Bài giảng Đại số 11 §3: Hàm số liên tục

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNGCÁC THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINHQUANG TRUNG, NGÀY 10 THÁNG 02 NĂM 2012GIÁO VIÊN: NGUYỄN THỊ HÀ TĨNHTỚI DỰ BUỔI HỌC HÔM NAYI) KIẾN THỨC BÀI CŨ:Cho hai hàm sốnếu x ≤ -1nếu -1 0Xét tính liên tục tại x = 0 với a = 1Giải:) Tập xác định của hàm số D = R) 0  D))≠)Vậy hàm số không tồn tại giới hạn khi x → 0 nên hàm số không liên tục tại x = 0Với giá trị a = ? thì hàm số liên tục tại x = 0Vậy hàm số liên tục tại x = 0Từ 3 ví dụ trên: Nêu điều kiện để hàm số liên tục tại điểm x = x0?Vậy hàm số gián đoạn tại x = x0 f(x) không xđ tại x0Điều kiện để hàm số f(x) liên tục tại x = x0II) HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG:LƯU Ý: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường 	liền trên khoảng đó.ĐỊNH NGHĨA 2:) Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.) Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) vàKhái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như (a;b], [a;+∞),  được định nghĩa một cách tương tự.ybx0aNHẬN XÉT:(Hình 3)) Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó (hình 3)) Hình 4 cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tục trên khoảng(a;b)oabyx(Hình 4)LIÊN TỤCKHÔNG LIÊN TỤCIII) MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN:ĐỊNH LÍ 1:a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.ĐỊNH LÍ 2:Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;b) Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.VÍ DỤ 4:Cho hàm số:với x ≠ 1với x = 1Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.Giải:Tập xác định của hàm số là R. Nếu x ≠ 1, thìĐây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-∞ ; 1) U (1 ; +∞).Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-∞ ; 1) và (1 ; +∞). Nếu x = 1, ta có h(1) = 5 vàVì ≠ h(1), nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 1. Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-∞ ; 1) U (1 ; +∞) và gián đoạn tại x = 1.Hoạt động: 	Cho hàm số y = f(x) liên tục [a;b] với f(a), f(b) trái dấu nhau.	Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a;b) không?) Hưng trả lời: “ Đồ thị hàm số y = f(x) phải cắt trục Ox tại một điểm duy nhất nằm trong (a;b)”. ) Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm trong khoảng (a;b)”.) Bạn Tuấn thì cho rằng: “ Đồ thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a;b), chẳng hạn như đường parabol như hình (hình 6).Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?abf(a)xf(b)y0y=x3-4xHình 50yxf(b)f(a)aby2=xHình 6abf(a)xf(b)y0y=x3-4xHình 50yxf(b)f(a)aby2=xHình 6ĐỊNH LÍ 3:Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao cho f(c) = 0.abf(b)f(a)0yxHình 7Có thể phát biểu Định lí 3 dưới một dạng khác như sau:Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). HÀM SỐ LIÊN TỤCVÍ DỤ 5:ĐỊNH LÍ 1:a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.ĐỊNH LÍ 2:Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;b) Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.ĐỊNH LÍ 3:Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). Chứng minh rằng phương trình x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.Giải:Xét hàm số f(x) = x3 + 2x – 5 Ta có f(0) = -5 và f(2) = 7.Do đó f(0)f(2) < 0.y = f(x) là hàm số đa thức nên liên tục trên R. Do đó, nó liên tục trên đoạn [0;2]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0  (0;2). CHÚ Ý:Nếu nhận xét thêm rằng f(1)f(2) = -14 < 0 thì ta có thể kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1;2).VÍ DỤ 6:Chứng minh rằng phương trình -2x3+6x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.Giải:Xét hàm số f(x) = -2x3 + 6x +1 Hàm số liên tục trên RCó f(-1)=-3, f(0)=1, f(2)=-3f(-1).f(0)<0; f(0).f(2)<0Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0), ít nhất một nghiệm thuộc (0;2).Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm) Nhận xét về cách làm bài trên của một học sinh:Xét hàm số f(x) = -2x3 + 6x +1 Hàm số liên tục trên RCó f(-1)=-3, f(0)=1, f(1)=5f(-1).f(0)<0; f(-1).f(1)<0Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0), ít nhất một nghiệm thuộc (-1;1).Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệmLƯU Ý: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất n nghiệm thì tìm các khoảng (a1;b1), (a2;b2), (an;bn) sao cho:	1. f(x) liên tục trên các khoảng trên 	2. (a1;b1)∩(a2;b2)∩ ∩(an;bn) = Ø	3. f(a1)f(b1) < 0; f(a2)f(b2) < 0..f(an)f(bn) < 0CỦNG CỐQua bài học hôm nay chúng ta cần nắm được :) Hàm số liên tục tại một điểm; trên một khoảng.) Cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên một khoảng.) Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 hoặc 2. nghiệm BÀI TẬP VỀ NHÀ:Bài số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 140 và 141 SGKĐỊNH LÍ 1:a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.ĐỊNH LÍ 2:Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;b) Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.ĐỊNH LÍ 3:Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). Điều kiện để hàm số f(x) liên tục tại x = x0kÝnh chóc c¸c thÇy c« gi¸o tíi dù buæi häc h«m nay m¹nh kháe vµ th©n ¸iXin tr©n träng c¶m ¬n!