Bài giảng Giải tích 12 nâng cao - Bài 5: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Nhiệt liệt chào mừng các vị Đại biểu , các Thầy giáo, Cô giáo về dự “ Hội giảng thay sách giáo khoa lớp 12” năm học 2008 – 2009. Giáo viên Trần Thế ĐộKiểm tra bài cũCâu hỏi 1: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi:Đồ thị hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên [a; b]Đường y = 0 ( trục hoành)Hai đường thẳng x = a, x = bCâu hỏi 2: Tính tích phân sauĐặt vấn đềCâu hỏi 1: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] Đường y = 0 ( trục hoành) Hai đường thẳng x = a, x = bvà không âm?Bài 5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳngTH 1: f(x)≥0 trên đoạn [a;b]TH2: f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] => -f(x) ≥0 y = f(x) y = - f(x) y = f(x) liên tục trên [a;b] x = a , x = by = 0 (trục hoành)diện tích S được tính theo công thức : Tổng quát I. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:GHI NHỚ y = f(x) liên tục trên [a;b] y = 0 (trục hoành) x = a x = bDiện tích S của Hình phẳng giới hạn bởi các đường :được tính theo công thức(1)Ví dụ 1 (Nhóm 1)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2Áp dụngVí dụ 2 (Nhóm 2):Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 – x2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3 y = f(x) liên tục trên [a;b] y = 0 (trục hoành) x = a x = bDiện tích S của Hình phẳng giới hạn bởi các đường :được tính theo công thứcVí dụ 2 (Nhóm 2): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 – x2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3Ví dụ 1 (Nhóm 1)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2 y = g(x) liên tục trên [a; b] y = f(x) liên tục trên [a;b] y = 0 (trục hoành) x = a x = bDiện tích S của Hình phẳng giới hạn bởi các đường :Đặt vấn đề: được tính theo công thức nào ?II.Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đuờng : y=f(x) , y=g(x) liên tục trên [a;b]Trường hợp f(x) ≥ g(x) x[a;b]Trường hợp tổng quát ta có công thức: x = a , x = bTrường hợp f(x) ≤ g(x) x[a;b](2)GHI NHỚDiện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đuờng : y=f(x) liên tục trên [a;b] x = alày=g(x) liên tục trên [a;b]x = b(2)Chú ý : Nếu x[;],f(x)–g(x)≠0 thì :Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân bằng cách :+) Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 ,trên [a; b]- Nếu phương trình vô nghiệm thì - Giả sử pt có các nghiệm c , d (a < c < d < b)(2)+) Vẽ đồ thịVídụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng : x = 0, x =  và đồ thị của 2 hàm số :  y = sinx , y = cosx .Giải : Pthđgđ : sinx = cosx  x = /4  [0; ]Vậy diện tích hình phẳng là :Vídụ 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : y = x3 – x và y = x – x2.y = x – x2.y = x3 - xGiải : Pthđgđ : x3 – x = x – x2 x3 + x2 – 2x = 0 x = -2 ; x = 0 ; x = 1Vậy diện tích hình phẳng là :Ví dụ 5Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) : y = – x2 + 4x –3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm A(0; -3) và B(3; 0)Tiếp tuyến tại A(0; -3) : y = 4x – 3 Tiếp tuyến tại B(3; 0) : y = -2x +6Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabpl y = – x2 + 4x –3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm A(0; -3) và B(3; 0)Giải : Gọi S1 , S2 là diện tích các tam giác cong ACD và BCD. Ta có:S1 =S2 = Vậy S = S1 + S2 = Chú ý 1:Để tính diện tích của một số hình phẳng phức tạp hơn ta phải chia hình đã cho thành một số hình đơn giản mà ta đã biết cách tính.Ví dụ 5Tiếp tuyến tại A(0; -3) : y = 4x – 3 Tiếp tuyến tại B(3; 0) : y = -2x +6Ví dụ 6Tính diện tích S của hình phẳng gới hạn bởiCó bạn viết Hỏi đúng hay saiChú ý 2: Bằng cách coi x là hàm số với biến y, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:x = g(y)x = h(y)y = cy = d( g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d] )Tóm tắt bài học: y = f(x) liên tục trên [a;b] y = 0 (trục hoành) x = a x = b(1) y=f(x) liên tục trên [a;b] x = ay=g(x) liên tục trên [a;b]x = bDiện tích S của Hình phẳng giới hạn bởi các đường :(2)Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) f(x)dx [-f(x)]dx f(x)dx [-f(x)]dxScbb22aa0òòòò+++=.)]([512ò-=-dxxfSCủng cố: Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối)y = f(x)y = g(x)y = g(x)y = f(x) )]()([)]()([0òò-+-=baadxxgxfxfxgS)]()([ò-=badxxgxfSTrong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kỹ thuật người ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp . Chẳng hạn:Khi xây dựng nhà máy thuỷ điện , để tính lưu lượng của dòng sông ta phải tính diện tích thiết diện ngang của dòng sông. Thiết diện đó thường là một hình khá phức tạp Trước khi phép tính tích phân ra đời , với mỗi hình như vậy người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính.Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài toán tính diện tích nói trênBài sau chúng ta tiếp tục nghiên cứu Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể Bài tập về nhàLàm bài tập 26, 27, 28 ( trang 167 SGK)Đọc bài “Ứng dụng tích phân để tính thể tích”Xin chân thành cảm ơnBài học kết thúc tại đây, Xin kính chúc các thầy giáo cô giáo mạnh khoẻ, hạnh phúc. Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tớiOyx-aa-bbVí dụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elipGiải Gọi S là diện tích của một phần tư hình elip nằm trong góc phần tư thứ nhất. Đó là một hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số Vậy = y = 0 x = 0x = aVí dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx , y = -lnx và y = 1