Bài giảng Đại số và Giải tích 11: Cấp số nhân

NhiÖt liÖt chµo Mõng c¸c thÇy c« gi¸o vÒ tham dù héi gi¶ngBµI D¹Y: CÊp sè nh©n.CẤP SỐ NHÂNGiáo viên: Uông Tuấn AnhTổ: Toán – Tin Trường THPT Thái NinhVÍ DỤ MỞ ĐẦUCho hai dãy số sau:1, Dãy hữu hạn: 1, – 2, 4, – 8, 16, – 32, 64.2, Dãy vô hạn: 3, 9, 27, , 3n,Tìm quy luật của hai dãy số trên ?Trả lời:Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số – 2.Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số 3.Dãy số thứ nhất: 1, – 2, 4, – 8, 16, – 32, 64.Tính chất chungDãy số thứ hai: 3, 9, 27, , 3n, Hai dãy số trên được gọi là các cấp số nhânKể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số không đổi q.I.Định nghĩa.	Cấp số nhân (CSN) là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:(un) là cấp số nhân  un +1 = un.q (*) với n  N*q: gọi là công bội. Công thức (*) là công thức truy hồi. 1.Định nghĩa.Nhận xét	- Cấp số nhân hoàn toàn xác định khi biết phần tử u1 và q.- Nếu q = 0 thì cấp số nhân có dạng:- Nếu q = 1 thì cấp số nhân có dạng:u1, 0, 0,, 0, 0,u1, u1, u1,, u1,- Nếu u1 = 0 thì cấp số nhân có dạng:0, 0, 0,, 0, 0, với mọi q.(un) là cấp số nhân  un +1 = un.q (*) với n  N*Ví dụ 1.Cho cấp số nhân có u1= – 3 và q = – 2Tính các phần tử u4, u6 ?Lời giải.Đáp ánBắt đầu012345678910 Tìm dãy số lập thành cấp số nhânVí dụ 2A. 2, – 4, 8, 16, – 32, 64B. 4, 0, 0, 0, ,0,C. 0, 3, 0, 0,, 0,. D. Đáp án: B (q=0), D(q=1/3)?11?36u1 = u1u2 = u1.qu3 = u2.qun - 1 = un - 2.qun = un - 1.qNhân vế với vế và rút gọn?un = u1.qn – 12.Số hạng tổng quát.Định lý:Cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì:	un = u1.qn – 1 với n ≥ 2Ví dụ 1:Cho cấp số nhân có: a. Tìm u5 ?Lời giảib. Hỏi là số hạng thứ mấy ?a.2.Số hạng tổng quát.Định lý:Cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì:	un = u1.qn – 1 với n ≥ 2Ví dụ 1:Cho cấp số nhân có: Bài giảib. Hỏi là số hạng thứ mấy ?b. Ta có:2.Số hạng tổng quát.Định lý:un = u1.qn – 1 với n ≥ 2Ví dụ 2: Dân số Thái Bình năm 2014: 1,5 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số là: 1,2%.	Dân số Thái Bình sau: 50 năm nữa là bao nhiêu?Đặt vấn đềGọi số dân Thái Bình năm 2014 là U1 = 1,5 triệu ngườiNăm 2015 số dân là U2 = U1 + U1.0,012 = U1.(1,012) (triệu)Năm 2016 số dân là U3 = U2 + U2.0,012 = U2.(1,012) (triệu)Năm 2017 số dân là U4 = U3.(1,012) (triệu) Số dân ở các năm liên tiếp tương ứng là các số hạng trong dãy số, tìm U1, U2, U3, ?2.Số hạng tổng quát.Định lý:un = u1.qn – 1 với n ≥ 2Ví dụ 2: Dân số Thái Bình năm 2014: 1,5 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số là: 1,2%.	Dân số Thái Bình sau: 50 năm nữa là bao nhiêu?Bài giải Số dân năm thứ n là: Un + 1 Số dân ở các năm liên tiếp tương ứng là các số hạng trong dãy số tạo thành cấp số nhân có U1 = 1,5 tr và công bội q = 1,012. Vậy sau 50 năm số dân là: U51 = U1.q50 = 1,5.(1,012)50 U512,7 (triệu người).Cho một cấp số nhân (un) có công bội q. Hãy viết số hạng uk–1, uk+1 (k ≥ 2) theo u1 và công bội q ?Trả lờiTa có: uk–1 = u1.qk–2, uk+1 = u1.qkVậy: Với mọi k ≥ 23. Tính chất các số hạng của cấp số nhâna. Định lí.Cho CSN (un), ta có:b. Ví dụ.1. Cho CSN (un) với q > 0 và có u3= 7, u5 = 9.Tìm u4, u6 ?Lời giải.2. Có tồn tại hay không một CSN có u2013= – 3; u2015= 34 ?Lời giải.Do q > 0  u4 > 0, u6 > 0.Không áp dụng cho số hạng cuối cùng của CSN hữu hạnCho CSN (un) công bội q. Đặt: Sn= u1+ u2 + + un–1 + un (*)Nhân hai vế với q ≠ 0. Ta được:q.Sn= u1.q+ u2.q + + un–1.q + un.q = u2+ u3 + + un + un.q (**)Lấy (*) – (**). Ta được:(1 – q).Sn= u1 – un.q = u1 – u1.qn = u1(1 – qn)Với q ≠ 1. Ta được:a. Định lý. Chú ý:1. Cho CSN có: u1 = 5, q = 2. Tính S10.4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhânCho CSN (un) công bội q ≠ 1. Thì:b. Ví dụ.Lời giải.a. Định lý. 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhânCho CSN (un) công bội q ≠ 1. Thì:b. Ví dụ.Lời giải.2. Tính tổngBTCCBT - THOCBTVNBài toán 1.Một ngân hàng quy định việc gửi tiền tiết kiệm theo kì hạn như sau: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút thì toàn bộ số tiền (cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn mà người gửi đã gửi”. Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng với lãi suất kì hạn này là 0,4%.1. Nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến rút tiền thì số tiền rút được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu ?2. Với câu hỏi như trên, với giả thiết 1 năm sau người gửi mới đến rút tiền.?Giải.Nếu người gửi a đồng, thì sau một tháng người đó thu được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu?Số tiền của người đó sau một tháng bằng tổng tiền gốc và tiền lãi, do đó có:a + a.0,004 = a.1,004 (đồng)Đặt un là số tiền rút ra sau n tháng.Khi đó (un) là CSN với công bội q =1,004u1 =107.1,004 (đồng)  un= u1.qn –1=107.1,004.(1,004)n –1 ,n ≥ 2.Sau 6 tháng, số tiền là:u6 = u1.q5 =107.1,004.(1,004)5 = 10243473 (đồng)Sau 12 tháng, số tiền là:u12 = u1.q11 = 107.1,004.(1,004)11=10490721(đồng)BTVNBTCCBài toán 2.(Vua Ấn Độ không đủ thóc để trả cho người phát minh bàn cờ vua)Tục truyền vua Ấn Độ cho phép người phát minh bàn cờ vua được chọn một phần thưởng. Người đó xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ: ô thứ nhất 1 hạt thóc, ô thứ 2 hai hạt cứ như vậy số thóc ở ô sau gấp đôi số thóc của ô trước cho đến ô cuối cùng. Hãy tính số hạt thóc để rải kín các ô bàn cờ?Giải.Số hạt thóc để làm phần thưởng chính là tổng 64 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với u1 = 1, q = 2.	S64 = 264 – 1.	Cứ cho rằng 1000 hạt thóc nặng 20g thì khối lượng thóc là 369 tỉ tấn.	Nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt trái đất thì sẽ được 1 lớp thóc dày 9mm. Hỏi nhà vua làm sao có được lượng thóc khổng lồ như vậy.BTCCBTVNChọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:1. Mỗi CSN có u1 > 0 và 0 0 và q > 1 là một dãy số:.A. TăngB. GiảmC. Không tăng, không giảm3. Mỗi CSN q > 1 là một dãy số giảm khi:A. u1 > 0B. u1 < 0C. u1= 0BÀI TẬP CỦNG CỐbµi tËp vÒ nhµGhi nhớ định nghĩa, tính chất trong bài học2. Làm hoàn chỉnh các bài tập 1 - 6 SGK.a. Định lý. 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhânCho CSN (un) công bội q ≠ 1. Thì:b. Ví dụ.Lời giải.2. Tính tổnga. Định lý. 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhânCho CSN (un) công bội q ≠ 1. Thì:b. Ví dụ.Lời giải.2. Tính tổng