Bài giảng môn Toán 11 - Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ	I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ	TẠI MỘT ĐIỂM1.Định nghĩaHoạt động 1:Xét hàm số 1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số (xn), xn1 như trong bảng sau:xx1=2x2=x3=x4=xn=1f(x)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(xn)?Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm sốf(x1), f(x2), , f(xn),.Cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)).Chứng minh rằng f(xn) = 2xn=Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)).2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì (xn), xn≠1 và xn1, ta luôn có f(xn)2.(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số có giới hạn là 2 khi x dần tới 1)Dưới đây, thay cho các khoảng (a;b), (a; ), ( ;b), ta viết chung là khoảng K.ĐỊNH NGHĨA 1Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số f= f(x) xác định trên K hoặc trên K\{xo}.Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới xo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K\{xo} và viết xnx0, ta có f(xn) L.Kí hiệu: lim hay f(x) L khi x  x0Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) =  Chứng minh rằng Giải. Hàm số đã cho xác định trên R\{-2}.Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn -2 và xn -2 khi 	n Ta có:Do đó(Lưu ý rằng, mặc dầu f(x) không xác định tại x= -2, nhưng hàm số lại có giới hạn là -4 khi x  -2).NHẬN XÉT	với c là hằng số.Ta thừa nhận định lí sau đây.Định lí 1Giả sử và . Khi đób)Nếu f(x) 0 và , thì	L 0 và (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với )Ví dụ 2. Cho hàm số TìmGiải. Theo định lí 1 ta cóVí dụ 3. TínhGiải.Vì (x-1) 0 khi x 1 , nên ta chưa thể áp dụng định lí 1 nêu trên .Nhưng với ta có Do đó :3. Giới hạn một bênTrong Định nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi xx0. Giá trị xn có thể lớn hơn hay nhỏ hơn x0.Nếu ta chỉ xét các dãy (xn) mà xn luôn lớn hơn x0 (hay luôn nhỏ hơn x0), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên như dưới đây.ĐỊNH NGHĨA 2Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b).số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi xx0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0xn>a và xn x0, ta có f(xn) L. Kí hiệu:Ta thừa nhận định lí sau đây.ĐỊNH LÍ 2 	 khi và chỉ khi Ví dụ 4. Cho hàm số Tìm (Nếu có ) Giải. Ta có ,Như vậy, khi x dần tới 1 hàm số y=f(x) có giới hạn bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7. Tuy nhiên, không tồn tại vì Hoạt động 2Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ở ví dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là -2 khi x1?HƯỚNG DẪN VỀ NHÀLàm bài tập SGK