Bài giảng Bất đẳng thức và áp dụng - Chương 2 Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu

Chương 2 Hàm đơn điệu và tựa đơn điệuChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNG2.1. Hàm đơn điệu Ký hiệu là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp hoặc với Khi hàm số xác định trên tập 	 và thoả mãn điều kiện với mọi 	 ta đều cóthì là một hàm đơn điệu tăng trên 	Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNG Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp 	 ta đều cóthì là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên Ngược lại, khi thì là một hàm đơn điệu giảm trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGNếu xảy rathì là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên 	 được gọi là hàm đồng biến trên và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó. Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.1. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng 	(i) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.(ii) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.2. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều cóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.3. Để bất đẳng thứcđược thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm đơn điệu tăng trên Chứng minh: Nhận xét rằng, ta có hàm số và (2.2) sẽ có dạng (2.1) với hiển nhiên được thỏa mãn ứng với là một hàm số đơn điệu tăng trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGHệ quả 2.1. Giả sử là hàm đơn điệu tăng trong Khi đó với mọi dãy số dương và giảm ta đều có Nhận xét rằng, (2.2’) không là điều kiện cần để là một hàm đồng biến. Thật vậy, chỉ cần chọn hàm có tính chấtta dễ dàng kiểm chứng rằng (2.2’) được thoả mãn. Chẳng hạn, hàm sốthoả mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thoả mãn điều kiện (2.2’). Tuy nhiên, hàm không là hàm đơn điệu tăng trênChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNG Nếu bổ sung thêm điều kiện: là hàm đồng biến trên 	 và là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự:Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm.Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.4. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều cóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.5. Để bất đẳng thứcđược thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm đơn điệu giảm trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGTrong số các hàm số sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính đóng vai trò quan trọng, vì nó dễ nhận biết về tính đồng biến (khi ) và nghịch biến (khi ) trong mỗi khoảng tuỳ ý cho trước. Định lý 2.6. Giả thiết rằng, với mọi cặp bộ số dương ta đều cóThì trong đó là hằng số. Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.7. (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu giảm trên Khi đó, ta luôn cóKhi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.8. Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu giảm trên và là một dãy tăng trong Khi đó, ta luôn cóKhi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.9. Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn cóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGHệ quả 2.2. Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn cóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.10. Cho hàm số liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên với Khi đó ta có Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.11. Cho hàm số liên tục và nghịch biến trên Khi đó, ta luôn có Tương tự, với liên tục và đồng biến trên thìChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGHệ quả 2.3. Nếu và liên tục và nghịch biến trên thì ta đều có Nếu liên tục và đồng biến trên thì ta đều cóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.12 [Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev]. Giả sử và là hai hàm đơn điệu tăng và là một dãy đơn điệu tăng:Khi đó với mọi bộ trọng : 	ta đều cóBạn đã hoàn thành Mục 2.1 Chương 2Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNG