Bài giảng Giải tích 12: Nguyên hàm

KiÓm tra bµi còC©u 1: Ph¸t biÓu ®Þnh lý Lagz¨ng? NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [ a ; b ] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng ( a; b) th× tån t¹i 1 ®iÓm c thuéc kho¶ng (a;b) sao cho f(b) – f(a) = f’ (c)( b – a).C©u 2: Cho hµm sè f(x) = 2x. T×m hµm sè F (x) sao cho F’ (x) = 2xBài toán vật lýTa đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàmKhi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t)Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x)Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là nhữnghàm số nàoa. F(x) = x2b. F(x) = x2 + 3c. F(x) = x2 - 4d. Tất cả các hàm số trênHãy chọn phương án đúngNhận xétMọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số 	 trªn các khoảng x¸c ®Þnh.Tổng quát ta có định lýĐịnh lýNếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì:*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số.Chứng minh bổ đềXét phần tử cố định x0(a;b).Với mọi x (a;b), + nếu x=x0 thì F(x)=F(x0), + nếu x≠x0thì theo định lí Lagrăng tồn tại một số c nằm giữa xo và x sao cho F(x)-F(x0)=F’(c)(x-x0) Vì c (a;b) nên F’(c)=0. Vậy ta có	F(x)-F(x0)=0 hay F(x)=F(x0)	Vậy với mọi x (a;b) ta có F(x)=F(x0). Do đó F(x) là một hàm số không đổi trên khoảng (a;b)Chøng minh ®Þnh lÝ1 Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). V× vËy ( F(x) + C )’ = F’ (x) + 0= f(x) 2. Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) tức là G’(x)=f(x) với mọi x(a;b). Khi đó	(G(x)-F(x))’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0	Theo bổ đề thì G(x)-F(x) 	là hàm số không đổi trên (a;b). 	Vậy x(a;b) ta có G(x)-F(x)=C, với C là một hằng số bất kỳ, hay G(x)=F(x)+C F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì {F(x)+C ,C R} là họ các nguyên hàm của f(x) trên khoảng đóQua bài học ta đã biết - Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C Bµi tËp 1 Chứng minh với 0 < a  1 Hàm số là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?a. b. c. d. 2. X¸c ®Þnh a ®Ó hµm sè lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè  trªn 3. Cho vµ . X¸c ®Þnh a, b ®Ó F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn4. X¸c ®Þnh a, b, c sao cho hµm sè F(x)=(ax2+bx+c)e-x lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x)=(2x2-5x+2)e-x trªn RHàm số là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?a. b. c. d. Bµi tËp T×m F(x) biÕt vµ F(1)=3H­íng dÉn:F(x)=x2+CMµ F(1)=3  1+C=3C=2VËy F(x)=x2+2