Bài giảng môn Toán 11 - Tiết 2: Hai đường thẳng song song

§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Kiểm tra bài cũ :1) Em hãy nêu các tính chất thừa nhận của hình học không gian ?2) Em hãy nêu điều kiện xác định mặt phẳng ?TC1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước TC 2 : Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước TC 3 : Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng TC 4 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó .TC 5 : Trong mỗi mặt phẳng , các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng Điều kiện xác định mặt phẳng :Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng , hoặc biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó , hoặc biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau .§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :acbCho các đường thẳng a, b, c chứa các cạnh của hình lập phương như hình vẽ bên . Hãy trả lời các câu hỏi sau :1. Đường thẳng a và b có cùng nằm trên một mặt phẳng không ?2. Có mặt phẳng nào chứa hai đường thẳng a và c hoặc chứa hai đường thẳng b và c hay không ?Như vậy :khi cho hai đường thẳng phân biệt a, b trong không gian thì có thể xảy ra hai trường hợp :Th1 : Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b . Khi đó ta nói hai đường thẳng a và b chéo nhau abTH2: Có mp chứa cả a và b . Khi đó ta có :a và b không có điểm chung . Ta nói a và b song song với nhau và kì hiệu : a // bababI- a và b có điểm chung duy nhất . Ta nói a và b cắt nhau .Nếu giao điểm của chúng là I thì ta viết : hoặcBài 17 : Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây :A. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chungB. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhauC. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhauD. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhauĐSSĐĐịnh nghĩa :Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong 1 mặt phẳng Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳngHai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung Cho tứ diện ABCD . Hãy xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng AB và CD Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau . Có hay không hai đường thẳng p, q song song với nhau , mỗi đường đều cắt cả a và b ABCDabpqAB và CD chéo nhauKhông có p, q thoả mãn . Vì nếu tồn tại p, q thì chứng tỏ a, b đồng phẳng , trái giả thiết2. Hai đường thẳng song song :AdEm hãy cho biết : qua điểm A có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng d ?Có duy nhất một đường thẳng qua điểm A và song song với đường thẳng d TC1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó .Cho 3 đường thẳng a, b, c . Nếu a // cvà b // c thì em kết luận gì về vị trí tương đối giữa a và b ? acbTC2 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhauQRPabcQPRabcGiả sử (P), (Q), (R) là ba mặt phẳngđôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c , trong đó : Có những vị trí tương đối nào giữa hai giao tuyến a và b ?Em hãy chứng tỏ rằng , ba giao tuyến a, b, c hoặc đồng quy hoặc đôi một song song Nếu 2 trong 3 giao tuyến cắt nhau : chẳng hạn a và b cắt nhau tại O , thì vì O nằm trên a nên O nằm trên (P). Mặt khác vì O nằm trên b nên O nằm trên (Q) . Vậy O phải nằm trên giao tuyến c của (P) và (Q) , nghĩa là 3 giao tuyến a, b, c đồng quy - Nếu 2 trong 3 giao tuyến đó song song : chẳng hạn a //b, khi đó a và c không thể cắt nhau , b và c không thể cắt nhau vì nếu chúng cắt nhau ta trở về trường hợp a, b, c đồng quy ở trên . Do đó a // c, b // cĐịnh lí : Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó ( hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó ) CM : Giả sử (P) chứa a , (Q) chứa b và a //b , gọi c là giao tuyến của (P) và (Q) , (R) là mặt phẳng qua a và b . Nếu (P) hoặc (Q) chứa cả a và b thì giao tuyến c của chúng sẽ trùng với a hoặc b Nếu (P) và (Q) chỉ chứa 1 trong 2 đường thẳng a hoặc b thì 3 mặt phẳng (P) , (Q) và (R) cắt nhau từng đôi một theo các giao tuyến a, b, c . Trong đó a // b , suy ra a // c và b // c . 3. Một số ví dụ : Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD . Chứng minh ba đoạn MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn . Điểm G đó gọi là trong tâm của tứ diện ABCD đã cho .ABCDMNPQRSGCM : Dễ dàng chứng minh được tứ giác MPNQ là hình bình hành . Do đó , MN cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường . Chứng minh tương tự , thì MN cũng cắt RS tại trung điểm của mỗi đường . Suy ra đpcm Ví dụ 2 : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành a. Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD) b. Xác định thiết diện của hình chóp SABCD khi cắt bởi mp(MBC) , trong đó M là 1 điểm nằm giữa 2 điểm S và A .ABCDSdMNTa có: 2 mp (SAB) và (SCD) lần lượt chứa 2 đường thẳng AB và CD song song với nhau vàcó S là điểm chung của chúng ,nên giao tuyến của chúng là đường thẳng qua S và song song với ABTa có:2 mp (MBC) và (SAD)lần lượt chứa 2 đường thẳng BC và AD song song với nhau và có S là điểm chung củachúng ,nên giao tuyến của chúng là đường thẳng qua M và song song với AD,cắt SD tại N. Vậy thiết diện cần tìm là hình thang MNCB