Bài giảng Giải tích 12 - Tiết 74: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Sè phøcKIỂM TRA BÀI CŨCÂU HỎI:Đáp ánNêu khái niệm căn bậc hai của số phức zTìm các căn bậc hai của số phức Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của số phức W.Vậy có hai căn bậc hai là:1. Số phức dưới dạng lượng giácTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Acgumen của số phức z ≠ 0ĐỊNH NGHĨA 1Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z. M(z)xyOChú ý: Nếu  là một Acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng  +2k ( k  Ví dụ: - Số thực dương tuỳ ý có một acgumen là 0- Số thực âm tuỳ ý có một acgumen là - Số 3i có một acgumen là - Số -2i có một acgumen là M(z)xyON( l.z )- Số phức z≠0 có acgumen là  thì mọi số phức l.z có acgumen là:  + 2k với k  1. Số phức dưới dạng lượng giácTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Acgumen của số phức z ≠ 0ĐỊNH NGHĨA 1Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian ) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z. Chú ý: Nếu  là một Acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng  +2k ( k  H 1M(z)xyON( - z )- Biết số phức z ≠ 0 có một acgumen là  . Hãy tìm một acgumen của các số phức: có một Acgumen là  + có một Acgumen là -  có một Acgumen là -  có một Acgumen là -  1. Số phức dưới dạng lượng giácTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Acgumen của số phức z ≠ 0ĐỊNH NGHĨA 1Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z. Chú ý: Nếu  là một Acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng  +2k ( k  M(a+bi)xyOabrb. Dạng lượng giác của số phứcXét số phức dạng z = a + bi≠0 Kí hiệu dễ thấy: Vậy z = a + bi có thể viết dưới dạng khácĐịnh nghĩa 2Dạng trong đó r > 0, gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi Được gọi là dạng đại sốcủa số phức z.1. Số phức dưới dạng lượng giácTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Acgumen của số phức z ≠ 0ĐỊNH NGHĨA 1Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z. Chú ý: Nếu  là một Acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng  +2k ( k  M(a+bi)xyOabrb. Dạng lượng giác của số phứcĐỊNH NGHĨA 2Dạng trong đó R > 0, gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi Nhận xét để tìm dạng lượng giáccủa số phức Z = a + biĐược gọi là dạng đại sốcủa số phức z.z ≠ 0 ta tiến hành các bước1. Tìm 2. Tìm  là một số thực sao cho1. Số phức dưới dạng lượng giácTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Acgumen của số phức z ≠ 0ĐỊNH NGHĨA 1Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z. b. Dạng lượng giác của số phứcĐỊNH NGHĨA 2Dạng trong đó R > 0, gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi Được gọi là dạng đại sốcủa số phức z.Ví dụ 2+Số 2 có mô đun bằng 2 , có một acgumen bằng 0+Số -4 có môđun bằng 4, có mộtacgumen bằng .+Số 3i có môđun bằng 3 , có một acgumen bằng số -2i có môđun bằng 2 , có một acgumen bằng số Có môđunLấy Vậy 1 acgumen là 1. Số phức dưới dạng lượng giácTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Acgumen của số phức z ≠ 0ĐỊNH NGHĨA 1Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z. b. Dạng lượng giác của số phứcĐỊNH NGHĨA 2Dạng trong đó r > 0, gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. Được gọi là dạng đại sốcủa số phức z.Chú ý:1. | z | = 1  z = cos + i.sin Còn dạng z = a+ bi 2. Khi z = 0  | z | = 0. còn acgumen của z là tuỳ ý : 0 = 0. (cos + i. sin)3. Cần chú ý đòi hỏi r > 0 trong dạng lượng giác của số phức z ≠ 0.Ví dụa. Số phức –(cos+ i.sin) có dạng lượng giác : cos(+) + i. sin (+) a. Số phức cos - i.sin có dạng lượng giác : cos(- ) + i. sin (- ) 1. Số phức dưới dạng lượng giácTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Acgumen của số phức z ≠ 0ĐỊNH NGHĨA 1Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z. b. Dạng lượng giác của số phứcĐỊNH NGHĨA 2Dạng trong đó R > 0, gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi Được gọi là dạng đại sốcủa số phức z.H2Cho z = r ( cos + i. sin)Tìm môđun và một acgumen củaVậy môđun và một acgumen củaLà :1. Số phức dưới dạng lượng giácTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Acgumen của số phức z ≠ 0ĐỊNH NGHĨA 1Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z. b. Dạng lượng giác của số phứcĐỊNH NGHĨA 2Dạng trong đó R > 0, gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi gọi là dạng đại số 2. Nhân và chia số phức dạng lượng giácĐịnh lý:Nếu Chứng minhVí dụ 43. Công thức Moa – vrơ (Moivre) và ứng dụnga. Công thức Moa – vrơb. ứng dụng vào lượng giác c. Căn bậc ha của số phức dưới dạng lượng giác4.Hướng dẫn học và làm bài ở nhàChứng minhChứng minhTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGVí dụ 4Nhận xét: nếu thực hiện phép chia hai số phức dưới dạng đại số ta đượcTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGa. Công thức Moa-vrơ Khi r = 1, ta cóTừ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng qui nạp toán học với mọi sốNguyên dương n,cả hai công thức trên gọi là công thức Moa- vrơVí dụ 5: Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGb. Ứng dụng vào lượng giácCông thức khai triển luỹ thừa bậc 3 của nhị thức cos + i. sin  cho taMặt khác theo công thức Moa- vrơTiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNGDỤNGc. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giácTừ công thức Moa- vrơsố phức z = r. (cos+i.sin), r > 0 có hai căn bậc haiVà