Bài giảng Giải tích 12 nâng cao - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Chương III Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụngỨng dụng của tích phân trong hình họcGiải tích 12Biên soạn : ************************clickBài 3 I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = - 2x - 1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 , x = 5 . So sánh với kết quả diện tích thang vuông trong bài 2clickGiải :Vẽ hình biễu diễnOxy15- 3-1y = - 2x - 1- 11Tính diện tích S của hình thang vuôngS(đvdt) So với kết quả trong bài 2 nó giống nhau . 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành :Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm trên đoạn [a ; b] . OxyabABĐược biết cách tính diện tích hình thang cong y = f(x) ; trục hoành và x = a , x = b Trường hợp f (x) âm trên đoạn [a ; b] Thì - f(x) > 0 và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong B’A’aA’B’b là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành . Do đó : STrường hợp tổng quát : Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên)Oxyaby = f(x) Được tính theo công thức : clickVí dụ 1 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = 2 Giải :Oxy-112Ta có x 3 < 0 trên đoạn [- 1 ; 0]y = x3 x 3 ≥ 0 trên đoạn [ 0 ; 2 ]Áp dụng công thức có : click2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong :Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường x = a ; x = b . Oxyaby = f1(x)y = f2(x)DXét trường hợp f1(x) ≥ f2(x) với mọi x  [a ; b] Gọi S1 , S2 là diện tích hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành , x = a , x = b và các đường cong y = f1(x) , y = f2(x) tương ứng . Khi đó diện tích D sẽ là : trường hợp tổng quát và có Chú ý : Khi áp dụng công thức (4) , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân . Ta phải giải phương trình : f1(x) – f2(x) trên đoạn [a ; b] . Giả sử có 2 nghiệm c < d . Khi đó f1(x) – f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b]. Ví dụ trên [a ; c] thì :clickVí dụ 2 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x ; y = sin x , và hai đường thẳng x = 0 , x =  . Giải :Oxy1-1y = sin xy = cos xĐặt f1 (x) = cos x ; f2 (x) = sin xTa có : f1 (x) - f2 (x) = cosx - sin x = 0 Vậy diện tích hình phẳng đã cho là : clickVí dụ 3 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong y = x3 – x và y = x – x2Giải :Ta có : f1 (x) - f2 (x) = (x3 – x) – (x – x2 ) = 0 Vậy diện tích hình phẳng đã cho là : clickII - TÍNH THỂ TÍCH Nhắc lại công thức tính thể tích hình lăng trụ có diện tích đáy bằng B , đường cao h ?V = B h1. Thể tích của vật thể :Cho một vật thể (Hình vẽ) OxCắt vật thể bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b ( a < b) PQabMột mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a  x  b) , cắt hình đã cho theo thiết diện có diện tích S(x) . xS(x)Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ; b] Người ta đã chứng minh được : Thể tích V của phần vật thể trên giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức :clickVí dụ 4 :Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h .Giải :OxhChọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ , còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h . Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox .cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B ( S(x) = B với 0  x  h ) xS(x) = BÁp dụng công thức (5) có :click2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I BOxIsao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và hướng xác định bởi véc tơ hLúc đó OI = h Một mặt phẳng () vuông góc với Ox tại x ( 0  x  h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x) .xS(x)Ta có :Và thể tích V của khối chóp là :click2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy là B , B’ và đường cao h Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) tại điểm I . Mp đáy nhỏ (Q) tại I’ .BS  OxIĐặt đỉnh S trùng với O . OI = b ; OI’ = a ( a < b) hGọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có :QI’B’PVì :và h = b – a nên clickIII - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Bài toán :Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay .Oxyy = f(x)abHãy tính thể tích V của nó .Giải :Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x (a  x  b) là hình trònxcó bán kình : |f(x)|Nên diện tích thiết diện là : S(x) =  .f 2 (x)Vậy theo công thức (5) có :clickVí dụ 5 :Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x =  . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox .Giải :Oyy = sinxxxÁp dụng công thức (6) có :clickVí dụ 6 :Tính thể tích hình cầu bán kính R . Oyx- RRGiải :Hình cầu bán kính R là khối tròn thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường( - R  x  R ) , và đường thẳng y = 0 xung quanh trục Ox . Vậy clickVí dụ trắc nghiệm :a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = x3 và y = x5 bằng :A0B- 4C1/6D2b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = x + sin x và y = x với 0  x  2 bằng :A- 4B 4C0D1c) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng : A0B- CD/6clickBài tập về nhà :Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 121 sách giáo khoa GT 12 - 2008 Chào tạm biệt !