Bài giảng Đại số và Giải tích 11 tiết 29: Phương pháp quy nạp toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCBài 1-Tiết 29Daklak *ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH1./ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:Với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 thì P(n) , Q(n) đúng hay sai?Xét hai mệnh đề chứa biếnvàvới n N*Với mọi n N* thì P(n) , Q(n) đúng hay sai?Hoạt động mở đầuPhương pháp chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên như sau:Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp) ,chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1	Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp Hoạt động nhómBắt đầuTính:1 + 3 =1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n – 1) = Hoạt động 1:Kết quả HĐ1:Quan sát , rút ra qui luậtDự đoán?Cho An = 13n – 1 Khi A1 , A2 , A3 , A4 có chia hết cho 6 không?Dự đoán An có chia hết cho 6 với mọi n  N* không?Hoạt động 2:A1 = 131 – 1 chia hết cho 6A2 = 132– 1 chia hết cho 6A3 = 133 – 1 chia hết cho 6A4 = 134 – 1 chia hết cho 6..Dự đoán: An = 13n – 1 có chia hết cho 6 hay không?Kết quả HĐ 2:Dự đoán?a2 – b2 = a3 – b3 = a4 – b4 = 	.	 Dự đoán: an – bn = với n N* và n ≥ 2Hoạt động 3:Viết các hằng đẳng thức saua2 – b2 = (a – b)(a + b)a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)a4 – b4 = (a2 – b2)(a2 + b2)	 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)	 = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3)Dự đoán: an – bn =Kết quả HĐ 3:Dự đoán?Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 thì:Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: chia hết cho 6Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:Nhóm 2Nhóm 3Nhóm12. VÍ DỤ ÁP DỤNG:Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 1,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúngBước 2: Đặt vế trái bằng SnTa chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:Lời giải ví dụ 1:Thật vậy ,ta có:Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N* Bước 1: Khi n = 1ĐặtBước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :Vậy hệ thức (2) đúngTa chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là:Lời giải ví dụ 2:Thật vậy ,ta có:Vậy đẳng thức (2) đúngVì:nênKhi n = 2 , vế trái bằng vế phải bằng Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k ≥ 1.Tức là: Vậy đẳng thức (3) đúng khi n = 2Lời giải ví dụ 3:Ta phải chứng minh (3) cũng đúng với n = k + 1, tức là:Thật vậy ,ta có:Vậy đẳng thức (3) đúngCủng cố:Quan sátDự đoán:Bài tập - Tiết 30Kiểm tra bài cũHãy nêu phương pháp chứng minh quy nạp toán học ?Phương pháp chứng minh quy nạp toán học thực hiện như sau:Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp) ,chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1	Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp Chứng minh rằng với nN* ta có đẳng thức:Bài tập 1:Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 12 ,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúngBước 2: Đặt vế trái bằng SnGiả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:Lời giải bài tập 1:Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:Thật vậy ,ta có:Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N*Chứng minh rằng với n  N* , ta có :chia hết cho 3Bài tập 2:Bước 1: Khi n = 1ĐặtBước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :Vậy hệ thức (2) đúngTa chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là:Lời giải bài tập 2:Thật vậy ,ta có:Vậy đẳng thức (2) đúngVì:nênChứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức sau:Bài tập 3:Bước 1: Khi n = 2, vế trái bằng 9,vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức (3) đúngTa chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:Bước 2:Lời giải bài tập 3:Thật vậy ,ta có:Vậy đẳng thức (3) đúng với mọi n N* đúng với mọi k ≥ 2Cho tổng:với n  N*a. Tính S1, S2 , S3b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.Bài tập 4:Phân tích:Dự đoán:Lời giải bài tập 4:Củng cố và bài tập về nhà:Chứng minh rằng với mọi n  N* ta có:2 + 4 + 6 + + 2n = n(n +1) a.b.c.Cảm ơn quý thầy cô