Bài giảng Đại số 11 - Tiết 41 Bài 3: Cấp số cộng

Bài 3.CẤP SỐ CỘNGTRƯỜNG THPT TRÙNG KHÁNHTIẾT 41Câu hỏi mở đầu?Biết bốn số hạng đầu tiên của một dãy số là -1, 3, 7, 11. Hãy chỉ ra quy luật của dãy số trên và viết tiếp năm số hạng của dãy số đó ?Quy luật của dãy số trên là : 3= -1+4; 7= 3+4; 11=7+4 .Năm số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là :15, 19, 23, 27, 31.TRẢ LỜI§3. CẤP SỐ CỘNGI. ĐỊNH NGHĨACấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). Nếu (un ) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi :Ví dụ: Cấp số cộng 3,3,3,3,3 với u1 = 3, d=0§3. CẤP SỐ CỘNGI. ĐỊNH NGHĨAHĐ1: Em hãy cho một ví dụ về cấp số cộng ?HĐ2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu dãy số là CSC hãy chỉ ra u1 và công sai d?A. -3, -2, -1, 0, 2, 4,B. - 2, 0, 2, 4, 6, 8.C. 2,7; 2,7; 2,7; 2,7; Không phải là cấp số cộngLà CSC với u1= -2 và d= 2Là CSC với u1= 2,7 và d= 0§3. CẤP SỐ CỘNGI. ĐỊNH NGHĨATheo định nghĩa, (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có:u1= u1u2= u1+ du3= u2+ d= u1+ d+ d= u1+ 2.du4= u3+ d = u1+ 2.d+ d= u1+ 3.du5= u4+ d = u1+ 3.d+ d= u1+ 4.du6= u5+ d= u1+ 4.d+ d= u1+ 5.dun= u1+?. d§3 CẤP SỐ CỘNGII. SỐ HẠNG TỔNG QUÁTĐỊNH LÍ 1Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức :§3. CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÍ 1Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức :II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁTCHỨNG MINHSử dụng phương pháp quy nạp :Khi n = 2 thì u2=u1+d (đúng).Giả sử công thức (2) đúng với n = k >=2, tức là uk = u1 + (k-1)d.Ta chứng minh (2) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh : uk+1 = u1+ kd. ta có : uk+1 =uk+d ( định nghĩa cấp số cộng ) uk+1 = u1 + (k-1)d + d ( theo gt quy nạp ) uk+1 = u1 + kd -d + d uk+1 = u1 + kd ( điều phải chứng minh )Vậy : un = u1 +(n-1)d với 1taàng2 taàng3 taàngU1=U2=U3=3?7?11?100 taàngU100=?Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện như sau: Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?Qua định lý 1 vừa học ta tính số que diêm của tầng đế( tức là tính u100 ).Tóm tắt :Với u1= 3 và d = 4 . Tính u100 ?Đáp số: u100 = 3 + (100-1).4 = 399 (que diêm)§3 CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÍ 1II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁTVÍ DỤ 2: Cho cấp số cộng (un ), biết u1= - 5, d = 3. a) Tìm u20. b) Số 121 là số hạng thứ bao nhiêu? c) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trên trục số . Nhận xét vị trí của mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kề.a) u20 = -5 +(20-1).3 = 52b) un = -5 +(n-1).3 121 = -5 +(n-1).3 121 = -5 +3n -3 129 = 3n 	 n = 43GIẢIc)u1u2u3u5u4-5-2147u4 là trung điểm của đoạn u3u5 hay tương tự với u3 và u2§3 CẤP SỐ CỘNGIII. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :ĐỊNH LÍ 2 :Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là CHỨNG MINH : Giả sử (un) là cấp số cộng với d là công sai Theo định nghĩa cấp số cộng :	 uk-1 = uk – d (I)	 uk+1 = uk+ d (II)Cộng (I) với (II): uk-1+ uk+1 = 2uk§3 CẤP SỐ CỘNGIII. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÝ 2Trong cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là VÍ DỤ 3:Cho cấp số cộng hữu hạn gồm 4 số hạng : 3 ; x ; -5 ; -9. Hãy tìm x.GIẢIÁp dụng định lý 2 : x = [3 + (-5)]:2 = -1. Vậy x = -1Ngoài ra ta có thể giải bằng cách khác : Công sai d = -9 – (-5) = -4 => x = 3 + (-4) = -1 §3 CẤP SỐ CỘNGIV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :ĐẶT VẤN ĐỀ: Cho cấp số cộng 1;2;3;4;5;...;98;99;100. Tính : 	Sn= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+...+ 98+ 99+ 100 NHẬN XÉT:1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+1001+100=1012+99=1013+98=1014+97=1015+96=101KẾT LUẬN : Từ 1 đến 100 có 50 cặp, mà mỗi cặp có tổng bằng 101 nên:số hạng đầu:u1số hạng cuối :unsố cặp:=> Tổng quát :Sn = ?§3 CẤP SỐ CỘNGIV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÍ 3Cho cấp cộng (un) . Đặt Sn = u1 + u2 +u3 +...+un. Khi đó :(4)CHÚ Ý : Thay un = u1 +(n-1)d vào (1) ta có : (4’)Lưu ý : Công thức (4) sử dụng khi biết n, u1, un Công thức (4’) sử dụng khi biết n, u1, dTuỳ theo điều kiện đề bài mà ta sử dụng hợp lý §3 CẤP SỐ CỘNGIV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG(4)(4’) VÍ DỤ 4 : Cho cấp số cộng (un) có 10 số hạng, biết u1 = 3 và d = 5. Tính S10GIẢI Áp dụng công thức (4’) với n=10, u1=3 và d = 5 Néi dung bµi d¹y :I. Định nghĩa cấp số cộng: SGK§3. CÊp sè céng* d = 0 th× CSC lµ mét d·y sè ko ®æi.!II. Sè h¹ng tæng qu¸t§Þnh lÝ 1: SGK§Þnh lÝ 2: SGKIII. TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña CSC. IV. Tæng n sè h¹ng ®Çu cña mét CSC §Þnh lý 3 : Ai nhanh nhất?Bài 1: Cho CSC (un) biÕt u1 = 2; u2 = - 3. H·y chän kÕt qu¶ ®óng?A. u5 = 18C. u5 = 22B. u5 = -18D. u5 = -2BNéi dung bµi d¹y :I. Định nghĩa cấp số cộng: SGK§3. CÊp sè céng* d = 0 th× CSC lµ mét d·y sè ko ®æi.!II. Sè h¹ng tæng qu¸t§Þnh lÝ 1: SGK§Þnh lÝ 2: SGKIII. TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña CSC. IV. Tæng n sè h¹ng ®Çu cña mét CSC §Þnh lý 3 : Ai nhanh nhất?Bµi 2: Cho CSC (un), biÕt: u1 = -3; u5 = 9 . a. X¸c ®Þnh c«ng sai cña CSC ®ã? b. TÝnh: u15 = ?; S30 = ? c. Sè 36 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu cña CSC trªn? d. T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña CSC ®ã?KQ: d = 3. Vì 9= - 3+ 4.dKQ: u15 = 39 S30 = 1215KQ: n = 14Sè 36 lµ sè h¹ng thø 14 cña CSC ®· cho.KQ: un = 3n - 6Néi dung bµi d¹y :I. Định nghĩa cấp số cộng: SGK§3. CÊp sè céng* d = 0 th× CSC lµ mét d·y sè ko ®æi.!II. Sè h¹ng tæng qu¸t§Þnh lÝ 1: SGK§Þnh lÝ 2: SGKIII. TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña CSC. IV. Tæng n sè h¹ng ®Çu cña mét CSC §Þnh lý 3 : Củng cố bài học3. Bạn Lan phát biểu :” theo định nghĩa cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng bằng số liền trước cộng với một số không đổi .Vậy cấp số cộng luôn là một dãy số tăng”. Theo em phát biểu trên đúng hay sai ? Vì sao ?4. Cho cấp số cộng có u1 = 1011, d = 200. Tính u6 ?. Kết quả bài toán này có liên quan đến ngày kỉ niệm nào trong năm ?HD: u6 = 1011 + 5.200 = 2011 Néi dung bµi d¹y :I. Định nghĩa cấp số cộng: SGK§3. CÊp sè céng* d = 0 th× CSC lµ mét d·y sè ko ®æi.!II. Sè h¹ng tæng qu¸t§Þnh lÝ 1: SGK§Þnh lÝ 2: SGKIII. TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña CSC. IV. Tæng n sè h¹ng ®Çu cña mét CSC §Þnh lý 3 : Củng cố bài học5. Cho cấp số cộng (un) biết: 	 u1=5, d=4 a. Tính S20b. Tìm n biết Sn=230Giải+HỌC THUỘC CÁC CÔNGTHỨC+LÀM CÁC BÀI TẬP 1 ĐẾN 5 TRANG 97 VÀ 98Dặn dò:Chaøo taïm bieätCảm ơn quý thầy cô và các em học sinh!