Bài giảng môn Toán học 11 - Bài 6: Phép vị tự

David Hilbert (1862-1943) Đây là nhà toán học nổi tiếng người ĐứcAi ®©y nhØ ?Bài 6. Phép vị tựPHÉP DỜI HÌNH:V(O,k) : M M’V(O, ) : M’ MPhép vị tự V(O,k) biến điểm O thành điểm nào? 1. ĐỊNH NGHĨACho điểm O cố định và một số k không đổi, k  0. Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM’ = kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số kKí hiệu: + Phép vị tự V. + V(O, k) : phép vị tự tâm O, tỉ số kVậy : M’ = V(O,k)(M)  OM’ = kOM Phép vị tự được xác định khi nào ? MM’OOM’=2OMV(O,k) : M M’V(?,?) : M’ MPhÐp vÞ tù§ 6.1. ĐỊNH NGHĨAHình 19OMM’M1O1H ‘H H 1 Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 và phép vị tự tâm O1 tỉ số k = biến hình H lần lượt thành hình H ’ và hình H 1.?. Cho M’ = V(O, k) (M) .+ Nếu k > 0 thì em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa M’, M và O ?+ Nếu k < 0 thì sao ? Nhận xét: k = 1: Phép vị tự V(O, k) ? k = -1: Phép vị tự V(O, k) ? Phép đồng nhất Phép đối xứng tâm OPhÐp vÞ tù§ 6.tg1. ĐỊNH NGHĨA Ví dụ: Cho ΔABC có E là trung điểm BC và G là trọng tâm.a) Xác định các khẳng định đúng: 1) V(B,2) biến điểm C thành điểm E. 2) V(E,-1) biến điểm B thành điểm C. 3) V(B,2) biến điểm E thành điểm C.AECBGb) Xác định tỉ số vị tự của phép vị tự tâm A biến điểm E thành điểm Gc) Xác định phép vị tự biến điểm A thành điểm E.PhÐp vÞ tù§ 6.V(G, ) 2. TÍNH CHẤTPhÐp vÞ tù§ 6.a) Định lí 1:1 Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến 2 điểm M và N lần lượt thành 2 điểm M’ và N’ thì :vàGợi ý chứng minh: Từ V(O,k)(M)=M’; V(O,k)(N)=N’ nên theo định nghĩa ta có điều gì ? Biểu diễn vectơ M’N’ theo vectơ MN như thế nào ? Từ đó hãy trình bày chứng minh toán học ? Hãy viết giả thiết, kết luận của định lí ?2. TÍNH CHẤTPhÐp vÞ tù§ 6.b) Định lí 2:2 Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa 3 điểm thẳng hàng đó.Gợi ý chứng minh: Giả sử phép vị tự V(O,k) biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) thành 3 điểm A’, B’, C’. Chứng minh A’,B’,C’ thẳng hàng (B’ nằm giữa A’ và C’) ? Chứng minh rằng B’A’ = m. B’C’ (với m < 0) ? Dựa vào giả thiết, trình bày chứng minh định lí trên ?2. TÍNH CHẤTPhÐp vÞ tù§ 6. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. Biến tia thành tia. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân với |k|. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|.R Biến góc thành góc bằng nó.c) Hệ quả:chPhép vị tự tỉ số k :Những đường thẳng nào biến thành chính nó qua phép vị tự tỉ số k  1 ?Những đường tròn nào biến thành chính nó qua phép vị tự tỉ số k  1 ?hqI’I3. ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP VỊ TỰ1 Cho phép vị tự V(O, k) biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I’,R’) (như hình vẽ). Vẽ đường thẳng d qua tâm vị tự O, cắt đường tròn (I, R) tại A và B, cắt đường tròn (I’, R’) tại C và D. Các điểm A, B được biến thành các điểm nào qua phép vị tự đó ? và giải thích tại sao ? Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (I, R) thì d có tiếp xúc với đường tròn (I’, R’) ? Nhận xét gì về các tiếp điểm ? Câu hỏi:?ODCATBT’PhÐp vÞ tù§ 6.4. TÂM VỊ TỰ CỦA 2 ĐƯỜNG TRÒNPhÐp vÞ tù§ 6. Phép vị tự V(O, k) biến đường tròn thành đường tròn. Xét vấn đề ngược lại: Cho trước 2 đường tròn, có thể tìm được một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia hay không? Bài toán 1: Cho 2 đường tròn (I;R) và (I’;R’) phân biệt. Hãy tìm các phép vị tự biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’).Hướng dẫn: Xét phép vị tự V(O, k) biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I’, R’). Hãy cho biết mối liên hệ giữa k, R, R’ ? mối liên hệ giữa OI , OI’? Từ đó hãy xác định phép vị tự V(O, k) ?4. TÂM VỊ TỰ CỦA 2 ĐƯỜNG TRÒNPhÐp vÞ tù§ 6. TH1: I ≡ I’, R  R’.Lời giải:M1’OMRM2’R’ Nhận xét : tâm vị tự O trùng với I . Có 2 phép vị tự biến đtròn (I;R) thành đtròn (I’;R’) là: Phép vị tự V1 : tâm I tỉ số k =RR’ Phép vị tự V2 : tâm I tỉ số k = -RR’4. TÂM VỊ TỰ CỦA 2 ĐƯỜNG TRÒNPhÐp vÞ tù§ 6. Nhận xét : Có 1 phép vị tự biến đtròn (I;R) thành đtròn (I’;R’) là: TH2: I ≡ I’, R = R’.M’II’MOmà OI’ = k OI suy ra k = -1 và O là trung điểm đoạn thẳng II’ Phép vị tự V : tâm O tỉ số k = -14. TÂM VỊ TỰ CỦA 2 ĐƯỜNG TRÒNPhÐp vÞ tù§ 6. Cách dựng : Có 2 phép vị tự biến (I)  (I’) là: TH3: I ≡ I’, R  R’.II’M’’MO1 Kẻ đường nối tâm I và I’. Lấy M thuộc (I;R) và kẻ I’M’ // IM Nối M với M’ cắt II’ tại tâm vị tự O1 hoặc O2M’O2 V2: tâm O2, tỉ số k2 = -RR’ V1: tâm O1, tỉ số k1 = RR’5. ỨNG DỤNGPhÐp vÞ tù§ 6. Bài toán 2: Cho ∆ABC có hai điểm B, C cố định còn đỉnh A chạy trên đường tròn (O, R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của ∆ABC ? Yếu tố cố định: đtròn (O;R), điểm B, C. Yếu tố di chuyển: điểm A, G. Phân tích:OGBCA Gợi ý: Gọi I trung điểm của BC và G là trọng tâm ∆ABC. Tìm mối liên hệ của Hãy xác định phép vị tự biến điểm A thành điểm G ?Ibt25. ỨNG DỤNGPhÐp vÞ tù§ 6. Bài toán 3: Gợi ý: Gọi A’,B’,C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB của ∆ABC. Cho ∆ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đtròn ngoại tiếp O Chứng minh GH = -2GO . Qua V(G,-2) điểm O biến thành điểm nào ? Vì sao ? từ đó suy ra kết luận của bài toán. Chứng minh O là trực tâm của ∆ABC ? Tìm ảnh của ∆A’B’C’ qua V(G,-2) ?Gọi O’ là tâm đtròn ngoại tiếp ∆A’B’C’. Tìm ảnh của O’ qua V(G,-2) ?bt3Ho¹t ®éng cñng cèC©u 1: C¸c mÖnh ®Ò to¸n häc sau ®©y ®óng hay sai:a) Mäi phÐp vÞ tù ®Òu lµ phÐp dêi h×nh.c) Mäi phÐp vÞ tù ®Òu biÕn ®­êng trßn thµnh ®­êng trßn cã cïng b¸n kÝnh.b) Hai ®­êng trßn bÊt k× lu«n cã t©m vÞ tù.d) PhÐp vÞ tù biÕn ®­êng th¼ng thµnh ®­êng th¼ng song song hoÆc trïng víi nã.S§S§C©u 2: Hoµn thµnh c¸c mÖnh ®Ò to¸n häc sau ®Ó ®­îc mÖnh ®Ò ®óng.a) Mäi phÐp vÞ tù ®Òu biÕn t©m vÞ tù thµnh.chÝnh nã.b) Khi k=1 phÐp vÞ tù chÝnh lµ phÐp ®ång nhÊt.®èi xøng qua t©m vÞ tù.c) Khi k=-1 phÐp vÞ tù chÝnh lµ phÐp  Bài tập về nhà: Bài 26,27,28,29,30 (SGK, trang 29)KÝnh chóc quý thÇy c« vµ c¸c em häc sinhlêi chóc søc kháe, thµnh c«ng, h¹nh phóc !Director by L¦U C¤NG HOµNLớp K31D - Toán, Trường ĐHSP Hà Nội 2