Bài giảng Hệ thức lượng trong tam giác, giải tam giác

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC, GIẢI TAM GIÁC
A.LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 
1. Các hệ thức lượng giác cơ bản: 
sin2x + cos2x = 1 
; 	 ; 	tan a .cot a = 1
cota = ;	 tana = 	;	1 + tan2a = ;	1 + cot2a = 
2. Tích vô hướng của hai vectơ: 
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ : 
Trong mp tọa độ Oxy cho : Þ 	 
4. Độ dài của vectơ: 	
 Khoảng cách giữa 2 điểm A () và B () là: 
 	AB = 	
 5. Góc giữa 2 vectơ: 	 cos() = = 
Góc giữa hai đường thẳng và có vectơ pháp tuyến là , =là j = ( ) ta có :
	 cos j = = 
 6. Các hệ thức lượng trong tam giác: 
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM = 
	Định lý cosin:
	a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;	b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;	c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 
	cosA = 	cosB = 	cosC = 
 	Định lý sin: 
	= 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) 
	Độ dài đường trung tuyến của tam giác:
	 ; 
Các công thức tính diện tích tam giác: 
S = aha = bhb = chc	S = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB 
S = 	S = pr 	S = với p = (a + b + c) 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Câu 1: Cho ABC có c = 35, b = 20, A = 600
Tính ha	b) Tính R, r
Câu 2: Cho ABC có AB =10, AC = 4 và A = 600
Tính chu vi của ABC 	b) Tính tanC
Câu 3: Cho ABC có A = 600, cạnh CA = 8cm, cạnh AB = 5cm
Tính BC	b) Tính diện tích ABC
c) Xét xem góc B tù hay nhọn?	d) Tính độ dài đường cao AH
Tính R
Câu 4: Trong ABC, biết a – b = 1, A = 300, hc = 2. Tính Sin B
Câu 5: Cho ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm
Tính diện tích ABC	b) Góc B tù hay nhọn? Tính B
c) Tính bánh kính R, r	d) Tính độ dài đường trung tuyến mb
Câu 6: Cho ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm
	a) Tính diện tích ABC	b) Góc B tù hay nhọn? Tính B
	c) Tính bán kính đường tròn R, r	d) Tính độ dài đường trung tuyến
Câu 7: Cho ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8
	a) Tính diện tích ABC	b) Tính góc B
Câu 8: Cho ABC có 3 cạnh 9; 5; và 7
	a) Tính các góc của tam giác	b) Tính khoảng cách từ A đến BC
Câu 9: Chứng minh rằng trong ABC luôn có công thức 
Câu 10: Cho ABC
Chứng minh rằng SinB = Sin(A+C)
Cho A = 600, B = 750, AB = 2, tính các cạnh còn lại của ABC
Câu 11: Cho ABC có G là trọng tâm. Gọi a = BC, b = CA, c = AB. Chứng minh rằng:
	GA2 + GB2 +GC2 = 
Câu 12: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a = b.cosC +c.cobB
Câu 13: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB. Chứng minh rằng:
a2 = 2(b2 – c2)	b) Sin2A = 2(Sin2B – Sin2C)
Câu 14: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
	a) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB)	b) (b2 – c2)cosA = a(c.cosC – b.cosB)	c) sinC = SinAcosB + sinBcosA
Câu 15: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: cotA + cotB + cotC = 
Câu 16: Một hình thang cân ABCD có hai đáy AB = a, CD = b và . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình thang.
Câu 17: Tính diện tích của ABC, biết chu vi tam giác bằng 2p, các góc = 450, = 600.
Câu 18: Chứng minh rằng nếu các góc của ABC thỏa mãn điều kiện sinB = 2sinA.cosC, thì đó cân.
Câu 19: ( ĐH Đà Nẵng A – 1997)
Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ABC thỏa mãn điều kiện: , thì ABC vuông.
Câu 20: Chứng minh đẳng thức đúng với mọi ABC :
	a) 
	b) 
	c) 
Câu 21: Tính độ dài ma, biết rằng b = 1, c =3, = 600
Câu 22: Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết b+c = a, mb = 8, = 600.
Câu 23: Tính độ dài các cạnh b, c của tam giác, a = , b.c = 12cm, ma = 3
Câu 24: Tính độ dài cạnh a, biết ma = 3, mb = , S = 3.
Câu 25: Tính cosA, cosB, biết ma = 1, mb = , mc = .
Câu 26: Tính cosC, biết ha = 8, hb = 6, mc = 5.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng D:
	 với M ()Î D và là vectơ chỉ phương (VTCP) 
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng D: 
	a(x - ) + b(y - ) = 0 
hay ax + by + c = 0 (với c = -a- b và a2 + b2 ¹ 0)
trong đó M ()Î D và là vectơ pháp tuyến (VTPT) 
Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b) là: 
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M () có hệ số góc k có dạng : 
y - = k (x - ) 
3. Khoảng cách từ mội điểm M () đến đường thẳng D : ax + by + c = 0 được tính theo công thức : 	d(M; D) = 
	4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
	= = 0 	và = = 0 
	cắt Û	¹ ;	 ¤ ¤ Û= ¹ ;	 º Û = = 
	(với ,,khác 0) 
 5. Phương trình đường tròn: 
Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R có dạng :
	(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) 	
	hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) với c = a2 + b2 – R2 
Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R 
Đường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng D: ax + by + g = 0 
khi và chỉ khi : d(I ; D) = = R 
6. Phương trình chính tắc của Elip (E) : Ta có M (x ; y) Î (E) Û với b2 = a2 – c2