Bài giảng Giải tích hàm nâng cao - Chương 1: Không gian Banach và các định lý cơ bản

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng-------------------------------------------------------------------------------------Giải tích hàm nâng caoChương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bảnGiảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 1 Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản. 1.1. Dạng giải tích và dạng hình học của định lý Hahn-Banach. 1.2. Định lý Banach – Steinhauss. Chương 2. Tôpô yếu và các không gian đặc biệt. 2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu*. 2.2. Các không gian đặc biệt: phản xạ, khả ly, lồi đều. Chương 3. Không gian Hilbert. 3.1. Định nghĩa, tính chất cơ bản. Hình chiếu xuống tập lồi đóng. 3.2. Định lý Stampacchia và Lax-Milgram.ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC 2 Chương 4. Các không gian Lp. 4.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. 4.2. Tính phản xạ, khả ly của Lp. Đối ngẫu của Lp. 4.3. Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp. Chương 5. Toán tử compact. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp compact. 5.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. 5.2. Định lý Riesz – Fredholm. 5.3. Phân tích phổ của toán tử compact. 5.4. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp.3Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức viết (20%)Seminar trên lớp (30%) Thi cuối kỳ: hình thức vấn đáp (50%)4Tài liệu tham khảo1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002.2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978. 3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000.6. Walter Rudin. Functional analyse. MC Graw – Hill Book company, 2000.7. N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972.5Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.0.3 – Định lý Banach-Steinhauss.0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.61. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Hàm thực trên không gian tuyến tính X được gọi là hàm dưới tuyến tính (sơ chuẩn), nếu Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính từ không gian tuyến tính X vào tập số thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính.71. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của nó có xác định một quan hệ < sao cho: 1. a < a (phản xạ) 2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu) 3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng) Khi đó quan hệ < được gọi là quan hệ thứ tự trên tập S và S được gọi là sắp một phần theo thứ tự đó.81. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Cho S là tập hợp được sắp một phần theo thứ tự <, một tập hợp con P được gọi là sắp toàn phần (sắp tuyến tính) nếu Một phần tử được gọi là cận trên của tập hợp P nếu Định nghĩa Một phần tử được gọi là phần tử tối đại của S nếu 91. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bổ đề Zorn Nếu S là tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử tối đại.101. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Hahn-Banach là một phiếm hàm tuyến tính trên M. Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X. Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính , sao cho thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính , sao cho111. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Các bước chứng minh Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau: Kiểm tra S là tập được sắp một phần.121. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g. Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F. F là hàm cần tìm. 131. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kiểm tra Giả sử Đặt trong đó là hằng số cần tìm để .Kiểm chứng rằng vì nên cần kiểm tra 141. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- cần chọn sao cho vì F là hàm tuyến tính nên có thể chọn được Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■.151. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho E và F là hai không gian định chuẩn. L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.1. Hàm là một chuẩn trong L(E,F). Định lý 161. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hệ quả 1 Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian con M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho171. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minhĐể sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn 1. Cần kiểm tra là một sơ chuẩn Tồn tại phiếm hàm tuyến tính , sao cho và Suy ra F(x) liên tục và Mặt khác Vậy ||F|| = ||f||181. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hệ quả 2 Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E, sao cho191. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minhĐặt 201. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta có Vì Khi đó Vậy Vì r tùy ý, r < 1, nên 211. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Theo hệ quả 1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E: và ■.221. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hệ quả 3 Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E, sao cho231. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minhĐặt Tương tự phần chứng minh hệ quả 3. 241. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập 1 Với mọi của không gian định chuẩn E, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao choGiải Sử dụng Hệ quả 2 (slide 19), đặt M = {0}251. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải Bài tập 2 Cho M là không gian con đóng của không gian định chuẩn E, . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho Vì M đóng, . Khi đó tồn tại hình cầu nằm ngoài M, suy ra Sử dụng hệ quả 3.261. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải Sử dụng bài tập 1. Bài tập 3 Cho x và y là hai véctơ khác nhau của không gian định chuẩn E. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho271. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải Khi đó L(M) là không gian con đóng của E. Sử dụng bài tập 2. Bài tập 4 Cho họ véctơ của không gian định chuẩn E, véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho281. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập 5 Cho M là không gian véctơ con của không gian định chuẩn E và . Khi nào tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho291. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập 6 Cho E là không gian định chuẩn và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E, f khác không. Chứng minh rằng siêu phẳng là một tập khác rỗng.Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.301. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập 7 Cho v là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằngHướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.311. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập 8 Cho x, y là hai véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên E ta đều có f(x) = f(y) thì x = y.Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.321. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập 9 Cho x là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên E ta đều có f(x) = 0 thì x = 0.Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 8.331. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của không gian định chuẩn E, là những số thực. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho Bài tập 10341. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải Tương tự hoàn toàn, ta tìm được Xét vì M độc lập tuyến tính nên Theo hệ quả 3, Khi đó phiếm hàm cần tìm là 352. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Một siêu phẳng là tập hợp có dạng trong đó f là dạng tuyến tính. Cho phiếm hàm tuyến tính f thỏa: ví dụ Khi đó các siêu phẳng là những mặt phẳng.362. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Một tập hợp C trong không gian tuyến tính X được gọi là lồi nếu Tập hợp các điểm có dạng: được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a và b. Một tập hợp được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó.372. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1) Trong R3, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là những tập hợp lồi. ví dụ 2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a, bán kính r là một tập hợp lồi.Hướng dẫn. 382. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tập hợp lồi.4) Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi.5) Nếu D, E là hai tập lồi, a là một điểm, là một số thực thì các tập hợp sau đây là những tập hợp lồi. 392. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn E. Ta nói siêu phẳng tách A và B theo Định nghĩanghĩa rộng, nếu Ta nói siêu phẳng tách A và B theo Định nghĩanghĩa chặt, nếu sao cho 402. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ không của không gian định chuẩn E. Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi) Khi đó hàm p thỏa412. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minh bổ đề 1422. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------432. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------442. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử C là tập hợp lồi, mở, không rỗng, . Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho Bổ đề 2452. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minh bổ đề 2462. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất)472. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minhĐặt C = A\B. 1) Kiểm tra C lồi2) Kiểm tra C mở3) Kiểm tra Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao choCố định , với Khi đó siêu phẳng của phương trình tách A và B theo nghĩa rộng. 482. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai)492. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minh1) Kiểm tra lồi.2) Kiểm tra mở, không trống.3) Kiểm tra rời nhau.Khi đó tồn tại siêu phẳng của phương trình tách A và B theo nghĩa rộng. Vậy tách A và B theo nghĩa hẹp. 503. Định lý Banach - Steihauss.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho X là không gian mêtrix đủ, không trống. Bổ đề BaireGiả sử là dãy các tập hợp đóng sao cho Khi đó tồn tại sao cho 513. Định lý Banach - Steihauss.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho E, F là hai không gian Banach. là họ các toán tử Định lý Banach - Steihausstuyến tính liên tục từ E vào F sao cho Khi đó52