Bài giảng Đại số 11 Bài 1: Khái niệm đạo hàm

Tr­êng THPT L¨kGi¸o ¸n To¸n 11Gv : hoµng nguyƠn b¶o diCH¦¥NG 5 - §¹o HµmBÀI 1 : KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM1 . Ví dụ mở đầu : Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó ) ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi .* Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng , chiều dương hướng xống đất , gốc O là vị trí ban đầu của viên bi (tại thời điểm t = 0) và bỏ qua sức cản của không khí thì phương trình của viên bi là :* Giả sử tại thời điểm , viên bi ở vị trí có tọa độ *Tại thời điểm ,viên bi ở vị trí và có tọa độ *Khi đó trong khoảng thời gian tư quãng đường viên bi đi được là : *Vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là:Oy0t0M*Nếu càng nhỏ thì (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh , chậm của viên bi tại thời điểm *Từ đó, ta xem giới hạn của tỉ số khi là vận tốc tức thời tại thời điểm của viên biKí hiệu : *Nhiều vấn đề của tóan học, vật lý, hóa học, sinh học . . dẫn đến bài tóan tìm giới hạn : *Trong toán học người ta gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn ,là đạo hàm của hàm số tại thời điểm 2 . Đạo hàm của hàm số tại một điểm:a) Khái niệm :Cho hàm số xác định trên khoảng (a; b) và điểm thuộc khoảng đó . Định nghĩa :Giới hạn hữu hạn, nếu co,ù của tỉ số khi được gọi là Đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm Kí hiệu: hayNghĩa là:Nếu đặt và thì:Chú ý:1.Số gia được gọi là số gia của biến số tại điểm Số gia được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia tại điểm 2.Số không nhất thiết chỉ mang dấu dươngb.Quy tắc tính đạo hàmMuốn tính đạo hàm của hàm số y = f (x ) tại điểm theo định nghĩa ta thực hiện 2 bước sau :Bước 1: tính theo công thức: trong đó là số gia của biến số tại điểmBước 2 : Tìm giới hạn Ví dụ 1:Tính đạo hàm của hàm số tại điểm GiảiĐặt , ta có :* Tính * Tính Vậy Nhận xét : Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm 3.Ý nghĩa của đạo hàm: * Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và một điểm cố định thuộc (C) có hoành độ , với mọi điểm M thuộc ( C) khác có hoành độ là và là hệ số góc của cát tuyến .Giả sử tồn tại giới hạn :*Nếu có vị trí giới hạn là khi M chạy trên (C) tới thì gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm . gọi là tiếp điểm.*Giả sử f có đạo hàm tại điểm , ta có : y	 (C)f(x) 	 M yf(x0) 	 M0	 H O   x x0	x 	 xNhận xét :+ Đạo hàm của hàm số tại là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại+ Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại có phương trình là :* Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ Ta có : f ‘ (-1) = 3 và f (-1) = -1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = 3(x + 1) – 1 hay y = 3x + 24. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm :* Xét chuyển động của một chất điểm có quãng đường là một hàm số s= f(t) của thời gian t .Khi càng nhỏ thì tỉ số càng phản ánh chính xác độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm Giới hạn được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm Nhận xét : Vận tốc tức thời tại thời điểm của một chuyển động có phương trình s = s (t) bằng đạo hàm của hàm số s = s (t) tại điểm , tức là :5. Đạo hàm trên một khoảng :a. Khái niệm :1 . Hàm số y= f(x) được gọi là có đạo hàm trên J, nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc J .2 . Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f ’ xác. định bởi gọi là đạo hàm cảu hàm số f .* Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng .Giải:Với mọi x thuộc khoảng , ta có :Hàm số hằng y = c có đạo hàm trên R và y’ = 0Hàm số y = x có đạo hàm trên R và y’ = 1Hàm số có đạo hàm trên R vàHàm số có đạo hàm trên khoảng vàb.Đạo hàm của một số thường gặp :* Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm sốGiải: Với , ta có : Chú ý: Hàm số xác định tại x = 0 ,tuy nhiên nó không có đạo hàm tại x = 0.