Bài giảng Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

23
42881 233 −+−=− xxxx 
Xeùt haøm soá f(x) = 2
3
42 23 −+− xxx => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 
=> f’’(x) = 6x – 4. Ñaët 238813 −=− yx 
13) 222 +−= xx 
14) 5342 +=−− xxx 
15) 33 2332 −=+ xx 
16) 513413 2 −+−=+ xxx 
17) 541 2 ++=+ xxx 
18) xxx 77
28
94 2 +=+ 
19) 29 5 3 2 3x x x− = + + 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Caùc phöông trình keå treân laø caùc phöông trình ñoái xöùng, tuy nhieân hai ví duï sau 
cuõng caàn nghieân cöùu. 
( )
2
2
20,4 3 1 5 13
2 3 3 1
x x x
x x
+ + + =
⇔ − = − + + + 4x 
Ñaët 
( )
( )
2
2
2 3 2
3 1 2 3
2 3 3 1
x y x
x y
y x
⎧ 1− = + +⎪− + = − → ⎨ − = +⎪⎩
( )
3 2 3
3 3
21,8 53 36 3 5 5
2 3 3 5 2
x x x x
x x x
+ = + − +
⇔ − = − + − 
Ñaët 
( )
( )
3
3
3
2 3 2
3 5 2 3
2 3 3 5
x y x
x y
y x
⎧ − = + −⎪− = − → ⎨ − = −⎪⎩
5
Loaïi 2: ( )logx aa b px q cxα β+ = + + d+ 
PP: Ñaët: ( )loga px q yα β+ = + 
( )
( )
( )
2
3
7
3
2sin
4
22,7 2 log 6 1 1
23,3 1 log 1 2
1 1
24, cos2 log 3cos2 1
2 2
x
x
x
x
x x
x x
= + +
= + + +
⎛ ⎞ + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
§. PHÖÔNG PHAÙP “MOØ” NGHIEÄM 
2 23 11, 3 1 2
1
x x x x
x
+ + + + + = ++ 
VT ñoàng bieán, VP nghòch bieán⇒ coù khoâng quaù moät nghieäm. 
“Moø” laø moät nghieäm. 0x =
( ) 12, 3 2 2x x−− = 
Laäp baûng bieán thieân⇒coù khoâng quaù hai nghieäm. 
“Moø” laø nghieäm. 2, 4x x= =
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
13,
x a x b x b x c x c x a
c c a c b a a b a c b b c b a x
− − − − − −+ +− − − − − − = 
Trong ñoù a, b, c laø ba soá khaùc nhau vaø khaùc khoâng. 
Pt baäc 3 neân coù khoâng quaù 3 nghieäm. 
“Moø” coù ba nghieäm a, b, c. 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 32 2 2 24, 1 1a a x x a a x x− − + = − + − 2 
Xeùt TH ñaëc bieät 
TQ: Pt baäc 6 neân coù khoâng quaù 6 nghieäm. 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 9 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
NX: Neáu 0x laø nghieäm thì 0
0
1 &1 x
x
− cuõng laø nghieäm, do ñoù 
0 0
0
1 1 1,1 , 11 1x x
x
−− −
 cuõng 
laø nghieäm. Deã thaáy a laø moät nghieäm. 
2
3 2 4
5, 2 7 2 7 35
6, 3 8 40 8 4 4 0
x x x x x
x x x x
+ + + + + <
− − + − + =
Moø ñöôïc nghieäm neân ta seõ phaân tích ra thöøa soá chung ( ) . 3x = 3x −
3 2
4
3 2
4
3 8 40 4 4
8
3 8 40 2 4 4
8
x x x x
x x x x
− − +⇔ = +
− − +⇔ − = 2+ −
5 3
2 2
3 54
3 2
7, 1 3 4 0
8, 15 3 2 8
9, 1 5 7 7 5 13 7 8
1 1 110,5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
+ − − + =
+ = − + +
+ + − + − + − <
+ + + = + + − + − +
§. PHÖÔNG PHAÙP ÑAÙNH GIAÙ 
Phöông phaùp naøy hay duøng trong phöông trình coù nhieàu aån, coù nhieàu loaïi haøm 
soá, bieåu thöùc phöùc taïp. 
2 2
2 2
2 2
tan tan1, sin sin
1 tan tan
+ = ++ +
x y x y
x y
Ñaët 2 2tan , tan , 0= = ⇒a x b y a b ≥
Trôû thaønh: 
1 1 1
+ = ++ + + +
a b a b
a b a b
Ta coù: 1 1
1 1 1 1
1 1
⎧ ≤⎪⎪ + + + ⇒ + ≤ +⎨ + + + + + +⎪ ≤⎪ + + +⎩
a a
a b aa b a
b b a b a b a b
a b b
b
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22, 5 2 6 2 5 2 4+ + + + + = + +x yz y zx z xy x y z 
Xeùt 2 vector ( ) ( )2 2 25; 6; 5 , 2 ; 2 ; 2= = + +G Ga b x yz y zx z + xy Khi ñoù, 
. ; .= =G G GVT a b VP a bG 
36 43, 28 4 2 1
2 1
+ = − − −− − −x yx y 
Duøng CauChy. 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 10 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 11 
24 4 4
24
4; 1 1 1 3
*) 1 1
− + − + + =
− ≤
x x x
x
4 4
1 1 1 11 11 1 1 1 2 2*) 1 1 2
2 2 2 2
+ − + ++ ++ − + +− + + ≤ + ≤ + =
x x
x xx x 
24 4 4 4 4
0
1 1 1 3 1 1 1
1 1 1
0
=⎧⎪⇒ − + − + + = ⇔ − = + = ⇔ =⎨⎪ − = + =⎩
x
x x x x x x
x x
( )
( ) ( )
4 4 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 22 2
2
2
5; tan tan 2cot .cot 3 sin
2 tan .tan 2cot .cot 4 tan .tan .cot .cot 4
3 1 4
tan tan tan tantan tan
1tan .tan cot .cot tan .tan
tan .tan
sin 1
sin 1
+ + = + +
≥ + ≥ =
≤ + =
⎧ = =⎧ = ⎪⎪ ⎪→ = ⇔ = ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪+ =⎩ ⎪ + =⎩
x y x y x y
VT x y x y x y x y
VP
x y x yx y
x y x y x y
x y
x y
x y
( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
2
tan .tan 1
sin 1
4 2tan 1
4 2tan 1 , )
4 2 2cos 0 4 2
2
 (b»ng c¸ch rót theo 
π π
π π
π π
π π
π π
⎧⎪ =⎨⎪ + =⎩
⎧ = +⎪ ⎧⎧ = ⎪ = +⎪⎪ ⎪ ⎪⇔ = ⇔ = + ⇔⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ = + −+ =⎩ ⎪⎪ ⎩+ = +⎪⎩
x y
x y
x k
x x k
y y l l
y m kx y
x y m
m k
( )( ) [ ]
( )( )
( )
2
22
6; 4 6 2 , 4;6
: 1 6
: 6,
4 6*) 4 6 5
2
*) 2 1 1 5
T×m m ®Ó 
§kc
§k® 
+ − ≤ − + ∀ ∈ −
= → ≥
≥
+ + −+ − ≤ =
− + = − + − ≥
x x x x m x
x m
gs m
x xx x
x x m x m
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 12 
( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
22
2
22 2
7; 2 4 6 11
*) 2 4 1 1 2 4 2
*) 6 11 3 2 2
8; 1 3 2 3 2 2
*) 1 3 1 1 1 3
1 3
9;sin 2sin 2 sin3 2 2
*)sin 2sin 2 sin3 2cos2 .sin 2sin 2
− + − = − +
− + − ≤ + − + − =
− + = − + ≥
− + − ≥ − + −
⎡ ⎤− + − ≤ + − + −⎣ ⎦
⇒ − = −
− − =
− − = − −
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x
x x x x x x
( ) ( ) ( )2 2 2
0
2
2cos2 2sin 2 sin 1 2 2
2cos2 2sin 2
sin 1
sin 1
 ⎡ ⎤≤ − + − + ≤⎣ ⎦
− −⎧ =⎪→ →⎨⎪ =⎩
x x x
x x
vnx
x
2 8
0
8 4
4 2
3
10, 2
8
2
*) :
2
1
*)2
8
1
*)
4
x x
Nn x
x x
x x
= +
= ±
+ ≥
+ ≥
( ) ( )
2
22
11, 4 5 2 2 3
*) 4 5 2 2 3 3 3 1 1 0 1
x x x
x x x x x x
+ + = +
+ + = + ≤ + + ⇔ + ≤ ⇔ = − 
2
0
2 2
1 5
12,8
2
1
*) :
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
*)8 8
4 4 4 4
x
x
Nn x
x x
x x x x x
+ =
=
+ = + + + + ≥
2
( )( )
2 2
2 2 4 24 44
13, 4 9 4 9 6
*) 2 4 9 4 9 2 2 81 2 81 6
x x x x
VT x x x x x x
− + + + + =
≥ − + + + = + + ≥ = 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 13 
( )
( )
( )
23
4 2 23
2 2 2
3
14, 25 2 9 4
25 2 9 4 3
5 5 9
*)
3
x x x
x
x x x
x x x
VT VP
+ = +
⇔ + = +
+ + +≤ =
( )
2 2
15, 9
1
1 1
*) 2 2 1 8 1
1 11 1
x x
x
x x
VT x x VP
x xx x
+ = ++
⎛ ⎞= + + ≤ + + +⎜ ⎟+ ++ + ⎝ ⎠ =
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1
16, 3 1 1 7 4
2 2
*) 1 1 3 1 1 2 5
2 2 51 1
*) 2 2 5 2 5
22 2
x x x x x x x
VT x x x x x x x x
x x x
VP x x x x x x
− + − − + = − +
≤ + + − + − + + = + −
⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦= ≥ + − = + −
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
2 2
2 22 22 2
17, 2 5 6 10 5
*) 1 2 3 1 1 3 2 1 5
*)
x x x x
VT x x x x
a b a b
− + − − + =
⎡ ⎤= − + − − + ≤ − − − + − =⎣ ⎦
− ≤ −G G G G
( )
( ) ( ) ( )
2 3
2 22 2
18, 3 1 5 2 40 34 10
*) 3 1 1 5 2
*) . .
x x x x x x
VT x x x VP
a b a b
− − + − = − + −
⎡ ⎤⎡ ⎤≤ − + − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
≤G G G G
( )
2 2
1 3 5 1 3 5
19,
80
*) 1 6
x x x y y y
x y x y
pt x y
⎧ + + + + + = − + − + −⎪⎨ + + + =⎪⎩
⇔ = −
4 2
2 2
697
20, 81
3 4 4
x y
x y xy x y
⎧ + =⎪⎨⎪ + + − − + =⎩ 0
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
*) Xeùt phöông trình hai. Neáu xem laø phöông trình aån x thì ta ñöôïc 
7
0
3
y≤ ≤ , coøn 
ngöôïc laïi neáu xem laø phöông trình aån y thì ta laïi ñöôïc 
4
0
3
x≤ ≤ 
*) 
4 2
4 2 4 7
3 3
x y V⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ P 
§. LÖÔÏNG LIEÂN HÔÏP. 
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2 2
1, 3 2 1 3
32 1
3
32 1 1 1
3
2 1 1 2 1 1 2 1
3
2 2 1 1
3
2, 3 1 3 3 2 3
3 2 33
3 1
3 2 33 2 2
3 1
1
3
3 2 3: 3
3 1
α β α
+ + = + +
+ +⇔ + = +
+ +⇔ + − = −+
⇔ + − + + = + ++
⇔ = + ++
+ + = + +
+ +⇔ + = +
⎧ + ++ − = −⎪⎪ +⇔ ⎨⎪ > −⎪⎩
+ ++ − + = − ++
x x x x
x xx
x
x xx
x
xx x x
x
xx x
x
x x x x
x xx
x
x xx x x
x
x
x xP x x x
x
( )β
1
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
3; 3 2 3 4
4; 1 8 4
5; 2 1 3 3 2
4 206; 3
3 3
+ + + = +
+ + = + +
+ + = + +
− = − −
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
+
x
( ) 2 27; 3 1 2 3 3 2+ + + = +x x x x x + 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 14 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 15 
2
2 18; 2 3 1
2 3
1 79; 3 5
2 2
−− + = −
+ = − +
xx x
x
x x
x
§. HOAÙN ÑOÅI VAI TROØ CUÛA AÅN SOÁ VAØ THAM SOÁ. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 3 2 2
3 2 2
1; 10 2 1 2 5 6 2 0
2; 4 3 4 2 4 1 0
x x a x a x a a
x a x a a x a
− − − + + + + =
− + + + − − = 
§. THAM SOÁ HOÙA CHO PHÖÔNG TRÌNH 
PP tham soá hoùa cho moät phöông trình laø ñöa vaøo phöông trình moät tham soá 
naøo ñoù. Coù hai daïng chính sau: 
Daïng 1: Choïn moät haèng soá phuø hôïp vaø tham soá hoùa noù, sau ñoù hoaùn ñoåi 
vai troø cuûa aån soá vaø tham soá ñeå giaûi. 
3
3
3
3
68 15
1,
2 17 17 2
x
x x
x
x x
+ =
−⇔ + =
Choïn 17 laøm tham soá. Khi ñoù ta xeùt phöông trình sau: 
2
2
3 2 2 6 2 4
3
2
2 2
2 2 0 2
m x
m m
x x m m x x xx x m
x
⎡ = −− ⎢+ = ⇔ − − − = ⇔ +⎢ =⎢⎣
Do ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi 
2
4
2
17
2
17
x
x
x
⎡− =⎢ +⎢ =⎢⎣
( )
4 3 2
2
2, 2 15 25 0
3, 11 11 11 11
x x x x
x x x
+ − − + =
+ + = ⇔ − = + x 
Daïng 2: Möôïn tham soá trong ñònh lyù Lagrange. 
3 3
3 3
3 3
log 7 log 5
3
log log
3
log log
3 3
4, 2 log
7 2 5log
7 7log 2 2log
x
x x
x x
x x
x
x x
= +
⇔ = +
⇔ − = −
Gs soá döông α naøo ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Khi ñoù ta coù 
3 3log log
3 37 7log 2 2log
α αα α− = − 
Xeùt haøm soá ( ) 3log 3logf t t tα α= − . Vì ( )f t coù ñaïo haøm treân [ neân theo ñònh lyù 
Lagrange ta coù: 
]2;7
( ) ( ) ( ) ( )7 22;7 : '
7 2
f f
m f m
−∃ ∈ = − 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
( ) 3
3
log 1
3 3
3
log 1
' 0 log . log 0
log 0 1
31 0
f m m
m
α
α
α α
α α
α
−
−
⇒ = ⇔ −
=⎡ =⎡⇔ ⇔⎢ ⎢ =− = ⎣⎣
=
Thöû laïi ta coù taäp nghieäm cuûa pt ñaõ cho laø { }1;3S = 
( )
( )
cot cot cot cot cot cot
cot
5,7 11 12cot 7 11 3 11 7 cot 7 3.7cot 11 3.11cot
3 cot
1 1 5 4
6,
2 3 14 21
x x x x x x
x x
x x
x x x
f t t tα α
− = ⇔ − = − ⇔ + = +
→ = +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x
( )
( ) ( )
3 2
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5 5
7 7
log log log 7
log log log
log log log log
log log log log
log log
log 11 log
1 5 1
2 14 7:
1 4 1
3 21 7
1
7
7,2 2
8 4 7
8 4 5 7
8 5 7 4
3
8, 3 2
x x
x x x
5
5
x x x x
x x x
x
NX
f t t t
x x
x
f t t t
x x
α
α
α α
⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩
⎛ ⎞→ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
+ = +
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ − = −
→ = + −
+ =
x
§. PHAÂN TÍCH HÔÏP LYÙ. 
2
2
2
1 2 1 71,
2 41
1 2 1 7 1 1 1 3 1 1 11 2 2
2 4 2 4 2 41
+ + =−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⇔ − = − − + = − − + = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
x xx
x x x x x xx
3
Ta ph©n tÝch sao ®Ó tam thøc bËc hai cã nghiÖm ®Æc biÖt. 
( )
1 1 1 1 1 32
2 41
2 22
2 41 1 1
− − ⎛ ⎞⎛ ⎞⇔ = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠
− − ⎛ ⎞⇔ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠− + −
x
x xx
x x
x xx x
1 3+
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 16 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 17 
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
1 12, 2
4 2 1
1 3 1 11
4 2 2 21
3 3 3
21 2 1 24 1
4
+ + + = ++ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⇔ − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− − −⇔ + =⎛ ⎞+ + 1+ + ++ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x xx
x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
33 2
33
0
3; 3 3 1 1 0
1 3 1 3
1 3
− + + − + =
− + + +⎡ ⎤= ⇒ = −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
x x a x a
a a a
cn x
1
3
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
23 2
3
2 33 2
2 33 3 2
33
4; 3 3 1 1 0
1 3 1 3 1 1 0
3 1 3 1 1
1 0
gÇn gièng cña khai triÓn 
− + + − + =
−
→ + − + + + − + =
⎡ ⎤→ + − + + + − + =⎣ ⎦
→ + − + =⎡ ⎤⎣ ⎦
x x a x a
a b
a x x a a x a
ax x x a a x a
ax x a
0
8 5 25; 1 0− + − + =x x x x 
Khoâng nhaåm nghieäm vì baäc quaù cao vaø nghieäm höõu tyû cuûa pt chæ coù theå laø 1± . Ta 
seõ phaân tích thaønh toång caùc bình phöông. 
2
8 5 4
2
2 2 2
8 5 2 4
*)
2
*) 1 1
2
1 1
2 2
⎛ ⎞− → −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− + → −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ − + − + = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xx x x
xx
2
x x xx x x x x
6;cos 3 3sin cos7
cos cos7 3 3sin 0
2sin 4 .sin3 3 3sin 0
− =
⇔ − − =
⇔ −
x x x
x x x
x x x =
( )22sin 4 .sin 3 4sin 3 3sin 0⇔ − −x x x x = 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 18 
( )
sin 0
2sin 4 4sin 4 .cos2 3 3 *
=⎡⇔ ⎢ + =⎢⎣
x
x x x
( )
2 2 2 2
222 2
2 2
3 3* sin 2 .cos2 sin 4 .cos2
4
cos 2 sin 4 cos 2 1 4sin 2
1 1 4cos 2 1 4sin 2 25 3.4cos 2 1 4sin 2 .
4 4 2 16 4
Ta cã: 
⇔ + =
⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎡ ⎤= + ≤ = < →⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o
x x x x
x x x x
x x 3x x ptvn
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
cos cos
2
7; 1 cos 2 4 3.4
cos , 1 1
3.41 2 4 3.4 1 0
2 4
3.4 6.ln 4.41 ' 1
2 4 2 4
' 0 0
10; 1;
2
§Æt 
§Æt 
 cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm nªn cã kh«ng qu¸ ba nghiÖm.
t lμ ba nghiÖm.
+ + =
= − ≤ ≤
→ + + = ⇔ − + =+
= − + → = −+ +
= =
= = =
x x
t
t t
t
t t
t t
x
t x t
t t
f t t f t
f t f t
t t
1 1
1 2 28; 1 2 1 2 22
2
− −−
+ ≤− ++ 1−x x xx
a
a) Giaûi khi 4a =
b) Tìm a ñeå bpt coù ít nhaát hai nghieäm trong ñoù coù moät nghieäm nhoû hôn 
1, moät nghieäm lôùn hôn 1. 
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
1 1 1 1 11
21 11 1
1 11 1 1 1
21 1
1 1
1 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 1 2 22 12
2
2 22 2
2 22 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
− − − − −−−
− −− −
− −− − − −
− −
− −
+ ≤ ⇔ + ≤− + + +−+
++⇔ ≤ ⇔ ≤++ − + −
⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦⇔ ≤+ −
1−x x x x xx
x
x xx x
x xx x x x
x x
x x
a a
a a
a
x
( ) ( )
( )( )
21 1
1 1
2 1 2 1
) 4
2 1 2 1
− −
− −
⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦= → ≤+ −
x x
x xa a 4 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 19 
( )1: 2 1 0 1 0 lu«n ®óng.− − < ⇔ < → < →xTH x VT 
( ) ( )21: 2 1 0 1 4 4, 0− ⎡ ⎤+− > ⇔ > → ≥ = ≥ ∀ >⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
x a bTH x VT VP ab
ab
) 1§kc: ®Ó cã mét nghiÖm 
§k®: Khi th× bpt tháa yc bt.
> → ≥b x 4a
log log 32 2
3
2 2 3 3
2
22 2
2 2 22 3
3 3
2 2
2
9;log log log log
1
2 3 loglog log 2
log log
log log 22 3
2 log 3
3 2
2
§k 
§Æt 
=
>
⎧ ⎧ == =⎧ ⎪ ⎪= → → →⎨ ⎨ ⎨= ==⎩ ⎪⎪ ⎩⎩
⎧⎛ ⎞ =⎪⎜ ⎟→ → =⎝ ⎠⎨⎪ =⎩
t
tt t
t
t t
t
x x
x
x t x
t x
x t x
x
x
3
( )
( )
2 3 5 2 3 5
5 2 3 2 3 5
5
2
2 3 2 3 2 3
2 3
3
2
10;log log log log .log .log
0
log log 5 log 5 1 log .log .log
log 0
log 5 log 5 1 log .log log 3 log
1
log 5 log 5 1log
log 3
§k: 
+ + =
>
→ + + =
=⎡→ ⎢ + + = =⎢⎣
=⎡⎢→ + +⎢ = ±⎢⎣
x x x x x x
x
x x
x
x x
x x x
x
x
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 4 4 3 2
2
4 3 4 4 3 2
2
3 4 3 2
2
3 4 3 4 3 3 4
2
3 4 3 4 3
3
3 4 3 4
11;log log log log log log
4
log log log log log log
log log log log
log log log 2log log 2 log log
log log log log log 2 0
1 1 4log 2
log log , 4 log log
2
§k: 
 l−u ý ®k 
=
>
→ =
⇔ =
⇔ = = +
⇔ − − =
+ +⇔ = > →
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x ( ) 0>x
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 20 
( ) ( ) 11 loglog 1
log log
12; 1 2
1.§k: 
L−u ý: 
++ − + − ≤
>
=
xx
b b
xx
c a
x x
x
a c
( )
( ) ( )
2log 4 2
2
2 2 2
13; 8
0
log 4 .log log 8
§k: 
LÊy logrit c¬ sè 2 hai vÕ
≥
>
→ ≥
xx x
x
x x x
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 4 5
2 2 4
3 3 5
2 4
3 5
14;log log 1 log 2 log 3
0
2 21 log log log
2 4 2 4 4*) 2
1 3 1 31 log log log
3 5 3 5 5
log log 2
log 1 log 3
*) 2
*) 2
§k: 
 lμ n
+ + = + + +
>
+ +⎧ ⎧> > > >⎪ ⎪⎪ ⎪> → →⎨ ⎨+ + + + +⎪ ⎪> > > >⎪ ⎪⎩ ⎩
> +⎧⎪→ ⎨ + > +⎪⎩
<
= o
x x x x
x
x x x x x
x
x x x x x
x x
x x
x tt
x
2
3
+
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
22
2 2
2 2
2 2
2 115;2 6 2 log
1
1 1
2
2 6 2 log 2 1 log 1
2 1 2 1 1 log 2 1 log 1
§k: 
+− + = −
− < ≠
→ − + = + − −
⇔ − − + + = + − −
xx x
x
x
x x x x
x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 1 2 1 log 2 1 log 2 1
2 1 log 2 1 2 1 log 2 1
2 1 2 1 , log v× hμm sè t ®ång biÕn.
⇔ − − + = + − −
⎡ ⎤⇔ − + − = + + +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
⇔ − = + = +
x x x x
x x x x
x x f t t
§. MOÄT SOÁ BAØI VEÀ HEÄ ÑOÁI XÖÙNG, ÑAÚNG CAÁP. 
2
1
1;
2 2 2 1
 xem z lμ tham sè.
+ + =⎧⎨ + − + =⎩
x y z
x y xy z 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 21 
( )
31 2 2
2 2 2 2
2 2
33 3 3 3
2 2
0
32;
4
1
8
343 1 24; 5;
33 1 4
2
5
6; 7;2 5 2
2
, ®©y lμ hÖ ®èi xøng ba Èn c¬ b¶n
3;
⎧⎪ + + =⎪ −⎪ + + =⎨⎪⎪ =⎪⎩
⎧+ + =⎧ + = +⎪⎧ − = +⎪ ⎪ ⎪+ + =⎨ ⎨ ⎨− = +⎪⎩⎪ ⎪ + = ++ + =⎩ ⎪⎩
⎧ + − = − ≤⎪⎨ − = − −⎪⎩
x y z
xy yz zx
xyz
x z a x x yy y x
x y z a
x x y y y xx y z a
x xy y x x y y
y x
x y xy
( )
2 22 3 1
⎧ +⎪⎨ + − =⎪⎩
x y
x y xy
§. PHÖÔNG PHAÙP THAM BIEÁN 
( )
( )
( )
( )
( )
22 2 2 2
0
2 2
2 2
1 ,1 1 , 0
1;
1 1 1 1
20 1
3
1 4 3 1 1 4 3 1
22 2, ;0
31 4 3 1 1 4 3 1
2 2
§kcn
HÖ cã nghiÖm: 
+ = − ≥⎧+ ≤ + = − ≥⎧ ⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ + = + + = = − −⎪⎩ ⎩ ⎩
→ ≤ ≤ +
⎧ ⎧− − − − − + − −⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ≤ ≤ +⎨ ⎨⎪ ⎪− + − − − − − −= =⎪ ⎪⎩ ⎩
x y a ax y x y a a
x y xy x y xy xy a
a
a a a a
x x
a
a a a a
y y
1
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
22 2
2
1 1
2; , 0, 0
4 4
4 4
2 2
3 , 0, 0 , 0, 02 22 2 22 33
0, 0
1 0
2 2 0 2
2 02 2 0
3
§kcn
⎧ ⎧+ ≤ + + = + +⎪ ⎪⇔ ≤ ≤⎨ ⎨+ ≤ + = +⎪ ⎪⎩ ⎩
+ −⎧ ⎧+ = + = + −⎪⎪ ⎪⇔ ≤ ≤ ⇔⎨ ⎨ + ++ − − =⎪ ⎪= ⎩⎪⎩
⎧⎪ ≤ ≤ ⎧− − ≤ ≤⎪ ⎪→ + − ≥ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪− ≤ ≤+ + ⎩⎪ ≥⎩
o
x y xy x y xy a
a b
x y xy x y xy b
a bx y x y a b
a b a ba ba b x yxy
a b b a
a b
ba b
≤ ≤
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
3; Tìm gtnn, gtln cuûa ( ) 2 2, = + −P x y x y xy , bieát x, y thoûa: 2 2 2 3
+ ≤⎧⎨ + + =⎩
x y
x y xy
Ta vieát laïi ñieàu kieän: ( )22 2
22
, 0
3 2 3
+ = −⎧+ = −⎧ ⎪≥ ⇔⎨ ⎨+ + = = − −⎪⎩ ⎩
x y ax y a
a
x y xy xy a
( )
( ) ( )
( )
( )
2
, 0 4
, 9 2 2
0 3
, 9, 2
3 3
2 1
min , 1, 0
1 1
§k
Khi ®ã: 
∃ → ≤ ≤
= − −
⎧+ = =⎧ ⎪= = → →⎨ ⎨= − = −⎩ ⎪⎩
+ = =⎧ ⎧= = → →⎨ ⎨= =⎩ ⎩
x y a
P x y a
x y x
maxP x y khi a
xy y
x y x
P x y khi a
xy y
§. HEÄ BAÄC HAI TOÅNG QUAÙT. 
Sau ñaây ta seõ trình baøy moät pp toång quaùt ñeå giaûi heä baäc hai toång quaùt. 
Ta döïa vaøo nhaän xeùt raèng: Nghieäm cuûa heä baát kyø ñöôïc chia laøm hai nhoùm: ( )0; y 
vaø ( ); , ≠x tx x 0
1
. 
( )
2 2
2 2
2 2
1;
2 1
x y x y
x y x y
⎧ + + − =⎪⎨ + + + =⎪⎩
*) Ta tìm nghieäm daïng: ( ) . 0; y
Ta coù: Töùc heä khoâng coù nghieäm daïng 
2
2
2 2
2 11 o
y y
vn
y y
⎧ − =⎪ →⎨ + =⎪⎩
( )0; y . 
*) Ta tìm nghieäm daïng ( ); , 0x tx x ≠ : 
Ta coù, 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2
1 2 1
t x t x
t x t x
⎧ + + − =⎪⎨ + + + =⎪⎩
2
11
Ta xem laø heä tuyeán tính theo hai aån 2x vaø x . ( )( )
( )
2
2
2
1 4
9 1
26 7
x
x
D t t
D t
D t
= + +
= +
= −
1
1*)
4
t = − heä voâ nghieäm, ñieàu ñoù coù nghóa laø heä ñaõ cho khoâng coù nghieäm daïng 
1;
4
x x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )( ) ( )( )
2
2
2 2
2
1 9 26 7 26 7 9*) ; 444 4 1 4 11 4 1 1 4 1
23
t
t tt x x
t t tt t t t
=⎡− − ⎛ ⎞ ⎢≠ − → = = ⇒ = ⇔⎜ ⎟ ⎢+ + = −+ + + + ⎝ ⎠ ⎣
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 22 
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 
Ñeán ñaây ta hieåu raèng heä ñaõ cho chæ coù nghieäm daïng 
( ) 44;2 ; 0
23
 vμ víi ab mμ th«i.a a b b⎛ ⎞− ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ 
239 1 44 172 ;4.2 1
44232 2
17
xx
t t
y x y
−⎧ =⎧ ⎪= =⎪ ⎪= → = − →+⎨ ⎨⎪ ⎪= = =⎩ ⎪⎩
2 2
2 2
4 2 3
2;
2 1
x y x y
x xy y x y
⎧ + − + = −⎪⎨ − + + − =⎪⎩ 2
3; Chöùng minh raèng 
( )2 1 3
1;
3
m
⎡ ⎤+⎢∀ ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥ thì heä sau luoân coù nghieäm:
2 2
2
1x y xy
x xy x y m
⎧ + + ≤⎪⎨ + + + =⎪⎩
*) Ta tìm xem khi naøo thì heä coù nghieäm daïng: ( )0; y . 
Ta coù: . Töùc vôùi 
2
21 1 1
y
m
y m
⎧ ≤ ⇒ ≤ ⇔ − ≤ ≤⎨ =⎩
1m 11 m− ≤ ≤ thì heä coù nghieäm (cuï theå laø 
). ( )0;m
*) Ta tìm xem khi naøo heä coù nghieäm daïng: ( );x x . 
Ta coù: 
( )
2
2
2
1 1
3 1
3
2 2 2 2 *
xx
x x m x x m
⎧− ≤ ≤⎧ ≤⎪ ⎪⇔⎨ ⎨+ =⎪⎩ ⎪ + =⎩
3 Ta caàn tìm m ñeå pt (*) coù nghieäm trong ñoaïn 
1 1;
3 3
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
Duøng khaûo saùt haøm soá ta seõ coù: 
( )2 1 31
2 3
m
+− ≤ ≤ . Töùc vôùi ( )2 1 31
2 3
m
+− ≤ ≤ thì 
heä ñaõ cho coù nghieäm daïng ( );x x . 
Töø caùc keát quaû treân ta coù ñpcm. 
4; Ñònh m ñeå