Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓCNHẬN XÉTĐỊNH NGHĨAVÍ DỤ1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG1. Góc giữa hai đường thẳngVấn đề đặt ra: Cho hai đường thẳng d1, d2 bất kỳ trong không gian. Hãy xác định góc giữa d1, d2?Giải quyết vấn đề: Ta chỉ biết tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng. Đó là với hai đường thẳng a, b cắt nhau, góc nhỏ nhất tạo bởi hai đường thẳng a, b chính là góc giữa hai đường thẳng đó.Do đó để tính góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian, ta quy về tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng bằng cách:Chọn một điểm O nào đó (có thể thuộc d1 hoặc d2) và dựng hai đường thẳng d1’, d2’ lần lượt song song (hoặc trùng) với d1, d2. Ta thấy khi O thay đổi thì góc giữa d1’ và d2’ không đổi (do góc có cặp cạnh tương ứng song song) và đó chính là góc giữa d1 và d2.Od1d2TH1: d1 cắt d2TH2: d1 song song d2d1d2Od2’TH3: d1 & d2 chéo nhaud1d2Od1’d2’ĐN1: (SGK 92)NHẬN XÉT: a) Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900b) Nếu góc giữa hai vectơ chỉ phương của d1, d2 là thì: 1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNGVÍ DỤ:Giải:Vì SA = SC = AC nên SAC là tam giác đều. Do đó: suy ra:Ta có: BC2 = AB2 + AC2 nên tam giác ABC vuông tại ATa có:VÍ DỤ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = . Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC.Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Hãy tính góc của hai đường thẳng AB và CD biết AB = CD = 2a; MN = Giải:Gọi P là trung điểm BD.Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có:Từ đó suy ra: (AB,CD) = (MP, NP)Vậy: (AB,CD) = 600.2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓCĐN2: (SGK93). Kí hiệu: NHẬN XÉT:H1: Ta có: (do A’B’C’D’ là hình thoi) nên H2: Ta có: Vậy AB và PQ vuông góc nhau.Chú ý: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau ta có 2 cách theo nhận xét.Giải: Ta có: Vậy: Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có CMR:Ví dụ 4: Cho các tam giác đều ABC và ABC’ (C và C’ không cùng thuộc một mặt phẳng). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, CB, BC’, C’A. CMR:b) MNPQ là hình chữ nhật.Giải:Vậy AB vuông góc CC’.b) Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có:Suy ra MNPQ là hình bình hành (1)Mặt khác:Từ (1) &(2) suy ra MNPQ là hình chữ nhật