫ ∫1 6
dxE =
x 1
 ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg ln arctg
2 6 6x x 1 x x 12 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1ln arctg arctg c
12 4 3 3 3x 2x 1 x x 1
    
− + + + + −
= − − +       + + − +     
− + − + + − 
= − + + 
+ + + +  
•
( )
( )
2
13 32
1 d x 1 du 1 D
2 2 2u 1x 1
= = =
− −
−
∫ ∫ ∫2 6
xdxE =
x 1
2 4 2 2
2 4 2
1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c ln arctg c
2 6 12u u 1 x x 12 3 3 2 3 3
 
− + + − + +
= − + = − + 
+ + + + 
( )3 3 3
6 3 3
1 d x 1 1 x 1 1 x 1ln c ln c
3 3 2 6x 1 x 1 x 1
•
− −
= = ⋅ + = +
− − + +∫ ∫
2
3 6
x dxE =
x 1
•
( )
( ) ( )
2 2
6 3 2
1 x d x 1 udu 1 udu
2 2 2x 1 u 1 u 1 u u 1
= = = =
− − −
− + +
∫ ∫ ∫ ∫
3
4 6
x dxE =
x 1
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 
www.mathvn.com 21 
( )2 4 2 2
2 4 2
1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c ln arctg c
12 12u u 1 x x 12 3 3 2 3 3
− + − + +
= + + = + +
+ + + +
( ) ( )
( ) ( )
4 2 2
2 4 2 62 4 2
x x 1 x 1 2 dx dx dxdx 2
x 1 x x 1 x 1x 1 x x 1
•
+ + − − −
= = − −
− − + + −
− + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4
5 6
x dxE =
x 1
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1ln arctg arctg arctg c
12 2 3 3 3 x 3x 2x 1 x x 1
 
− + − + + − −
= + + − + 
+ + + +  
•
( )6 6
6
1 d x 1 ln x 1 c
6 6x 1
= = − +
− −
∫ ∫
5
6 6
x dxE =
x 1
•
( )6
16 6
x 1 1 dxdx dx x E
x 1 x 1
− +
= = + = +
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
6
7 6
x dxE =
x 1
( )( )
( )( )
2 2
2 2
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
x ln arctg arctg c
12 4 3 3 3x 2x 1 x x 1
− + − + + − 
= + − + + 
+ + + +  
•
( ) ( )
( ) ( )
( )2 2 2 2
4 22 4 2 2
2
11 dx
x 1 x 1 dx x 1 dx x
1x x 1x 1 x x 1 x 1
x
 
− 
− + − −  
= = =
 − ++ − + + − 
 
∫ ∫ ∫ ∫
4
8 6
x 1E = dx
x + 1
( )
( ) ( )
2
2 22
1 1d x x 31 1 x x 3 1x xln c ln c12 3 2 3 x x 3 11 x 3x 3 xx
+ + −
− +
= = + = +
+ ++ ++ −
∫ 
•
( )
( ) ( )
4 2 2 2
2 62 4 2
x x 1 x dx x dxdx
x 1 x 1x 1 x x 1
− + +
= = +
+ ++ − +
∫ ∫ ∫ ∫
4
9 6
x + 1E = dx
x + 1
( ) ( )3 3
2 6
dx 1 d x 1
arctgx arctg x c
3 3x 1 x 1
= + = + +
+ +∫ ∫
( ) ( ) ( )
( )
4 4
9 86
2
3
2
1 x 1 x 1 1dx E E
2 2x 1
1 1 1 x x 3 1
arctgx arctg x ln c
2 3 2 3 x x 3 1
•
+ − −
= = − =
+
 
− +
= + − +  + + 
∫ ∫10 6
dxE =
x + 1
•
( ) ( ) ( )3 2 3
26 6 6
1 d x 1 d x 1 d x 1 D
3 2 3 2x 1 x 1 x 1
= + = +
+ + +∫ ∫ ∫ ∫
2
11 6
x + xE = dx
x + 1
 (thay x2 vào D2) 
( ) 4 2 23
4 2
1 1 1 x 2x 1 1 2x 1
arctg x ln arctg c
3 2 6 x x 1 2 3 3
 + + −
= + + + 
− + 
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
 22 
VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR 
• Đa thức Pn(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x = a là: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
2 nn n n
n n
P a P a P a
P x P a x a x a x a
1! 2! n!
′ ′′
= + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + −
1. Các bài tập mẫu minh họa: 
• ( )
− −
∫
4 3
1 50
3x 5x + 7x 8F = dx
x + 2
. Đặt ( ) 4 34P x 3x 5x 7x 8= − + − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 4
2 3 44 4 4 4
4 4
P 2 P 2 P 2 P 2
P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1! 2! 3! 4!
′ ′′
− − − −
⇔ = − + + + + + + + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 44P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2⇔ = − + + + − + + + 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4
1 50
50 49 48 47 46
49 48 47 46 45
66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2F dx
x 2
66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx
66 149 48 29 3
c
49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2
− − − − −
− + + + − + + +
⇒ =
+
 
= + − + + + − + + + 
−
= + − + − +
+ + + + +
∫
∫ 
VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 
1. Các bài tập mẫu minh họa: 
• ( )
( )
( )
99 99 98
9999 99
1 3 5 3 1 3
5 5 3 53 5 3 5
 + −
= = = − 
+ + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 100
dxG =
3x + 5x
dx x x dx x dxdx
x xx x x x
( )99 9999
99 99
1 dx 1 d 3x 5 1 1 1 xln x ln 3x 5 c ln c
5 x 99 5 99 4953x 5 3x 5
 +  
= − = − + + = +    + + ∫ ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
50 50 49
2 25050 50
50 50 49 49 49
2 50 250 50 50
50
50
1 2x 7 2x 1 dx 2x dxdx
7 7 x 2x 7x 2x 7 2x 7
1 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dxdx
7 7 49 x 72x 7x 2x 7 2x 7 2x 7
1 dx 1 d 2x 7
49 x 50 2x 7
•
 + −
= = − 
+ + + 
   + −
= − = − −   
+ + + + 
 +
= −
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
2 250
dxG =
x 2x +7
( )
( )
( ) ( )
50
250
50
50
5050 50
1 d 2x 7
350 2x 7
1 1 1 1 x 1ln x ln 2x 7 ln c
49 49.50 49.50 2x 7350 2x 7 350 2x 7
+
−
 +
= − + + = + +
++ +
∫
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 
www.mathvn.com 23 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
n n n
k k 1 k
n n n
1 ax b ax 1 dx 1 d ax bdx
b b nbx ax b x ax b ax b
−
•
+ − +
= = −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫3 k
n
dxG =
x ax + b
 ( )
( )
( )
( )
( )
n n
2 k 2 2 k 1 k
n n n
1 dx 1 d ax b 1 d ax b
nbb nbx ax b ax b ax b
− −
+ +
= − − = ⋅ ⋅ ⋅
+ + +
∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
k k 1 kk 1 nn
n
k n k 1 k 1 nn
1 1 1 1 1ln x ln ax b c
nb bb ax bb k 1 ax b
1 x 1 1 1ln c
nnb ax b b ax bb k 1 ax b
−
−
−
−
 
= + + ⋅ ⋅ ⋅ + − + + 
+
− + 
 
= + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + +
− + 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2000 2000 1999
2000 2000
2000 1000
2000
20002000
1 x 2x dx 2x dxdx
xx 1 x 1 x
dx 1 d 1 x 1 xln x ln 1 x c ln c
x 1000 1000 1 x1 x
•
− + −
= = −
+ +
+
= − = − + + = +
++
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
2000
4 2000
1 x dxG =
x 1 + x
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
10 9 10 10 10
10
2 2 210 10 10
10 10
10
10 2 1010
1 .10 1 1 3 3 3
10 10 103 3 3
1 3 3 1 33 ln 3
10 103 10 33
•
+ −
= = +
+ + +
 + +
= − = + + + 
+ + + 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
19
5 210
x dxG = =
3 + x
x x dx x d x x d x
x x x
d x d x
x c
x xx
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
50 49 50
50
7 750 50
50 50
6 7 5 650 50 50 50
50 50
6 650 50
x .x dx 1 2x 3 3 d 2x 3
2002x 3 2x 3
1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 13 c
200 2002x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3
1 2 2x 3 5 1 4x
c c
200 10 2x 3 2000 2x 3
•
− +
= = −
− − −
 
− − −  
= + = + +   
 
− − − −   
− − + −
= ⋅ + = +
− −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
99
6 750
x dxG =
2x 3
• ( ) ( )
n n 1
k
n
x x dx
ax b
−
=
+
∫ ∫
2n-1
7 k
n
x dxG =
ax + b
( )
( )
( )n n
2 k
n
1 ax b b d ax b
na ax b
+ −
= +
+
∫ 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
2 k 1 k 2 k 2 k 1
n n n n
1 d ax b d ax b 1 1 bb c
na naax b ax b k 2 ax b k 1 ax b
− − −
 + + − 
= − = + +   
 + + − + − +   
∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
2 k 1 k 1
n 2 n
1 b k 2 k 1 ax b kax b
c c
na k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b
− −
− − − + − −
= ⋅ + = +
− − + − − +
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
 24 
2. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: 
5
****
1 2 3 4 58 8 8 8 8
xdx x x dx xdx dxG ; G dx ; G ; G ; G
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
−
= = = = =
− + − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC 
•
( )
( ) ( )
10
2
3x 5 dx
x 2 x 2
− − 
=  
+  +
∫ ∫
10
1 12
3x 5H = dx
x + 2
10 111 3x 5 3x 5 1 3x 5d c
11 x 2 x 2 121 x 2
− − −     
= = +     
+ + +     ∫ 
•
( )
( ) ( )
99 99
2
7x 1 dx 1 7x 1 7x 1d
2x 1 9 2x 1 2x 12x 1
− − − −     
= =     
+ + +     +
∫ ∫ ∫
99
2 101
7x 1H = dx
2x + 1
100 1001 1 7x 1 1 7x 1
c c
9 100 2x 1 900 2x 1
− −   
= ⋅ + = +   
+ +   
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 6 28
dx 1 1 dx
x 3 x 3 x 5 x 5x 5
x 5 x 5
= = ⋅ ⋅
+ + + ++
+ +
∫ ∫ ∫3 5 3
dxH =
x + 3 x + 5
 ( )
( ) ( ) ( ) ( )6 67 5 7 51 1 x 3 x 5 1 1x 3d u 1 dux 5x 52 2 ux 3
x 5
 + − + +
= ⋅ = ⋅ −  ++ +
+
∫ ∫ 
6 5 4 3 2
7 5
7 2 3 4 5
2
7 2 3 4
1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1 du
2 u
1 15 20 15 6 1u 6 du
u2 u u u u
1 u 20 15 2 16u 15ln u c
u22 2u u 4u
− + − + − +
=
 
= − + − + − + 
 
 
= − + + − + − + 
 
∫
∫ 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
7
2 3 4
7
1 1 x 3x 3 x 36 15ln
x 5 x 52 x 52
1 x 5 15 x 5 x 5 x 5120 2 c
x 3 2 x 3 x 3 4 x 32
 ++ +
= − + + + + + 
 + + + ++ − + − + + + + + 
Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: 
• ( ) ( )
−
∫1 7 3
dxH =
3x 2 3x+ 4
; ( ) ( )1−∫2 3 4
dxH =
2x 3x - 1
; ( ) ( )∫3 5 4
dxH =
3x+ 2 4x - 1