Bài giảng Hình học 12 nâng cao bài 4: Thể tích của khối đa diện

KÍNH CHÀO QUÝ THẦY CÔ GIÁO THỂ TÍCH CỦABÀI 4CHƯƠNG I :KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNGLàm thế nào để đo thể tích của một Kim tự tháp ?Những Kim tự tháp thời kì đầu được xây vào khoảng 2750 trước công nguyên, chúng được gọi là Kim tự tháp bậc thang vì mỗi mặt của nó không thực sự là những tam giác mà tập hợp những bậc thang đá to lớn.ABCDDCBAA’B’C’D’1) Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.1) Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.Chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa diện có thể tích là một số dương, thỏa mãn các tính chất sau đây :1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1. SGK trang 23 : V1V2V1 = V21) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.V1V2ABCDA’B’C’D’MNPQM’N’P’Q’MNPQABCDV1 = V22) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.V = V1 + V2V1V2ABCDEFABCDEFABCDA’B’C’D’ABCDA’B’C’D’3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.1111 x 1 x 1 = 1 (đơn vị thể tích)ABCDA’B’C’D’Bài 4 :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNI. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?(SGK trang 23)Giả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước 8, 4, 3 như sau :Bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp, ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1.843Nếu gọi 1 (đơn vị thể tích) là thể tích khối lập phương có cạnh bằng 1 (đơn vị dài) thì thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước 8 x 4 x 3 bằng bao nhiêu ? Vì sao ?Làm sao ta có thể đếm được có bao nhiêu khối lập phương đơn vị như vậy ?V = 1 (đơn vị thể tích)Theo tính chất 2, thể tích V của khối hộp chữ nhật bằng tổng các thể tích của các khối lập phương nên thể tích của khối hộp chữ nhật trên bằng bao nhiêu ?Có bao nhiêu khối lập phương đơn vị trong khối hộp chữ nhật trên ?843Như vậy, trong trường hợp ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c đều là những số nguyên dương.Ta có công thức : V = a.b.cĐịnh lý 1 : Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích số của ba kích thước.Trong trường hợp a, b, c là những số dương tùy ý (không nhất thiết phải là số nguyên), người ta chứng minh được rằng công thức nói trên vẫn đúng. Như vậy một cách tổng quát, ta có :Chú ý : Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng a là : V = a3aABCDA’B’C’D’Bài 4 :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNI. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?(SGK trang 23)II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬTV = abcĐịnh lý 1 :(SGK trang 24)Ví dụ 1 :(SGK trang 24)Ghi chú : Thể tích khối lập phương :V = a3ABCDSS’HMNVí dụ 1 : Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S’, A, B, C, D.Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương. Bài giải :ABCDSS’HMNSBCDS’MNIJKGPQAVí dụ 1 : Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a. Bài giải :Ví dụ 1 : Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a. Bài giải :Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S’, A, B, C, D.Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương.Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm của AB và BC thì M và N lần lượt nằm trên SM’ và SN’ nên :MàVậyABCDSS’HMM’N’NCho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng a và b. Tính thể tích của khối lăng trụ đó. ?1 Bài giải :AA’CBC’B’abhGiả sử ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đã cho.Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.D’DKhi đó, phép đối xứng qua đường thẳng OO’ biến khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành khối lăng trụ DCB.D’C’B’.Khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (với các kích thước a, b, h) có thể tích gấp đôi thể tích khối lăng trụ đã cho.Vậy thể tích của khối lăng trụ là :OO’Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng a và b. Tính thể tích của khối lăng trụ đó. ?1 Cách khác :AA’CBC’B’abhVậy thể tích của khối lăng trụ là :C  B1B  C1C’ B’1B’  C’1A1A1’Giả sử ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đã cho.Ghép khối lăng trụ đã cho ABC.A’B’C’ với khối lăng trụ A1B1C1.A1’B1’C1’ bằng nó sao cho :Khi đó, ta được hình hộp chữ nhật ABA1C.A’B’A1’C’ có thể tích gấp đôi thể tích khối lăng trụ đã cho.B1  C, C1  B, B1’  C’, C1’  B’,A1  (ABC), A1’  (A’B’C’). Định lý 2 : Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.V = Sđáy .hV = B .hhay Sđáy hay B : diện tích mặt đáy. h : chiều cao của khối chóp (h là khoảng cách từ đỉnh của khối chóp tới mặt phẳng chứa đáy của khối chóp)ABCDHhChú ý :V = AB.BC.CD Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một thì có : Tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD vuông góc với nhau từng đôi một thì có :V = SA.SB.SCCSABABCDBài 4 :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNI. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?(SGK trang 23)II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬTV = abcĐịnh lý 1 :(SGK trang 24)Ví dụ 1 :(SGK trang 24)III. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓPĐịnh lý 2 :(SGK trang 25)Ví dụ 2 :(SGK trang 25)V = Sđáy .hV = B.hhayVí dụ 3 :(SGK trang 26)Ghi chú : Thể tích khối lập phương :V = a3Ghi chú : Tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc :Tứ diện ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc :V = AB.BC.CDV = SA.SB.SCABDCVí dụ 2 : Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a. Bài giải :HXét tứ diện đều ABCD cạnh a, có đỉnh là A và đáy là tam giác đều BCD có cạnh bằng a.Vì BCD đều nên ta có : SBCD = Gọi H là tâm của tam giác đều BCD, vì ABCD là hình tứ diện đều nên AH vuông góc mp(BCD)  AH là đường cao của hình chóp.VậyVí dụ 3 : Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a. Bài giải :Xét khối tám mặt đều ABCDEF cạnh a.Gọi AO là chiều cao của khối chóp E.ABCD. Ta có :VậyABCDEFChia khối tám mặt đều này thành hai khối chóp tứ giác đều E.ABCD và F.ABCD cạnh a.OTính thể tích khối chóp E.ABCDTính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h. ?2Để giải bài toán, ta trả lời ba câu hỏi sau :a) Chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng (A’BC’) và (A’BC), hãy kể tên ba khối tứ diện đó.b) Chứng tỏ rằng ba khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.c) Từ đó suy ra công thức V = S.h. Hãy phát biểu thành lời công thức đó.AA’CBC’B’Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h. ?2AA’CBC’B’a) Chia khối lăng trụ thành ba khối tứ diện đó là : A’.ABC, B.A’B’C’ và A’.BCC’.b) Hai khối tứ diện A’.ABC và B.A’B’C’ có hai mặt đáy bằng nhau (ABC = A’B’C’) và hai chiều cao bằng nhau (đều bằng chiều cao h của khối lăng trụ) nên chúng có thể tích bằng nhau.Hai khối tứ diện A’.BB’C’ và A’.BCC’ có diện tích đáy bằng nhau (BB’C’ = BCC’) và chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách từ A’ đến mp(BCC’B’)) nên chúng có thể tích bằng nhau.Vậy thể tích ba khối tứ diện nói trên bằng nhau.Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h. ?2c) Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được phân chia thành ba khối tứ diện có thể tích bằng nhau A’.ABC, B.A’B’C’ và A’.BCC’.Suy ra thể tích khối lăng trụ bằng ba lần thể tích khối chóp A’.ABC.AA’CBC’B’VABC.A’B’C’ = 3.VA’.ABC = 3. SABC.h = S.hVậy thể tích khối lăng trụ tam giác bằng tích số diện tích đáy và chiều cao.VABC.A’B’C’ = Sđáy .h Xét khối lăng trụ có đáy là một đa giác bất kì. Vì bất kì đa giác nào cũng có thể phân chia được thành các tam giác không có điểm trong chung nên có thể phân chia khối lăng trụ đó thành các khối lăng trụ tam giác có cùng chiều cao.Tổng các thể tích của chúng chính là thể tích của khối lăng trụ ban đầu.Định lý 3 : Thể tích của một khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối lăng trụ đó.ABCDEA’B’C’D’E’Từ đó suy ra định lý sau đây :ABA’CVí dụ 4 : Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (MNC’) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của 2 phần đó. Bài giải :Vì hai khối chóp C’.MNBA và C’.MNB’A’ có cùng chiều cao và có mặt đáy bằng nhau nên VC’.MNBA bằng VC’.MNB’A’ B’MC’Gọi V là thể tích của khối lăng trụ.NVậy tỉ số thể tích hai phần được chia là :Bài 4 :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNI. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?(SGK trang 23)II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬTV = abcĐịnh lý 1 :(SGK trang 24)Ví dụ 1 :(SGK trang 24)III. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓPĐịnh lý 2 :(SGK trang 25)Ví dụ 2 :(SGK trang 25)V = Sđáy .hV = B.hhayIV. THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤBài toán :(SGK trang 26)Định lý 3 :(SGK trang 27)Ví dụ 4 :(SGK trang 27)Ví dụ 3 :(SGK trang 26)Ghi chú : Thể tích khối lập phương :V = a3V = Sđáy .hV = B.hhayGhi chú : Tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc :Tứ diện ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc :V = AB.BC.CDV = SA.SB.SC Câu 1 : Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của (H) bằng :CÂU HỎI TRẮC NGHIỆMTHỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNHÌNH HỌC 12 Câu 2 : Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập phương đó là :a) 64b) 91c) 84d) 48 Câu 3 : Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích của nó tăng lên :a) k lầnb) k2 lầnc) k3 lầnd) 3k3 lầnBài 4 :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNỨng dụng trong đời sống thực tế.Bài 4 :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNỨng dụng trong đời sống thực tế.Làm thế nào để đo thể tích của một Kim tự tháp ?Để tìm thể tích của Kim tự tháp chỉ còn cách là tính tổng thể tích của từng bậc hay mỗi tầng, với mỗi tầng là một khối hình hộp chữ nhật được tập hợp bởi các khối lập phương.Xét một Kim tự tháp với cạnh đáy bằng 10 và chiều cao bằng 10. Đỉnh là một khối lập phương và các tầng là là một khối hình hộp chữ nhật được tập hợp bởi các khối lập phương.cạnh đáy = chiều caocạnh đáy = 1 + 1 = 2cạnh đáy = 1 + 1 + 1 = 3101010Thể tích của tầng trên cùng là : V1 = B.h = (12).1 = 1cạnh đáy = chiều caocạnh đáy = 1 + 1 = 2cạnh đáy = 1 + 1 + 1 = 3101010Thể tích của tầng thứ hai là : V2 = B.h = (22).1 = 4Thể tích của tầng thứ ba là : V3 = B.h = (32).1 = 9Cứ tiếp tục theo cách này thì thể tích của kim tự tháp là :101010Ta xét một Kim tự tháp khác với cạnh và chiều cao bằng Kim tự tháp trước nhưng có 100 bậc thay cho 10 bậc. Khi đó, chiều cao mỗi tầng là và thể tích mỗi tầng là như sau : B.h101010Thể tích của tầng đỉnh =Thể tích của tầng thứ hai =Thể tích của tầng thứ ba =101010. . . Thể tích của tầng thứ 99 =Thể tích của tầng thứ 100 =. . . Vậy thể tích là : V = 6 dm6 dm6 dmMột cái hộp có kích thước bên ngoài mỗi cạnh bằng 6dm. Những mặt bên và mặt đáy của cái hộp có độ dầy bằng 1/4 dm. Cần bao nhiêu thể tích cát để lấp kín cái hộp ngang với bề mặt đỉnh hộp ?Một khối được tạo bởi 100 khối lập phương nhỏ. Sáu mặt ngoài của khối là màu xanh. Có bao nhiêu khối lập phương nhỏ có :1) Một mặt màu xanh.2) Hai mặt màu xanh.3) Ba mặt màu xanh.4) Không có mặt màu xanh.Hình sau gồm các hình lăng trụ đứng. Hãy tính thể tích của nó với các kích thước được cho trên hình.733156_ Làm các bài tập 4 đến 6 trang 31 sách Hình học 12.DẶN DỊ_ Làm các bài tập 15 đến 25 trang 27 đến trang 29 sách Hình học 12._ Làm hoàn chỉnh các ví dụ 1, 2, 3, 4 từ trang 24 đến trang 27 sách Hình học.BÀI TẬP HÌNH HỌC 12XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN CÁC THẦY, CƠ GIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINH