Bài giảng Đại số 11 nâng cao: Hàm số liên tục

Đối với các hàm số trên các em hãy (1)(2)(3)b) Nêu nhận xét đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = 1?f(1) NX đồ thị tại x = 1KL(1)(2)(3)yxo11M(P)xyo123M(d)yxo112y=xy=2(1)(2)(3)f(1) NX đồ thị tại x = 1KL(1)Đường liền nét H/s liên tục tại x = 1(2)Không liền nét tại x = 1)H/s ko liên tục tại x = 1(3)Không liền nét tại x = 1H/s ko liên tục tại x =1yxo11M(P)xyo123M(d)yxo112y=xy=2(1)(1)(2)(3)xyo123yxo112yxo11Đồ thị không là một đường liền nét tai x = 1Đồ thị không là một đường liền nét tại x = 1Đồ thị là một đường liền nét tại x = 1Hàm số liên tục tại x=1Hàm số không liên tục tại x=1Hàm số không liên tục tại x=1Theo các em thì hàm số phải thỏa mãn điều kiện gì thì liên tục tại x=1 ?Hàm số phải thỏa điều kiện)(lim1xfx®Hàm số xác định tại x = 1)(lim1xfx®Tồn tạiCác hàm số có tính chất giới hạn và giá trị của hàm số tại một điểm mà nó xác định là bằng nhau đóng một vai trò rất quan trọng trong giải tích và trong các nghành toán học khác. Người ta gọi đó là các hàm số liên tụcHÀM SỐ LIÊN TỤCDựa vào ví dụ vừa nêu các em hãy thử nêu định nghĩa khái niệmHàm số f(x) liên tục tại điểm x0Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0(a;b). 1.Hàm số liên tục tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0(a;b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếux0Ra) Định nghĩa:Nếu tại điểm x0 hàm số f(x) không liên tục thì nó được gọi là gián đoạn tại x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số.Dựa vào định nghĩa ,hãy nêu xét tính liên tục của hàm số tại một điểm thành từng bước NX: Xét tính liên tục của hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn (a;b) t¹i ®iÓm x0 Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một điểm x0 Bước 1: x0 € TXĐ; Tính f(x0)f(x0) không xác định f không liên tục tại x0f(x0) xác định tiếp tục bước 2Bước 2: Tìm Giới hạn không tồn tại f không liên tục tại x0Giới hạn tồn tại tiếp tục bước 3 Bước 3: So sánh Bằng nhau f liên tục tại x0 Không bằng nhau f không liên tục tại x0 và f(x0)Ví dụ 1:XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè:t¹i xo = 3Ví dụ 2:CMR hµm sè liªn tôc t¹i mäi ®iÓm xoXÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i ®iÓm x=0Ví dụ 3:VÝ dô 4 : XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sèb) Ví dụ:TX§: ,f(3) =VËy hµm sè liªn tôc t¹i xo = 3 3Ví dụ 1:Ví dụ 2:v× x0 €R nªn hµm sè liªn tôc t¹i mäi ®iÓmVí dụ 3:Hµm sè f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x=0 v× kh«ng tån t¹i Ví dụ 2:Ví dụ 3: VÝ dô 4: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sèTa cã2. Hàm số liên tục trên một khoảng , trên một đọan:Định nghĩa 1:Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy.Định nghĩa 2:Hàm số f(x) xác định trên đọan [a;b] được gọi là liên tục trên đọan đó, nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) vàLiên tục phải tại aLiên tục trái tại bKhái niệm h/s liên tục trên nửa khoảng: (a;b];[a;+ )được đ/n tương tự.NX: - Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó - XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f trªn mét kho¶ng J- Hµm sè f x¸c ®Þnh trªn [a;b] .XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f trªn [a;b] + XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f trªn kho¶ng (a;b) +Kết hợp đn h/số ltục tại 1 điểm và trên 1 khoảng cùng với đồ thị của h/s lt tại 1 điểm , ta có nx gì về đồ thị của h/sliên tục trên 1 khoảng? VÝ dô 2 : XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sèVÝ dô 3 :CMR hµm sèVÝ dô 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x2 trên (-2;2)Các vÝ dô VD1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x2 trên (-2;2)ta có:f(x0)=x02(1)và(2)Theo định nghĩa ta suy ra:f(x) liên tục trên (-2;2)VÝ dô 2 :XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sèTX§ : V× Ta cã Nªn hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n [-1;1] VÝ dô 3 :CMR hµm sè TX§ : V×: Ta cã Nªn hµm sè liªn tôc trªn §3.HÀM SỐ LIÊN TỤCI.Hàm số liên tục tại một điểm:f(x) liªn tôc t¹i xo nÕu: x0TËp x¸c ®ÞnhTån t¹iII. Hàm số liên tục trên một khoảng , trên một đọan:f(x) liên tục trên đọan [a;b] nếu:liªn tôc trªn khoảng (a;b) Câu 1: Cho hµm sè y =f(x) = 2.x2 + 3.x + 1. Ta cã:§iÒn nh÷ng d÷ kiÖn thÝch hîp vµo dÊu ...TX§: D = .........Víi mäi ,f(xo) = ..................f(xo) .....VËy hµm sè liªn tôc trªn .....Câu 2: Cho hµm sè Ta cã:TX§: D = .........Víi mäi ,f(xo) = ..................f(xo) .....VËy hµm sè liªn tôc trªn kho¶ng Hµm sè t¹i x = 1..................f(x) không liên tục tại x0 > gián đoạn tại x0 .-§3.HÀM SỐ LIÊN TỤCI.Hàm số liên tục tại một điểm:f(x) liªn tôc t¹i xo nÕu: x0TËp x¸c ®ÞnhTån t¹iII. Hàm số liên tục trên một khoảng , trên một đọan:f(x) liên tục trên đọan [a;b] nếu:liªn tôc trªn khoảng (a;b) Câu 1: Cho hµm sè y =f(x) = 2.x2 + 3.x + 1. Ta cã:§iÒn nh÷ng d÷ kiÖn thÝch hîp vµo dÊu ...TX§: D = .........Víi mäi ,f(xo) = ..................f(xo) .....VËy hµm sè liªn tôc trªn .....Câu 2: Cho hµm sè Ta cã:TX§: D = .........Víi mäi ,f(xo) = .........f(xo) .....VËy hµm sè liªn tôc trªn kho¶ng Hµm sè t¹i x = 1..................R=R.........gi¸n ®o¹n=f(x) không liên tục tại x0 > gián đoạn tại x0 .-NHẬN XÉT:NX 1:a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.NX 2:Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;b) Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.VÍ DỤ 4:Cho hàm số:với x ≠ 1với x = 1Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.Giải:Tập xác định của hàm số là R. Nếu x ≠ 1, thìĐây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-∞ ; 1) U (1 ; +∞).Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-∞ ; 1) và (1 ; +∞). Nếu x = 1, ta có h(1) = 5 vàVì ≠ h(1), nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 1. Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-∞ ; 1) và (1 ; +∞) và gián đoạn tại x = 1.Hoạt động: 	Cho hàm số y = f(x) liên tục [a;b] với f(a), f(b) trái dấu nhau.	Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a;b) không?) Hưng trả lời: “ Đồ thị hàm số y = f(x) phải cắt trục Ox tại một điểm duy nhất nằm trong (a;b)”. ) Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm trong khoảng (a;b)”.) Bạn Tuấn thì cho rằng: “ Đồ thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a;b), chẳng hạn như đường parabol như hình (hình 6).Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?abf(a)xf(b)y0y=x3-4xHình 50yxf(b)f(a)aby2=xHình 6abf(a)xf(b)y0y=x3-4xHình 50yxf(b)f(a)aby2=xHình 6ĐỊNH LÍ 1:Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] . Nếu f(a) f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b) ,tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao cho f(c) = M.abf(b)f(a)0yxHình 7Ý nghĩa hình học của định lí:McNếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và số thực M nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y= f(x) ít nhất tại một điểm c  (a;b) sao cho f(c) = M.HỆ QUẢ 1:Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] . Nếu f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao cho f(c) = 0.abf(b)f(a)0yxHình 7Ý nghĩa hình học của hệ quả :Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c (a;b). VÍ DỤ 5:Chứng minh rằng phương trình -2x3+6x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.Giải:Xét hàm số f(x) = -2x3 + 6x +1 Hàm số liên tục trên RCó f(-1)=-3, f(0)=1, f(2)=-3f(-1).f(0)<0; f(0).f(2)<0Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0), ít nhất một nghiệm thuộc (0;2).Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm) Nhận xét về cách làm bài trên của một học sinh:Xét hàm số f(x) = -2x3 + 6x +1 Hàm số liên tục trên RCó f(-1)=-3, f(0)=1, f(1)=5f(-1).f(0)<0; f(-1).f(1)<0Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0), ít nhất một nghiệm thuộc (-1;1).Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệmLƯU Ý: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất n nghiệm thì tìm các khoảng (a1;b1), (a2;b2), (an;bn) sao cho:	1. f(x) liên tục trên các khoảng trên 	2. (a1;b1)∩(a2;b2)∩ ∩(an;bn) = Ø	3. f(a1)f(b1) < 0; f(a2)f(b2) < 0..f(an)f(bn) < 0yxo12Minh họaMinh họayxo1y=xy=x2+1Ví dụ 2:Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0=0a)Tại điểm x0 = 1b)Ta có:f(0)=0(1)và:(2)(3)không tồn tạiTheo định nghĩa ta suy ra: f không liên tục tại x=0Ta có:và:(1)(2)Theo định nghĩa ta suy ra: f liên tục tại x=1Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó 2-24xy0Một số nhà toán học Bolzano  1781-1848 1789-1857Veierstrass1815-1897 Cha đẻ của GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI