Bài giảng Hình học lớp 12 - Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Chương II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU Bài 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAYGiáo viên: Nguyễn Công HuyTT khối chóp:B: là diện tích của mặt dáy.h: là chiều cao của khối chóp hay khối lăng trụ.r: là bán kính của đường tròn.Trả lời:1.Nhắc lại công thức tính thể tích khối chóp ?2.Nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ ?V = Bh3. DT hình tròn:2. TT khối lăng trụ:3.Công thức tính diện tích của hình tròn?Bài 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY(1). Mặt tròn xoay có hình dạng như thế nào? Có gặp trong đời sống hay không? Và trong thực tế người ta tạo ra chúng như thế nào?I - SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAYBài 1.kh¸i niÖm vÒ mÆt trßn xoay 1. Hình dạng của mặt tròn xoay thường gặp trong đời sống: B×nh gèmChi tiÕt m¸yNãnViªn ®¹nChén bátCái cốc2. Trong thực tế người ta tạo ra chúng như thế nào?- NhiÒu ®å gèm cã d¹ng trßn xoay, chóng ®­îc t¹o ra nhê cã bµn xoay vµ ®«i bµn tay khÐo lÐo cña ng­êi thî gèm.(2). Mặt tròn xoay được hình thành như thế nào trong lý thuyết?Trong không gian cho mp(P) chứa đường thẳng Δ và một đường cong C. Khi quay mp (P) quanh đường thẳng Δ một góc 360 thì mỗi điểm M trên C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc Δ và nằm trên mp vuông góc với Δ. Như vậy khi quay mp (P) quanh đường thẳng Δ thì đường cong C sẽ tạo nên một hình gọi là mặt tròn xoay.Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng Δ được gọi là trục của mặt tròn xoay.2.2- §­êng sinh vµ trôc cña mÆt trßn xoay:§­êng sinhTrôc(C)Δ Một số đồ vật mà mặt ngoài có hình dạng là các mặt tròn xoayNón láBình gốmViên đạnChi tiết máyCái cốcChén bátTrong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và Δ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β với 0 < β < 90. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 2 β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. II. MẶT NÓN TRÒN XOAY1. Định nghĩaβΔ2.3MN tron xoayOMIa. Cho tam gi¸c OIM v«ng t¹i I. Khi quay tam giác OIM quanh OI:- §o¹n IM v¹ch ra mét h×nh trßn gäi lµ mÆt ®¸y cña h×nh nãn (khèi nãn)- §o¹n OM v¹ch ra phÇn mÆt trßn xoay gäi lµ mÆt xung quanh cña h×nh nãn (khèi nãn)- §iÓm O gäi lµ ®Ønh cña h×nh nãn (khèi nãn)- §é dµi ®o¹n OI gäi lµ chiÒu cao cña h×nh nãn (khèi nãn)- §é dµi ®o¹n OM gäi lµ ®é dµi ®­êng sinh cña h×nh nãn (khèi nãn) 2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.N.Điểm trongF.Điểm ngoàilà phần không gian đựợc giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.+ Khối nón tròn xoay gọi tắt là khối nón.b. Khối nón tròn xoay- Nhắc lại KN về khối đa diện? - Liên hệ với khối nón tròn xoay?Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện kể cả hình đa diện đó.a. Một hình chóp được gọi là nội tiếp hình nón nếu đa giác đáy của hình chóp nội tiếp đáy đường tròn của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó ta nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.3. diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay(?) Một đa giác nội tiếp một đường tròn khi nào?Một đa giác nội tiếp một đường tròn khi tất cả các đỉnh của nó nằm trên đường tròn đó.Định nghĩa:Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.b. Công thức tính diện tích xung quanh của hình nónDiện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức:Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích độ dài của đường tròn đáy và độ dài đường sinh.Diện tích toàn phần là diên tích xung quanh và diện tích của hình tròn đáy.r: là bán kính đường tròn đáyl: là đường sinhChú ý: + Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó. 2.5a. Định nghĩa4. Thể tích khối nón tròn xoayThể tích khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.b. Công thức tính thể tích khối nón tròn xoayTa biết thể tích khối chóp là:B: là diện tích của mặt dáy.h: là chiều cao của khối chóp.Thể tích của khối nón tròn xoay được tính theo công thức sau:B: là diện tích hình tròn đáy của khối nónh: là chiều cao của khối nón.Khi đó thể tích của khối nón tròn xoay là Nếu hình tròn đáy có bán kính r thì r: là bán kính đường tròn đáyh: là chiều cao của khối nóna) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó.b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên 	bởi hình nón tròn xoay nói trên.5. Ví dụTrong không gian cho tam giác OIM vuông tại I , góc 	 và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình nón tròn xoay.GiảiOMIa) Tính diện tíchXem kỹ đề bài và hình vẽ, hãy cho biết:(i). Mặt đáy của khối nón là hình tròn có bán kính là đoạn nào? (ii). Đường nào gọi là đường sinh?(iii). Tính độ dài đường sinh?Bán kính là đoạn: IM = a Đường sinh là OMTam giác OIM vuông tại I, nên ta có:(iv). Nhắc lại công thức tính diện tích xung quanh của 	hình nón?Diện tích xung quanh của hình nón là:r: là bán kính đường tròn đáy.l: là đường sinh.Thay các giá trị vừa tìm được của bán kính và đường sinh vào để tính diện tích nàyTa được:Nhắc lại công thức tính thể tích của khối nón ?b) Tính thể tíchThể tích của khối nón tròn xoay là r: là bán kính đường tròn đáy.h: là chiều cao của khối nón.Như vậy trong câu này ta cần tìm yếu tố nào ?Ta cần tìm chiều cao hNhìn vào hình vẽ ta thấy h là bằng đoạn nào ?h = OITam giác OIM vuông tại I nên ta cóđiều gì (theo định lý Pitago)?Vậy thể tích cần tìm làIII. MẶT TRỤ TRÒN XOAY1. Định nghĩaTrong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó. Δlrr2.82. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoayDABCa) Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB, thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ (xem hình vẽ)ΔDABC+ Bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.Khi quay quanh AB:+ Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ+ Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.+ Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.+ Đoạn AB khoảng cáh giữa hai mặt đáy là chiều cao của hình trụ.b) Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.Camera hình trụ+ Khối trụ tròn xoay gọi tắt là khối trụ.3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoaya) Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ.Khi đó ta nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.rlb) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ. Gọi p là chu vi đáy của hình lăng trụ nội tiếp hình trụThì diện tích tích xung quanh của hình lăng trụ đều là: 	rlh là chiều cao của hình lăng trụKhi đó diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức:Vậy: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.Độ dài đường tròn đáy là 2 rĐộ dài đường sinh là lChú ý: +Tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy là diện tích toàn phần của hình trụ:+Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.+Nếu cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và một cạnh bằng chu vi đường tròn đáy. Dộ dài đuờng sinh l bằng chiều cao h của hình trụ. Khi đó diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ.rl2 rrr4. Thể tích của khối trụ tròn xoaya) Định nghĩab) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoayThể tích khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.V = BhNhắc lại thể tích của khối lăng trụ?B là diện tích đáy của khối lăng trụh là chiều cao của khối lăng trụ.Thể tích của khối lăng trụ:Như vậy nếu đáy có bán kính bằng r thì khi đó thể tích của khối trụ: 5. Ví dụTrong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đób) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.Giảia) Tính diện tíchNhắc lại công thức tính diện tích xung quanh của khối trụ tròn xoay?AIBCDaHDiện tích xung quanh của khối trụ tròn xoay:r là bán kính đường tròn đáy l là đường sinh. AIBCDaHTheo đề bài thì r bằng gì?Và l bằng gì?l = aKhi đó: b) Thể tích khối trụ tròn xoay được tính theo công thức:r là bán kính đường tròn đáy h là chiều cao của khối trụ.Thể tích khối trụ tròn xoay được tính theo công thức nào?Vậy ta có: Qua bài học các bạn cần:+ Biết được mặt tròn xoay được tạo thành như thế nào.+ Nắm vững các yếu tố của mặt tròn xoay, như: đường sinh, trục, đỉnh, mặt đáy.+ Biết phân biệt các khái niệm:- Mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.- Mặt trụ tròn xoay, hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay.+ Nắm đựơc các công thức:- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay:- Thể tích của khối nón tròn xoay:- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay:- Thể tích của khối trụ tròn xoay:Bài tập về nhà: 2, 3, 5 trang 39.