Bài giảng Giải tích 12 - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

TRƯỜNG THPT TÂN BÌNHGv thực hiện: Trần Thanh ViệtChào mừng quý thầy cô đến dự tiết học hôm nay1/ Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi : đths y = f(x) 0 liên tục trên [a;b], Ox, x = a, x = b. S = F(b) – F(a)(Với F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b])2/ Nhắc lại công thức Niutơn-Laipnit (Định nghĩa tích phân xác đinh) baf(x).dx= F(b) – F(a)= F(x)|aby = f(x)abOyx S = ba f(x).dxBÀI CŨVậy:Nếu hàm số y = f(x) liên tục, y = f(x) 0 trên [a;b], thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x = b được tính như thế nào?. Hình vẽ 1TH1: f(x)≥0 trên đoạn [a;b]:TH2: f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] :TÓM LẠI:Vậy:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = bBài 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌCaby=f(x)XyO(1) 1/ Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a; b], hai ñöôøng thaúng x = a, x = b vaø Ox laø: I) Diện tích của hình phẳng: Bài 3:ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC S = ba |f(x)|.dxChú ý 1: Khi áp dụng công thức (1) ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân bằng cách xét dấu biểu thức f(x):- Giải phương trình f(x) = 0 tìm các nghiệm trên [a; b]. Lập bảng xét dấu (nếu cần) - Khử dấu giá trị tuyệt đốiVí duï 1: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y= sinx , treân ñoaïn [0;2] vaøOx xyO2 Ta coù: Vậy S =0 sinx.dx sinx.dx-2= -cosx|0+ cosx|2= 4 (ñ.v.d.t)x0 y=sinx0 + 0 - 0BXD: Diện tích của hình phẳng cần tìm là: S = 20 |sinx|.dxVí dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị h/s , trục hoành và 2 đường thẳng x = -2 , x=1Lời giảiHình vẽ 2Diện tích hình phẳng cần tìm là:2/ Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa hai haøm soá y = f(x), y = g(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø hai ñöôøng thaúng x = a; x = b ñöôïc tính theo coâng thöùc: I) Diện tích của hình phẳng: (2) S = ba |f(x)- g(x)|.dxy = f(x)y = g(x)O a bxy- Giải phương trình f(x) – g(x) = 0  tìm các nghiệm trên [a; b], giả sử có n nghiệm x1, x2, , xn thuộc [a; b] , (x1< x2< < xn ) áp dụng: Chú ý 2: Khi áp dụng công thức (2) ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân bằng cách:Ví duï 3: 	 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau: y = x3 -3x và y = x Giaûi : 	Xeùt PT hñoä gñieåm: x3 - 4x = 0 x3 -3x = x x= 0 x= 2 x= -2 Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S= |x3- 4x|.dx2-2 (x3- 4x)dx=0-2||+0 (x3- 4x)dx||2 =-2x2)4x4|(|0-2| +-2x2)4x4|(|20| = |- 4+8 | + | 4-8 | = 8 (ñ.v.d.t)Hình vẽ 3 * Chuù yù 3: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi nhieàu ñöôøng thì chia dieän tích ra nhieàu vuøng nhoû roài söû duïng coâng thöùc (2) y = f(x)y = g(x)y = h(x)Ví dụ:S1S2Ví dụ 4: Tính dthp giới hạn bởi: Đồ thị h/s , trục hoành và đường thẳng y=-x+2Lời giảiII) Theå tích của caùc vaät theå: 1/ Coâng thöùc tính theå tích của một vật thểHình vẽ 4Cắt vật thể bởi hai mặt phẳng và vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b dựng mặt phẳng Vuông góc với với trục Ox tại x cắt vật thể theo thiết diện là S(x), giả sử S(x) là một hàm số liên tục trên [a; b]Khi đó: Thể tích của vật thể là:(3)Ví dụ 5 : Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.S(x)=BhxOxGiải: Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x=0 và x=h. Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi S(x)=B; (0< x <h).Áp dụng CT (1) ta có: 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt xOBS(x)hxa) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp đó.Ta có:Xét phép vị tự: Ab) Từ công thức và cách tính thể tích khối chóp, hãy xác định công thức tính thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B’, B và chiều cao bằng hTa có:OBBxNMabOM=a; ON=b (a<b); MN=h,SVới f(x) là một hàm xđ và liên tục trên [a; b]III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox - Quay hình (H) quanh trục Ox thì tạo thành một vật thể tròn xoay T.- Thiết diện của vật thể T, với mp vuông góc với Ox tại điểm x, là một hình tròn bán kính R = f(x)Diện tích thiết diện: S(x) = .f2(x) Thể tích V của vật thể:Vậy:Hình vẽ 51. Hình(4)Ví duï 6: 1. Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi hình phẳng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y= sinx với trục Ox, treân ñoaïn [0;] quay quanh Ox. Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là: sin2xdx0= 0dx2cos2x-1V =|0(x - )2sin2x=2π= (ñ.v.t.t)2 2Hình vẽ 6.1Lời giải2. Tính thể tích giữa y= x2-4x quay quanh Ox, với 1  x  4()∫41234 dxx16+x8-x=π()∫4122dxx4-x=Vπ(ñ.v.t.t)Ví duï 6: Lời giảiHình vẽ 6.2Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là:Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên [a,b] thì thể tích của vật thể được tính bởi công thức:Với f(x), g(x) là 2 hàm số xđ và liên tục trên [a; b]III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox 2. HìnhHình vẽ 7Cho hình phẳngVí duï 7: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục OxLời giảiIII) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox 3. HìnhHình vẽ 8Chẳng hạn các hàm số y=f(x), y=g(x), y=h(x) có đồ thị như hình vẽ:IV) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Oy Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Oy là:Hình vẽ 9HìnhĐọc thêm SGK – nâng caoCỦNG CỐƯNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG (H) TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY SINH RA KHI QUAY (H) QUANH TRỤC Ox (H) giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b(H) giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b(H) giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b(H) giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b, (nếu f(x)-g(x) không đổi dấu trên [a; b]) Mở rộng: Nếu (H) là hình phẳng gới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta chia (H) thành nhiều hình nhỏ rồi áp dụng công thức (2)(1)(2)(3)(4)Ngoài ra trong chương trình nâng cao còn gặp dạng toán tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục OyKínhChúcSứcKhỏeXin cảm ơn quý Thầy cô đến dự