Bài giảng Hình học lớp 12: Phương trình mặt phẳng

Câu hỏi: Phát biểu các tính chất của tích có hướng Tính tích có hướng của hai vectơ và §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Định nghĩa:Vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với Chú ý1. Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì vectơ 	 cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. 2. Nếu hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì vectơ là một vectơ pháp tuyến của Hai vectơ nói trên được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳngVí dụ. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;-4;5), B(0;2;-1) và C(1;1;2). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).Giải Vì là một cặp vectơ chỉ phương của mp(ABC) Nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).3. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNGBài toán 1Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng đi qua điểm  và nhận làm vectơ pháp tuyến. Tìm điều kiện cần và đủ để điểmGiải Ta có PT (1) chính là điều kiện cần và đủ để điểm Bài toán 2Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x;y;z) thỏa mãn phương trình (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến.Định nghĩaPhương trình có dạng (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.Nhận xét Nếu mặt phẳng có phương trình 	 thì nó có một vectơ pháp tuyến là Phương trình mặt phẳng đi qua điểm có một VTPT là Ví dụ. Viết phương trình của mặt phẳng Đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến. Đi qua điểm A(1;0;-3) và vuông góc với đường thẳng MN với M(2;-2;1), N(2;2;5).Đi qua điểm A(1;1;-3) và có cặp vectơ chỉ phương Đi qua ba điểm A(0;1;-1), B(-2;0;1) và C(2;3;-6).GiảiMặt phẳng đi qua điểm M(-3;2;1) có một VTPTcó PT là: Mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;-3) có một VTPT có PT là:Ta có là một VTPT của mặt phẳng Mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;-3) có 1 VTPT Có PT là: Ta có 	 là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Suy ra là một VTPT của Mặt phẳng đi qua điểm A(0;1;-1) có 1 VTPT có PT là 2. Các trường hợp riêngTrong không gian Oxyz cho mặt phẳng a. Nếu thì đi qua gốc tọa độ.b. Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn A=0 thì song song hoặc chứa trục Ox.c. Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn thì song song hoặc trùng với mặt phẳng (0xy).??? Hãy cho biết vị trí tương đối củaĐiểm O và mp(P): -3x+2y+4z=0;Trục Ox và mp(Q): 2x+6y-5=0;Trục Ox và mp(R): 3y-5z=0;mp(Oxy) và mp(S): -4z+7=0.Nhận xétNếu cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với thì phương trình còn được viết dưới dạng Phương trình trên được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(2;0;0), N(0;-3;0), P(0;0;1).GiảiÁp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta cóHay KiẾN THỨC CẦN NHỚVectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với Hai vectơ không cùng phương được gọi là một cặp vectơ chỉ phương của một mặt phẳng nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng đó.Nếu là một cặp VTCP của thì là một VTPT củaPhương trình mặt phẳng đi qua điểm có một VTPT là