Bài giảng Đại số 11: Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

BÀI 1SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCxy1. Tính tuần hoàn của hàm sốxx+Lx+2Lx+3Lf(x)f(x+2L)f(x+L)f(x+3L)(C): y=f(x)f(x)= f(x+L)= f(x+2L)= f(x+3L)= LLLxy1. Tính tuần hoàn của hàm sốxx+Lx+2Lx+3LĐịnh nghĩa:Cho hàm số y=f(x) xác dịnh trên tập D.Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu ta tìm được 1 số dương L sao cho với mọi xD ta có :1/ x ± L D2/ f(x ± L) = f(x)Số nhỏ nhất trong các số L thỏa 2 điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.f(x)f(x+2L)f(x+L)f(x+3L)(C): y=f(x)f(x)= f(x+L)= f(x+2L)= f(x+3L)= 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác* Hàm số y=sinx và y=cosx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T=2Chứng minh:định nghĩa hsố tuần hoàn ?Lấy số L=2.Miền xác định của hàm số y=sinx là RNhận xét : nếu xR thì x+2R và x-2R và :sin(x+2)= sinx và sin(x-2)= sinx , xRTa chứng minh số 2 là chu kỳ của nó: Giả sử số L thỏa điều kiện định nghĩa và : 0< L< 2.Suy ra : xR : sin(x± L) = sinxVới x= /2 ta có : sin(/2+L)=1 . Suy ra /2+L = /2+K2. Vậy L= k2 (kZ) (*) Nhưng vì 0<L<2 nên (*) không thể xảy ra được.Vậy số nhỏ nhất thỏa định nghĩa là T=2* Hàm số y=tgx và y=cotgx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T= Chứng minh: tương tự như đối với hàm số y=sinxChú ý rằng :3/ Đồ thị của hàm số tuần hoànTa vẽ đồ thị (C0) của hàm số trong 1 khoảng có độ dài bằng chu kỳ T, chẳng hạn đoạn [0;T]Gọi là vectơ có độ dài bằng T và cùng phương với OxLần lượt tịnh tiến liên tiếp (C0) theo vectơ ta được toàn bộ đồ thị của hàm số. xy(C0): y=f(x)4. Khảo sát các hàm số lượng giác4.1. Hàm số y=sinxVì hàm số y =sinx tuần hoàn và có chu kỳ T=2 nên ta chỉ cầân khảo sát nó trên đoạn [0;2]x0 /2  3/2 2 y010-10yx1-1xR: sin(-x)= -sinx : hàm số sin là 1 hàm số lẻyx1-14.2. Hàm số y=cosx (tương tự)Vì hàm số y =cosx tuần hoàn và có chu kỳ T=2 nên ta chỉ cầân khảo sát nó trên đoạn [-/2 ; 3/2] x-/2 0 /2  3/2 y010-10xR: cos(-x)= cosx : hàm số cos là 1 hàm số chẵn4.3 Hàm số y=tgxHàm số y=tgx xác định với mọi x :Vì hàm số tang là 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=. Do đó ta chỉ cần khảo sát nó trên 1 khoảng có chiều dài bằng T, chẳng hạn khoảng (-/2 ; /2) x-/2 0 /2 y0x/2+k: tg(-x)= -tgx : hàm số tang là 1 hàm số lẻĐồ thị hàm số y = tgxxy4.4 Hàm số y=cotgx Hàm số y=cotgx xác định với mọi x :và là 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=. Do đó ta chỉ cần khảo sát nó trên 1 khoảng có chiều dài bằng T, chẳng hạn khoảng (0; ) x0 /2  y0xk :cotg(-x)= -cotgx : hàm số cotang là 1 hàm số lẻĐồ thị hàm số y=cotgxxy