Bài giảng Hình học 11 - Bài 1: Phép đối xứng trục

Chương III: CÁC PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNGBài 1:Pheùp ñoái xöùng truïc1. Ñònh nghóa.2. Caùc tính chất của pheùpđñối xứng trục.	 3. Trục đñối xứng của hình.4. Aùp duïng.1. Định nghĩa:Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d được gọi là phép đối xứng trục. Kí hiệu: Đd Nếu điểm M’ đối xứng với điểm M qua d thì ta nói phép đối xứng trục d biến điểm M thành điểm M’ hay điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép ñối xứng trục d. Kí hiệu: d : Trục ñối xứngdMM’MM’Đd : M M’ Nhaän xeùt MM’ M d1. Phép đối xứng trục xác định nếu ta biết trục đối xứng của nó. 2.  d là trung trực của đoạn MM’.Đd : M M’ Phép đối xứng trục xác định khi nào ? M'dHH’H’= { M ’ | M ’ là ảnh cuả điểm M qua Đd, MH }: hình đối xứng với H qua d.Cho pheùp ñối xứng trục Đd vaø moät hình H.MH ta coù moät aûnh M’qua Đd* Ảnh của một hình qua phép đối xứng trục:2. Các tính chất của phép đối xứng trục:Chứng minh:	MM’NN’dIJSo sánh độ dài MN và M’N’ ? Định lý: Phép đối xứng trục không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.Đd : M M’ Đd : N N’ Tức là: NếuThì: MN=M’N’Suy ra MN2=M’N’2 nên MN=M’N’ (đpcm)Gọi I, J lần lượt là giao điểm của MM’ và NN’, khi đó I, J lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.Hệ quả 1: Phép đối xứng trục biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của 3 điểm thẳng hàng đó. ABCB’C’A’d2. Các tính chất của phép đối xứng trục:Vị trí tương đối giữa 3 điểm A’, B’, C’ như thế nào ?Chứng minhGiả sử A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Khi đó AB + BC = AC.(1)Nếu phép đối xứng trục biến điểm A, B, C lần lượt thành điểm A’, B’, C’ thì theo định lí trên ta có: AB=A’B’, BC=B’C’, AC=A’C’. Khi đó từ (1) ta suy ra A’B’+B’C’=A’C’.Điều đó có nghĩa là A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’.Hệ quả 2: Phép đối xứng trục:a. Biến một đường thẳng thành một đường thẳngb. Biến một tia thành một tiac. Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nód. Biến một một góc thành một góc có số đo bằng nóe. Biến một một tam giác thành một tam giác bằng nó, một đường tròn thànhmột đường tròn bằng nóMNdM’N’A’B’ABO’y’x’OxyMNM’N’aa’OO’3.Trục đối xứng của hìnhÑònh nghóa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đd biến hình H thành chính nó.dH+ Mọi đường thẳng đi qua tâm đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó.3.Trục đối xứng của hìnhVí dụ :+ Tam giác cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.+ Hình vuông có 4 trục đối xứng (các đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối và các đường thẳng đi qua các đỉnh đối diện.4. Áp dụng+ Ví dụ 1: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi H’ là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). a) Chứng minh rằng H là ảnh của H’ qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là BC. b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.Giảia) Ta cóMà Suy ra Mặt khác (cùng chắn cung H’C).Vậy CABHH’12111Tam giác BHH’ có BC vuông góc với HH’ và BC cũng là đường phân giác của góc HBH’, suy ra tam giác HBH’ là tam giác cân. Suy ra BC là đường trung trực của HH’. Suy ra H’ là ảnh của H qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là BC. CABHH’12111b) H’ là ảnh của H qua phép đối xứng trục nói trên, mà quỹ tích điểm H’ là đường tròn (O) nên quỹ tích điểm H là đường tròn (O’), với (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là đường thẳng BC.CABHH’12111Cách giải bài toán tìm quỹ tích của điểm H’ thông qua phép đối xứng trục.Bước 1: Tìm một phép đối xứng trục biến điểm H thành điểm H’.Bước 2: Tìm quỹ tích điểm H.Bước 3: Từ quỹ tích điểm H suy ra quỹ tích điểm H’.Ví dụ 2:Cho đường thẳng d và hai điểm A, B. Tìm trên d điểm M sao cho tổng AM+MB có giá trị nhỏ nhất khi:A, B khác phía đối với dA, B nằm cùng phía đối với d.a)Lâý điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng d.Khi đó MA + MB luôn lớn hơn hoặc bằng AB. Mà AB không đổi nên MA + MB nhỏ nhất là bằng AB. Khi đó, M chính là giao của đoạn thẳng AB và đường thẳng d....ABdMMb) Lấy A’ đối xứng với A qua d.Lấy M bất kỳ thuộc d. Khi đó MA +MB=MA’+MB A’B.Mà A’B không đổi nên MA+MB nhỏ nhất là bằng A’B. Khi đó M chính là giao của A’B với d.ABA’M.Củng cốNêu cách dựng điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d?MHM’dNêu Cách dựng A’B’C’ đối xứng với ABC qua đường thẳng d ?dAA’BCB’C’Nêu cách dựng đường tròn tâm O’ đối xứng với đường tròn tâm O qua d ?dOO’MM’Làm bài tập 1, 2, 3, 4, 5 trang 71.