Bài giảng Hình học 12 - Chương III - Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

n( A;B )∆Đã họcTrong hệ tọa độ OxyĐịnh lý:Trong hệ tọa độ Oxyđều có phương trình dạng:Ax +By + C = 0,A2+ B2 ≠ Và ngược lại mọi phương trình ax +Bx +C = 0, với A2 +B2 ≠ 0đều là ph trinh một mặt phẳngĐặt vấn đềVấn đề véc tơ pháp tuyến trong hệ Oxyz∆Tại sao đường thẳng trong không gian không thể chọn được một véc tơ pháp tuyến?Pn( A;B;C ) Mặt phẳng trong không gian có thể chọn được một véc tơ pháp tuyến?Định lý:Trong hệ tọa độ Oxyz mọi mặt phẳng đều có phương trình dạng:Ax +By + Cz + D = 0,A2+ B2+ C2 ≠ 0Và ngược lại mọi phương trình Ax +By +Cz + D = 0, với A2 +B2+C2 ≠ 0đều là ph trinh một mặt phẳngvéc tơ pháp tuyến của mặt phẳngphương trình tổng quát của mặt phẳngTiết 391.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳngn( A;B;C )n( A;B;C ) là véc tơ pháp tuyến của mp (P)n≠0n(P)PA2+ B2 + C2 ≠ 0n(P)k nCác véc tơk ncũng là véc tơ pháp tuyến Nghe- ghi túm tắt :2.Phương trình tổng quát của mặt phẳnga.Định lý:Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x;y;z)Thỏa mãn một phương trình dạng: Ax +By + Cz + D= 0 (*), với A2 + B2+C2 ≠0Và ngược lại:Tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (*) là một mặt phẳngTrong hệ tọa độ Oxyz •M(x0 ;y0;z0)n( A;B;C )P(P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)1Vtpt n( A;B ;C)A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = 0 Ax + By+ C z - Ax0 – B y0 – C z0 = 0Chứng minh•M (x ;y;z)M (x ;y;z)  (P) nM0MĐặt bằng DNgược lại Ax +B y + Cz + D = 0 (*)Chọn M0(x0 ; y0 ; z0) thỏa (*)Có: Ax0 +B y0 + Cz0 + D = 0 (**)A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = 0=>=>( A;B;C )nM0MMmp qua M0 vuông góc với n Ax + By+ C z + D = 0A2+B2+C2 ≠ 0M (x ;y;z) thỏa mãn ptTóm lại: Trong hệ tọa độ Oxyz (P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)1Vtpt n( A;B ;C)A2+B2+C2 ≠ 0Phương trình Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0Ngược lại Từ pt: Ax + By+ C z + D = 0Với: A2+B2+C2 ≠ 0Chọn được: M0(x0 ; y0 ; z0) thỏa (*)Và một véc tơ pháp tuyến n( A;B;C )Bài tậpBài 1:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn ABTrong hệ toạ độ Oxyz cho A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4)Bài giải(P) thỏa mãn Qua I ?1Vtpt n=?Gọi (P) là mặt phẳng trung trực AB (P) thỏa mãn Qua I (2;-2;2)1Vtpt AB(6;-10;4)Phương trình (P):3x-5y +2z – 20 = 0Trong hệ tọa độ Oxyz (P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)1Vtpt n( A;B ;C) Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0A2+B2+C2 ≠ 0Phương trình Tóm lại: Bài tậpBài 2 : Viết phương trình mặt phẳngBài giảiĐi qua 3 điểm A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5)Vtpt n = [AB;AC]AB = ( 1; 2 ; 0)AC = ( 1; 0 ; -5)Vtpt n = [AB;AC] = (-10 ; 5 ; -2)(ABC) qua A(-1; 0; 0 )Pt.(ABC) là : 10x – 5y + 2z – 10 = 0Trong hệ tọa độ Oxyz (P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)1Vtpt n( A;B ;C) Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0A2+B2+C2 ≠ 0Phương trình Tóm lại: Bài tậpBài 3 : Viết phương trình mặt phẳngBài giảiĐi qua 3 điểm A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5)Ph.trình (ABC) :10 x -5y + 2z -10 = 0 x+yz+-12-5= 1Trong hệ tọa độ Oxyz (P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)1Vtpt n( A;B ;C) Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0A2+B2+C2 ≠ 0Phương trình Bài tậpBài 3 : Viết phương trình mặt phẳngđi qua điểm M0 (3;0 ;-1) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình: 4x -3y +7z +1 = 0Bài giảiQn( 4;-3; 7 )PMặt phẳng ()Qua M0( 3;0;-1) 1vtpt ( 4;-3;7)=> Phương trình ():4x – 3y +7z -5 = 0Trắc nghiệm Cho mặt phẳng (P) thỏa mãn :Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2) (Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0Kết luận nào sau đây đúng?a) Véc tơ u = ( 3 ; 5 ; -4) là véc tơ pháp tuyến của (P).b) Véc tơ v = ( -2 ; 4 ; -3) là véc tơ pháp tuyến của (P).c) Véc tơ n = [ u ,v] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P).Viết pt mặt phẳng (P) thỏa mãn :Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2) (Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0Bài tậpVì (P)  (Q) => (P) có 1 vtcp u (3;5;-4)Bài giảiVì (P) qua A(2;-3;1) và B(0;1;-2) Nên (P) có một vtcp khác là AB ( -2;4; -3)=> Véc tơ n = [ u ,AB] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P).=> Phương trình (P) là x +17y +22 z +27 = 0(P) Qua A(2;-3;1)Trong hệ tọa độ Oxyz (P) thỏa mãn Qua M0 ( x0;y0 ;z0)1Vtpt n( A;B ;C) Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0A2+B2+C2 ≠ 0Phương trình Tóm lại: * Mặt phẳng (P)  (Q) nQ = ( A,B,C)  (Q)uP = ( A,B,C) // (P)NếuThì mp (P) có 1 vtcp *) (P) // (Q) chung vtpt Bài tập 5:Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)_ lần lượt có phương trình:3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = 0Một điểm M0 ( 1;-4;0).Viết phương trình mặt phẳng() qua M0 và đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).Bài giải:Vì ()  (P) => () có 1 vtcp u (3;2;-5)Vì ()  (Q) => () có 1 vtcp v (1;-7;6)[u,v] = (- 23; -7 ; -23) ≠ 0Chọn vtpt của () là n (23; 7;23)() qua M0(1;-4 ; 0)=> Ph.trình () là 23x +7y +23z +5 = 0Hình thức thứ nhất :Cho trực tiếpn( A;B;C )Hình thức thứ hai :cho gián tiếp• A(x1;y1;z1) • B(x2;y2;z2) n= AB  (P)PTH1:Hình thức thứ hai :cho gián tiếpuvuv// hoặc nằm trên (P)// hoặc nằm trên (P)n= [ u ; v ]PTH2:u và v không cùng phươngn= [ u ; v ]Hình thức thứ hai :cho gián tiếpPQ(P) // (Q)Ph.trình (Q) :Ax + By +Cz + D1 = 0 => Ph.trình (P) : Ax +By +Cz +D2 = 0nQ = ( A,B,C)  (Q)nP = ( A,B,C)  (Q)TH3:Chú ý:nQ = ( A,B,C)  (Q)QPnP = ( A,B,C) // (P)Bài tập về nhà:I.Lý thuyết :•Nắm vững bài toán cơ bản về viết phương trình mặt phẳng.(Phải biết một điểm của mặt phẳng và một Vtpt của mặt phẳng)•Nắm vững cách xác định một véc tơ chỉ phương của mặt phẳng•Nắm vững cách xác định một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳngI•Bài tập: Từ 1 đến 8 trang82 và 83 (Sgk) Xin chân thành cảm ơn các thầy (cô) và các em học sinhXin chào và hẹn gặp lại !100