Bài giảng Hình học 12 nâng cao - Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

CHƯƠNG 2 : MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NĨNChúng ta quan sát một số hình ảnh sau :Hình ảnh trái đất Hình ảnh mặt trăng Hình ảnh quả bĩng Khái niệm đường trịn trong mặt phẳng?Vị trí tương đối của đường trịn với một điểm trong mặt phẳng?Đường trịn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng khơng đổi. M là một điểm trên đường trịn khi OM = r . M là một điểm trong đường trịn khi OM r ;.MrO Bài 1: MẶT CẦU, KHỐI CẦU1/. ĐỊNH NGHĨACho một điểm O cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R. Ký hiệu : S(O;R) hay viết tắt là (S) Như vậy ta có : S(O;R) = {M / OM = R } .OMRA3A2A1BO. Nếu OA R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R). Nếu OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)Ta nói A thuộcS(O;R)@ Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;R) và các điểm nằm trong mặt cầu đĩ được gọi là khối cầu hay hình cầu S(O;R)2/ Bán kính, đường kính của mặt cầu:* Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) thì đoạn thẳng OA được gọi là bán kính mặt cầu (S).* B đối xứng với A qua tâm O thì AB được gọi là đường kính của mặt cầu (S).ABO& Một số ví dụ :* Ví dụ 1: Cho 2 điểm A,B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính ABGiải : Gọi I là trung điểm của AB,ta cĩ :Như vậy : MI = IA = ½ AB = RDo đĩ tập hợp các điểm M thỏa là mặt cầu đường kính AB* Ví dụ 2:( sgk )ABIHãy cho biết tâm và bán kính của mặt cầu đường kính AB ?& Một số ví dụ :* Ví dụ 1: Cho 2 điểm A,B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính ABGiải : Gọi I là trung điểm của AB,ta cĩ :Như vậy : MI = IA = ½ AB = RDo đĩ tập hợp các điểm M thỏa là mặt cầu đường kính ABABIHãy cho biết tâm và bán kính của mặt cầu đường kính AB ?Ví dụ 2:Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC)a/ Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, Db/ Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu nói trên.DABCGiải:a/ Ta có: DA (ABC)DA BCLại có: AB BCnên BC DB.Suy ra: DAC = DBC = 900Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DCb/ R = 5a 22OA D BCO2) Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ. Gọi H là h.chiếu của O /mp(P)Khi đó OH = d  O, mp(P) OHRTa xét các trường hợp sau :Khi đó mọi điểm M  (P) thì OM>OH. Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S) Vậy (S)  (P) = MNếu OH > R:POHRKhi đó điểm H  (S). M (P), M khác H . thì OM > OH = R . Vậy (S)  (P) = HMĐiểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)PNếu OH = R:Ta nói (S) và (P) tiếp xúc nhau tại điểm HMặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có mấy điểm chungKhi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu (S) theo một đ tròn C( H, r ) với r = R2 – d2 @ Khi d=0 thì (S)(P) = C (O;R)C(O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).Vậy (S)(P) = C(H,r)Nếu OH < R:Khi đó (P) và(S) có mấy điểm chung ?