Bài giảng Hình học 12 - Chương III - Phương trình tổng quát của mặt phẳng

e. NÕu [ a, b ] c = 0 th× a, b, c cïng ph­¬ng.§S§S§1.C©u hái kiÓm tra:C¸c mÖnh ®Ò sau ®óng hay sai ?a. Tån t¹i duy nhÊt mét mÆt ph¼ng (α) ®i qua ®iÓm M0 vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng d cho tr­íc. b. Cã v« sè ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng cho tr­íc.d. NÕu [ AB, AC ] ≠ 0 th× A,B,C kh«ng th¼ng hµng.c. NÕu [ a, b ] = 0 th× a, b kh«ng cïng ph­¬ng.a. §Þnh nghÜa: VÐct¬ n ≠ 0 ®­îc gäi lµ vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (α) nÕu nã n»m trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (α). (Gäi t¾t lµ vÐct¬ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (α) ).Ký hiÖu: n  (α) 1. VÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng: ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ngαC©u hái : Mét mÆt ph¼ng cã bao nhiªu vÐct¬ ph¸p tuyÕn? V× sao?αNhËn xÐt 1: NÕu lµ 1 vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (α) th× vÐct¬ k (k ≠ 0) còng lµ mét vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (α). αTiÕt 39 : ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ngC©u hái: Mét mÆt ph¼ng cã hoµn toµn ®­îc x¸c ®Þnh hay kh«ng nÕu chØ biÕt mét vÐct¬ ph¸p tuyÕn n cña nã?. NhËn xÐt 2: Mét mÆt ph¼ng (α) hoµn toµn ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt	 mét ®iÓm thuéc nã vµ mét vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña nã.α M0#TiÕt 39 : ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ngb. Chó ý: + Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é Oxyz, cho vÐct¬ a vµ b kh«ng cïng ph­¬ng c¸c ®­êng th¼ng chøa chóng cïng song song hoÆc n»m trªn mÆt ph¼ng (α) th× còng lµ mét vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (α), khi ®ã hai vÐct¬ a vµ b ®­îc gäi lµ cÆp vÐct¬ chØ ph­¬ng cña mÆt ph¼ng (α). TiÕt 39 : ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ngα.+ NÕu trong mÆt ph¼ng (α) cho ba ®iÓm M1, M2 vµ M3 kh«ng th¼ng hµng th× hai vÐct¬ M1M2 vµ M1M3 lµ cÆp vÐct¬ chØ ph­¬ng cña mÆt ph¼ng (α) vµ = [M1M2, M1M3] lµ mét vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (α). α ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ngM1 #M2#M3#VÝ dô: Trong kh«ng gian víi hÖ trôc 	oxyz. Cho c¸c vÐct¬ sau:H·y chØ ra c¸c vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng Oxy.4. = (0 ; 0 ; 5)x0zy5. = (0 ; 1 ; 1)1. = (0 ; 0 ; 1)3. = (0 ; 1 ; 0)2. = (1 ; 0 ; 0)TiÕt 39 : ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng§¸p ¸nMÆt ph¼ng Oxy cã c¸c vÐct¬ ph¸p tuyÕn cÇn t×m lµ: = (0 ; 0 ; 1) = (0 ; 0 ; 5)0yjxikzi0yjxikiCho mÆt ph¼ng (α) ®i qua ®iÓm M0 = (xo; yo; zo) vµ cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn n = (A; B ; C). T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M = (x; y ; z) thuéc mÆt ph¼ng (α). αn2. Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼nga. Bµi to¸n:M0#M#Víi D = - (Ax0 + By0 + Cz0) Gi¶i:§iÓm M = (x; y; z)  (α) khi vµ chØ khi M0M  n M0M . n = 0  A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0  Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) αnM0M##Ax + By + Cz + D = 0 th× = (A; B; C ) lµ mét vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña nã.b. §Þnh lý:Mçi mÆt ph¼ng lµ tËp hîp c¸c ®iÓm cã to¹ ®é (x ; y ; z) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh d¹ng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) (1)Ng­îc l¹i tËp hîp c¸c ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh (1) lµ mét mÆt ph¼ng. c. §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh d¹ng Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng.d. Chó ý: #MÆt ph¼ng (α) ®i qua ®iÓm M0 = (x0 ; y0 ; z0) vµ cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn 	= (A; B; C) th× ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: A (x-xo) + B (y-yo) + C (z-zo) = 0 #MÆt ph¼ng (α) cã ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t lµ : x + 3y + z = 0VÝ dô:ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (α) ®i qua ®iÓm M(2; 1;-5) vµ song song víi mÆt ph¼ng (β): x + 3y + z - 5 = 0.Gi¶iVËy ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (α) lµ(α): 1(x-2) + 3(y-1) + 1(z+5) = 0MÆt ph¼ng (β) : x +3y +z – 5 = 0 =>n =(1; 3; 1) lµ métVTPT cña (β) .(α) // (β) => n = (1; 3; 1) lµ vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (α)αM#na. D = 0 th× ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cã d¹ng Ax + By + Cz = 0lµ ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua gèc to¹ ®é.b. NÕu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 th× ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cã d¹ng: By + Cz + D = 0 lµ mÆt ph¼ng song song hoÆc chøa trôc Ox.3. C¸c tr­êng hîp riªng cña ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t.yxz0ijkαc. NÕu A = 0, B = 0, C ≠ 0 th× ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cã d¹ng Cz + D = 0 lµ mÆt ph¼ng song song hoÆc trïng víi mÆt ph¼ng Oxy.αd. NÕu A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0 th× ta ®Æt lµ ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng theo ®o¹n ch¾n.zxy0kjiαzy0x# # # 	Vi dô 1:Trong kh«ng gian víi hÖ trôc 0xyz cho 3 ®iÓm A (1;2;3), B (-1; 0; 2), C (3; 2; 5). LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua 3 ®iÓm A, B, C.Gi¶i: Ta cã AB = (-2;-2;-1)AC = (2; 0; 2)[AB, AC] = (-4; 2; 4)VËy: MÆt ph¼ng (α) nhËn n = (-4; 2; 4) lµ vÐct¬ ph¸p tuyÕn:=> ph­¬ng tr×nh (α): 4(x-1) – 2(y -2) – 4(z - 3) = 0 2x – y – 2z + 6 = 0.VÝ dô 2:Trong kh«ng gian víi hÖ trôc 0xyz cho 2 ®iÓm M = (2;-1;1), N (4;3;1).LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc (α) cña ®o¹n th¼ng MN.Gi¶i:	Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN => I = (3; 1; 1) ta cã mÆt ph¼ng (α) ®i qua ®iÓm I vµ nhËn vÐct¬ n = MN = (2; 4; 0) lµm vÐct¬ ph¸p tuyÕn => ph­¬ng tr×nh (α) lµ:2(x-3) + 4(y-1) + 0(z-1) = 0  x + 2y – 5 = 0.#M##INTæng kÕt: Dùa vµo cÆp vÐct¬ chØ ph­¬ng a, b => n = [ a, b].- Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a quan hÖ song song vµ vu«ng gãc.1. NÕu mÆt ph¼ng (α) ®i qua ®iÓm M (x0;y0;z0) vµ cã vÐtt¬ ph¸p tuyÕn n = (A; B; C) th× cã ph­¬ng tr×nh lµ:A (x- x0) + B(y-y0) + C(z –z0) = 02.C¸ch x¸c ®Þnh vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng:Bµi tËp vÒ nhµ: 2, 3, 5, 8: (SGK/ 82-83).