Bài giảng Đại số 11 nâng cao - Bài 1: Biến cố và Xác suất của biến cố

Bài 1Biến cố và Xác suất của biến cốPhép thử và biến cốPhép thử ngẫu nhiên	Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử thường được lặp lại nhiều lần.	 	Phép thử và biến cốKhông gian mẫu (KG biến cố sơ cấp)	Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu .Mỗi kết quả của phép thử, , gọi là biến cố sơ cấp.Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố.Phép thử và biến cốCác ký hiệu	- : không gian mẫu.	- : biến cố sơ cấp	- A, B, C, : biến cố	- |A|: số phần tử của biến cố APhép thử và biến cốVí dụ	- Tung đồng xu	 ={S,N}; 1=“S”, 2=“N”	- Tung con xúc sắc	 ={1,, 6}	 i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,,6	- Đo chiều cao (đv: cm)	Quan hệ giữa các biến cốTổng 2 biến cố	Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A hoặc B.ABA + BQuan hệ giữa các biến cốTích của hai biến cố	Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu AB (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A và B.ABABQuan hệ giữa các biến cốBiến cố xung khắc	Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu AB=.	ABAB= Quan hệ giữa các biến cốBiến cố đối lập	Biến cố không xảy ra khi biến cố A xảy ra gọi là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu . Biến cố chắc chắn - . Biến cố không thể - .AQuan hệ giữa các biến cốVí dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất.	Không gian mẫu:  =[1,2,3,4,5,6]	Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”	 B = “ Xuất hiện mặt có số điểm ít nhất là 4”A = [2,4,6]; B=[4,5,6]Quan hệ giữa các biến cố  = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6]Biến cố đối lập:Biến cố tích:Biến cố tổng:Xác suất của biến cốXác suất	Khả năng một biến cố 	sẽ xảy ra. 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố AKhông thể xảy raChắc chắn xảy ra.510Định nghĩa theo quan điểm cổ điểnĐịnh nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển	Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu . Giả sử tất cả các kết quả trong  đều đồng khả năng xảy ra, thì xác suất xảy ra biến cố A	Định nghĩa theo quan điểm cổ điểnVí dụ	1. Tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất, tính xác suất xuất hiện mặt lẻ.	2. Một lớp học có 300 sinh viên trong đó có 80 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, tính xác suất chọn được sinh viên nữ.	2. Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất chọn được 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu xanh.Xác suất của biến cố - Định nghĩa theo quan điểm cổ điểnĐịnh nghĩa theo lối cổ điển có 2 nhược điểm sau:	- Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy ra.	- Không gian mẫu  phải hữu hạn.Định nghĩa theo quan điểm Thống kêĐịnh nghĩa theo quan điểm thống kê	Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu  và 	A  . Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là tần số suất hiện biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đó xác suất xảy ra A là	Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n.Định nghĩa theo quan điểm Thống kêVí dụ. Tung đồng xu.	Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2	Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2	Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng.	Người thí nghiệmSố lần tungSố lần sấpTần suấtBuffon404020480.5080Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005Định nghĩa theo quan điểm Hình họcĐịnh nghĩa theo quan điểm hình học	Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A   được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A	Định nghĩa theo quan điểm Hình họcVí dụ. (Bài toán tàu cập bến)	Hai tàu thủy cập bến 1 cách độc lập nhau trong một ngày đêm. Biết rằng thời gian tàu thứ nhất đỗ lại ở cảng để bốc hàng là 4 giờ, của tàu thứ hai là 6 giờ. Tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến.Định nghĩa theo quan điểm Hình họcVí dụ. (Bài toán tàu cập bến)	x (giờ): thời điểm tàu thứ nhất cập bến. 	y (giờ): thời điểm tàu thứ hai cập bến.	A = “Một trong hai tàu phải chờ cập bến”	Nếu tàu 1 cập bến trước thì tàu 2 phải chờ	y – x  4	Nếu tàu 2 cập bến trước thì tàu 1 phải chờ	x – y  6	Vậy A xảy ra khi -4  x – y  6, thể hiện ở miền gạch chéo	Vậy Tính chất cơ bản của xác suất	1.  A  :	2. Xét A  , i là các biến cố sơ cấp 	3.	4. Công thức cộng xác suấtVí dụ. 	Một bộ bài tây có 52 lá, rút ngẫu nhiên 1 lá	♥ ♣ ♦ ♠	Đặt:	A = “Rút được con át”	B = “Rút được lá đỏ”Công thức cộng xác suấtP(“Đỏ” + “Át”) = P(“Đỏ”) + P(“Át”) - P(“Đỏ” ∩ “Át”) = 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52Phần dư khi giao 2 biến cốĐenMàuLoạiĐỏTổngÁt224Khác242448Tổng262652Công thức xác suất điều kiệnXác suất có điều kiện là xác suất xảy ra một biến cố, cho trước một biến cố khác đã xảy ra	Xác suất xảy ra A với điều kiện B đã xảy raXác suất xảy ra B với điều kiện A đã xảy ra Công thức xác suất điều kiệnVí dụ. Khảo sát các xe ô-tô trong thành phố, thấy có 70% có hệ thống điều hòa (AC) và 40% có máy chơi nhạc (CD). 20% có cả điều hòa và máy chơi nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 xe ô-tô, biết đã chọn được xe có máy điều hòa, hỏi xác suất xe đó có máy chơi nhạc là bao nhiêu?Gọi:AC = “Chọn được xe có điều hòa”CD = “Chọn được xe có dàn CD”Yêu cầu đề bài: Tính P(CD|AC)?Công thức xác suất điều kiệnKhông CDCDTổngAC.2.5.7Không AC.2.1.3Tổng.4.61.070% có điều hòa40% có dàn CD20% có điều hòa + CDCông thức xác suất điều kiệnKhông CDCDTổngAC.2.5.7Không AC.2.1.3Tổng.4.61.0Cho trước AC, ta chỉ cần xét 70% xe có điều hòa. Do đó, 20% số xe có dàn CD. 20% of 70% sẽ là 28.57%.Công thức nhân xác suấtCông thức nhân xác suất cho hai biến cố A và BTa cũng cóCông thức nhân xác suấtCông thức nhân xác suất cho n biến cố A1,A2,,AnCông thức nhân xác suấtVí dụ	P(“Át” ∩“Đỏ") = P(“Át”)P(“Đỏ”|“Át”) 	 Công thức nhân xác suấtVí dụ	Một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm kém chất lượng. Một khách hàng trước khi mua lô hàng chọn cách kiểm tra sau: chọn ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 4 sản phẩm.Nếu thấy có bất kỳ sản phẩm kém chất lượng nào thì loại lô hàng. Tính xác suất khách hàng chấp nhận lô hàng.	Sự độc lập giữa các biến cốHai biến cố A và B gọi là độc lập khi và chỉ khi:Biến cố A độc lập với biến có B khi xác suất của biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kiaNếu A và B độc lập, thìSự độc lập giữa các biến cốVí dụ	Trong khảo sát về nội thất xe ô-tô trong thành phố, 70% xe có máy điều hòa (AC), 40% có máy chơi nhạc(CD), và 20% có cả hai.	Hỏi AC và CD có độc lập hay không?Sự độc lập giữa các biến cốKhông CDCDTổngAC.2.5.7Không AC.2.1.3Tổng.4.61.0P(AC ∩ CD) = 0.2P(AC) = 0.7P(CD) = 0.4P(AC)P(CD) = (0.7)(0.4) = 0.28P(AC ∩ CD) = 0.2≠ P(AC)P(CD) = 0.28Do đó hai biến cố AC và CD không độc lập.Sự độc lập giữa các biến cốVí dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất.	Không gian mẫu:  =[1,2,3,4,5,6]Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”	 B = “ Xuất hiện mặt có số điểm bé hơn 4”	 C = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 2 điểm”	 D = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 6 điểm”A = [2,4,6]; B=[1,2,3]; C=[1,2]; D=[1,6]Hãy kiểm tra tính độc lập của các biến cố A, B, C, D.Công thức xác suất đầy đủHệ đầy đủ các biến cố	Hệ A1,A2,,An gọi là hệ 	đầy đủ các biến cố nếu	A1A2A3A4Công thức xác suất đầy đủCho là hệ đầy đủ các biến cố, và B là một biến cố có liên quan đến hệ này. Xác suất xảy ra B Tổng quát, xét A1,A2,,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quanCông thức xác suất đầy đủCông thức xác suất đầy đủVí dụ	Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 3 phân xưởng sx có công suất làm ra bóng đèn như nhau. Biết rằng tỷ lệ bóng hư do từng phần xưởng làm ra tương ứng là 5%, 7% và 10%. Một khác hàng mua bóng đèn của nhà máy sản xuất. Tính xác suất khách hàng mua được bóng hư.Công thức BayesXét A1,A2,,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan.Công thức BayesCông thức BayesVí dụ	Một học sinh đi học từ nhà đến trường có thể đi bằng hai con đường khác nhau. Biết rằng nếu học sinh đi theo con đường A thì khả năng bị kẹt xe là 15% và bằng 20% nếu đi theo con đường B. Học sinh chọn ngẫu nhiên một con đường để đi. Biết rằng học sinh đã bị kẹt xe, hỏi xác suất học sinh đã đi con đường thứ nhất là bao nhiêu?Công thức BayesVí dụCó 10 thăm, trong đó có 4 thăm có thưởng. Sinhviên A bắt đầu tiên, B bắt sau. a) Hỏi có công bằng không ?b) Nếu B được thưởng, tính xác suất A đượcthưởng.