Bài giảng Giải tích 12 tiết 41, 42: Cấp số cộng

CẤP SỐ CỘNGTIẾT 4 1- 42NỘI DUNG CHÍNHĐỊNH NGHĨASỐ HẠNG TỔNG QUÁT TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNGBÀI TẬPKiểm tra bài cũ: Cho dãy số un = 3n –5. Tính u1, u2, u3, u4, u5 và biểu diễn lên trục số, có nhận xét gì về mối quan hệ về các khoảng cách giữa u1và u2; u2 và u3; u3 và u4; u4 và u5.Nhận xét: Có nhiều dãy số mà kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng thêm với một số không đổi. Những dãy số có tính chất như vậy gọi là một cấp số cộng.Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.+Hãy viết công thức truy hồi của một cấp sốcộng+ Khi d = 0 thì tất cả các số hạng có tính chất gì??TRẢ LỜI Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d thì ta có công thức truy hồi: un+1 = un + d với n N*Khi d = 0 thì các số hạng của cấp số cộng đều bằng nhau ĐỊNH NGHĨAI. ĐỊNH NGHĨAVD 1: Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng ?Vì sao? a)-3, -1, 1, 3, 5 b)-3, -1 ,1, 3, 7TRẢ LỜIDãy số -3, -1, 1, 3, 5 là một cấp số cộng vì: -1 – (-3) = 1 – (-1) = 3 – 1 = 5 -3 = 2Dãy số -3, -1, 1, 3, 5 không phải là một cấp số cộng vì: -1 –(-3) 7 - 5+ Hãy cho một cấp số cộng có 5 hạng tử+ Một cấp số cộng được xác định khi nào??HĐ2: Mai và Hùng chơi trò xếp que diêm thành hình tháp trên mặt sân cách xếp được thể hiện như hình vẽ sau:Hỏi:Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?Cấp số cộng được hoàn toàn xác định nếu ta biết được số hạng đầu và công sai.Như vậy mọi số hạng đều tính được theo số hạng đầu và công sai, cách tính như thế nào? Ta theo dõi công việc sau Gợi ý: + Quan sát số que diêm ở tầng đế của tháp một tầng, tháp hai tầng, tháp ba tầng + số que diêm ở các tầng đáy theo thứ tự có lập nên một cấp số cộng, nếu có hãy tìm số hạng đầu và công sai +Tính u1, u2, u3,u4, u5,  Tìm ra qui luật rồi tính u100Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n-1)d với n 2II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁTĐỊNH LÝ 1Chứng minh u2 =u1 + d u3 = u2 + d u4= u3 + d .. un-1= un-2 + d un = un-1 + d un= u1 + d VD2: Cho cấp số cộng (un), biết u1= -3 , d = 2 a)Tìm u9 b) Số hạng thứ 77 là số hạng thứ mấy c) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trên trục số.Nhận xét vị trí của mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kềGiảia)Ta có: u9 = u1 + 8d = -3 + 8.2 = 13b) Áp dụng công thức: un = u1 + (n – 1)d, suy ra 77 = -3 +(n -1).2 vậy n = 41Nhận xét của câu c) cũng là tính chất của cấp số cộng III. TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÍ 2Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:c) Biểu diễn 5 số hạng: u1 = -3, u2 = -1, u3 = 1, u4 = 3, u5 = 5 trên trục số: u1 u2 u3 u4 u5 -3 -1 1 3 5u2 là trung điểm của đoạn u1u3, tức là: Tương tự ta cũng có: HĐ3:Cấp số cộng có 8 số hạng đầu được viết theo thứ tự trong bảng sau:-214710131619a) Hãy chép lại bảng trên và viết các số hạng đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột b) Tính tổng của 8 số hạng đầu của cấp số số cộng đó.-21471013161919162310741-21717171717171717Giải a)Gọi tổng là S, ta có: 2.S = 8.17 = 8(u1 + u8), vậy: S = Trong trường hợp tổng quát ta cũng có kết quả tương tựIV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÍ 3Cho một cấp số cộng (un).Đặt Sn = u1 + u2 + + un Ta có: Sn = ? Dựa vào số hạng tổng quát hãy viết công thức trên theo u1 và d?Đó là: VD 3: Cho dãy số (un) với un = 2n + 3 a) Chứng minh dãy (un) một cấp số cộng. Tìm u1 và d b) Tính tổng 50 số hạng đầu c) Biết Sn = 192, tìm nGiảia) Với n 1, ta có: un+1- un = 2(n +1) +3 – ( 2n + 3) = 2, suy ra (un) là một cấp số cộng với công sai d = 2 và u1 = 5b) S50 = 50.5 + = 2700c) Sn = = 192 hay n2 + 4n – 192 = 0 giải phương trình trên với điều kiện n N*, ta được n = 12BÀI TẬPCác khẳng định sau đây đúng hay sai?Dãy số un = 5 -2n là một cấp số cộng với số hạng đầu u1= 3 và công sai d = -2b)Dãy số un = -1 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1= và công sai d = c) Dãy số un = 2n là một cấp số cộngd) Dãy số un = 3n+1 không phải là một cấp số cộngTrả lờia) Đ b) Đ c) S d) Đ 2) Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . + (2n – 1)3)Tìm số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng sau biết:Giải 2) Đây là tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng với số hạng đầu tiên u1 = 1 và công sai d = 2, vậy Sn = 4) Mặt sàn của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cmViết công thức tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sânTính độ cao của sàn tầng 2 so với mặt sân.3) Áp dụng công thức un = u1 + (n – 1)d, ta có hệGiảiGọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là hn, ta có: hn = 0,5 +n.0,18b) Chiều cao của mặt sàn 2 so với mặt sân là: h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m)Củng cố: Cần nắm các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng u1, d, n, un, Sn để khi cho một số đại lượng tính được các đại lượng còn lại.Dặn dò: Làm các bài tập còn lại trong SGK. BÀI HỌC ĐÃ KẾT THÚC CHÚC CÁC EM HỌC GIỎI!